(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Ya analizamos las funciones multilineales y en particular las formas alternantes, así que estamos listos para presentar al protagonista natural que surge de esas propiedades: el determinante. En esta entrada lo definiremos formalmente, veremos la fórmula general que lo caracteriza y probaremos su unicidad. De este modo, el determinante deja de ser un artificio de cálculo y se revela como un concepto profundamente ligado a la estructura lineal.

DETERMINANTE

Definición: Sea $n \in \mathbb{N}^+$. Una función determinante $n \times n$ en $K$ es una función $det : \mathcal{M}_{n \times n} (K) \longrightarrow K$ que cumple dos propiedades

a) Para cada $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$, con $A_1 , … , A_n \in K^n$ los renglones de $A$, considerando a $det$ como una función: $det \, A = det \, (A_1 , … , A_n)$ tenemos que $det$ es una función $n$ – multilineal en $K^n.$

b) $det \, I_n = 1$ donde $I_n \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$ la matriz identidad.

Teorema (5.2.1.): Sea $n \in \mathbb{N}^+$.
Existe una única función determinante $n \times n$ en $K$ y puede calcularse con la fórmula $det \, A = \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} sgn\,\sigma \,a_{1\, \sigma (1)} \dotsb a_{n \, \sigma (n)} .$

Demostración: Veamos primero que la función propuesta es una función determinante $n \times n$ en $K$:

Sea $A \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ con $A_j = \lambda A^*_j + A^{**}_j $ donde $\lambda \in K$ y ${A_j}^* , {A_j}^{**} \in K^n$.

$\begin{align*}
det \, A = & det \, (A_1 , … , \lambda A^*_j + A^{**}_j , … , A_n) \tag{}\\
= & \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} sgn\,\sigma \, a_{1 , \sigma(1)} \dotsb ( \lambda {a^*_{j , \sigma(j)}} + {a^{**}_{j , \sigma(j)}} )\dotsb a_{n , \sigma(n)} \tag{}\\
= & \lambda \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} sgn\,\sigma \, a_{1 , \sigma(1)} \dotsb {a^*_{j , \sigma(j)}} \dotsb a_{n , \sigma(n)} \tag{}\\
& + \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} sgn\,\sigma \, a_{1 , \sigma(1)} \dotsb {a^{**}_{j , \sigma(j)}} \dotsb a_{n , \sigma(n)} \tag{}\\
= & \lambda \, det \, (A_1 , … , A^*_j , … , A_n) \tag{}\\
& + det \, (A_1 , … , A^{**}_j , … , A_n).
\end{align*}$

$\therefore det$ es una función $n$ – multilineal en $K^n.$

Veamos ahora que es alternante:

Supongamos que $A_i = A_j$ para algunos $i,j \in \{ 1, … , n \}$ con $i <j.$

Consideremos la transposición $\tau \in S_n$ tal que $\tau (i) = j , \tau (j) = i , \tau (k) = k$ para todo $k \in \{ 1 , … , n \} \setminus \{ i , j \}$

La función $\varphi : S_n \longrightarrow S_n$ con $\varphi (\sigma) = \sigma \circ \tau$ para toda $\sigma\in S_n$ es biyectiva ya que es su propio inverso. En paticular es suprayectiva y así $S_n = Im \varphi = \{ \sigma \circ \tau | \sigma \in S_n \}$.

Entonces, recordando que el signo de una permutación es $1$ si es un producto de un número par de transposiciones y es $-1$ en caso contrario:

$\begin{align*}
det \, A & = \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma \circ \tau) \, a_{1 \, \sigma \circ \tau (1)} \dotsb a_{i \, \sigma \circ \tau (i)} \dotsb a_{j \, \sigma \circ \tau (j)} \dotsb a_{n \, \sigma \circ \tau (n)} \tag{}\\
& = \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} sgn (\sigma \circ \tau) \, a_{1 \, \sigma (1)} \dotsb a_{i \, \sigma (j)} \dotsb a_{j \, \sigma (i)} \dotsb a_{n \, \sigma (n)} \tag{}\\
& = – \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} sgn \,\sigma \, a_{1 \, \sigma (1)} \dotsb a_{j \, \sigma (j)} \dotsb a_{i \, \sigma (i)} \dotsb a_{n \, \sigma (n)} \tag{}\\
& = – \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} sgn \,\sigma \, a_{1 \, \sigma (1)} \dotsb a_{i \, \sigma (i)} \dotsb a_{j \, \sigma (j)} \dotsb a_{n \, \sigma (n)} \tag{}\\
& = – det \, A \tag{}\\
\end{align*}$

donde la tercera igualdad se debe a que, como $A_i = A_j$ por hipótesis, entonces $a_{i \, \sigma (j)} =a_{j \, \sigma (j)} $ y $a_{j \, \sigma (i)} =a_{i \, \sigma (i)} $, y la cuarta igualdad a la conmutatividad del producto en el campo $K$.

