(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

El producto interno en un espacio vectorial real o complejo nos permite «medir» la interacción entre vectores. De hecho, la longitud de un vector, el ángulo entre dos vectores y la proyección de uno sobre otro, dependen del producto interno.

Seguramente conoces sus aplicaciones muy bien (tal vez sin saber que son aplicaciones). Por ejemplo, en gráficos por computadora, calcular sombras o iluminación implica proyecciones y ángulos entre vectores, mientras que en análisis de datos, la similitud entre usuarios o productos se calcula usando producto interno normalizado.

ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO

Definición: Sean $K = \mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ y $V$ un $K$ – espacio vectorial. Decimos que una función $\langle\;\; ,\; \rangle : V \times V \longrightarrow K$ es un producto interno en $V$ si:

1) $\forall u,v \in V \left( \langle u,v \rangle = \overline{ \langle v,u \rangle } \right)$
2) $\forall u,v,w \in V \left( \langle u+v,w \rangle = \langle u,w \rangle + \langle v,w \rangle \right)$
3) $\forall \lambda \in K , u,v \in V \left( \langle \lambda u,v \rangle = \lambda \langle u,v \rangle \right)$
4) $\forall v \in V \left( \langle v,v \rangle \geq 0 \right)$ y ($\langle v,v \rangle = 0 \iff v = \theta_V$).

Si $V$ (real o complejo) tiene un producto interno, se llama un espacio con producto interno.

Recordatorio: Sea $a+ib \in \mathbb{C}$. Definimos el conjugado de $a+ib$ como $\overline{a+ib} = a-ib$.
Si $b=0$, es decir, si $a+ib = a \in \mathbb{R}$, entonces $\overline{a+ib} = \overline{a} = a$. En otras palabras, el conjugado de un número real es él mismo.
Dada $B \in \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{C})$, se define $\overline{B} \in \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{C})$ la matriz conjugada de $B$ como la matrIz tal que $\left(\overline{B}\right)_{ij}=\overline{B_{ij}}$, es decir, la matRIz que se obtiene de $B$ conjugando todas sus entradas.

Dado $V$ un espacio vectorial con producto interno $\langle \;\; , \; \rangle$, tenemos:

Observación 1: $\forall u,v,w \in V \left( \langle w,u+v \rangle = \langle w,u \rangle + \langle w,v \rangle \right)$.
Justificación: Sean $u,v,w \in V