$\therefore \det$ es una forma alternante.

Veamos que $det \, I_n = 1$:

Supongamos que $A = I_n$, es decir, $a_{ij} = 1$ cuando $i=j$ y $a_{ij} = 0$ cuando $i \not= j.$

Debido a cómo son las entradas de la matriz identidad, en el desarrollo de su determinante el único sumando que es no nulo es $a_{11} \dotsb a_{nn}$ que corresponde a la permutación identidad, que tiene signo $+1$.

De donde $det \, A =(+1) a_{11} \dotsb a_{nn} = (+1)(1) \dotsb (1) = 1.$

$\therefore det$ es una función determinante $n \times n$ en $K.$

Nos falta ver que es la única.

Supongamos que $Det$ es una función determinante $n \times n$ en $K.$
Probaremos que necesariamente $Det = det$.

Sean $e_1 , … , e_n \in K^n$ los vectores canónicos.

$Det (A_1 , … , A_n) = Det (a_{11} e_1 + … + a_{1n} e_n , … , a_{n1} e_1 + … + a_{nn} e_n)$

Usando la linealidad en cada entrada (vamos abriendo las sumas y sacando cada a_{ij}) obtenemos diversos sumandos del tipo $ a_{1 \, t_1} \dotsb a_{n \, t_n} Det (e_{t_1} , … , e_{t_n})$, pero estos son cero si en $Det (e_{t_1} , … , e_{t_n})$ hay entradas iguales ya que $Det$ es alternante. Quedan entonces los sumandos en que $t_1 , … , t_n$ son los números ${ 1 , … , n }$.

Consideremos $\sigma \in S_n$ dada por $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & … & n \\ t_1 & t_2 & … & t_n \end{pmatrix}$

Se tiene que $Det \, A = \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} \, a_{1 \, \sigma (1)} \dotsb a_{n \, \sigma (n)} Det (e_{\sigma (1)} , … , e_{\sigma (n)})$

Por el inciso c de la proposición (5.1.1.), lo anterior es igual a $\displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} \,a_{1 , \sigma (1)} \dotsb a_{n , \sigma (n)} sgn\,\sigma Det (e_1 , … , e_n)$ $= \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} \, a_{1 , \sigma (1)} \dotsb a_{n , \sigma (n)} sgn\,\sigma Det \, I_n$ $= \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} sgn\,\sigma \, a_{1 , \sigma (1)} \dotsb a_{n , \sigma (n)}= det \, A.$

$\therefore det$ es única.

Tarea Moral

1. Considera $A =\left( \begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 4 \\ 5 & 1 & -2 \end{array}\right)$ y $\sigma \in S_3$ dada por: $\sigma (1) = 2, \sigma (2) = 3, \sigma (3) = 1.$
   a) ¿Cuál es el signo de $\sigma$?
   Sugerencia: Escribe a $\sigma$ como un producto de transposiciones.
   b) En el desarrollo del determinante de $A$, ¿qué entradas de la matriz $A$ están asociadas a $\sigma$?
   c) ¿Cuál es el producto de esas entradas?
   d) ¿Cuál es el sumando asociado a $\sigma$ en la suma para calcular $det \, A$?
2. Si sabemos que $det \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 5 \\ 3 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right) = -137,$
   obtén $det \left( \begin{array}{rrrr} 0 & -\frac{1}{2} & -2 & -1\\ 6 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 5 \\5 & 10 & 0 & 15 \end{array}\right).$
   Sugerencia: Realiza intercambios de renglones y multiplica por escalares algunos renglones de la primera matriz para obtener la segunda. Recuerda cómo afecta cada intercambio de renglones y el multiplicar por un escalar un reglón al determinante.
3. Si hay una matriz demasiado grande como para calcular el determinante a mano, ¿qué propiedades te pueden ayudar a simplificar cuentas?
   Por ejemplo:
   1) Si hay dos filas iguales, el determinante es _____.
   2) Si una fila es combinación lineal de otra fila, el determinante es _____.

Más adelante…

Más adelante nos adentraremos en resultados que fueron construidos paso a paso en los siglos XVIII y XIX por matemáticos como Laplace, quienes vieron en el determinante no solo una fórmula abstracta, sino una técnica para descomponer matrices y resolver sistemas lineales de manera más ordenada. En la próxima entrada veremos cómo esas propiedades básicas le dan al determinante su carácter de pilar dentro del álgebra lineal.

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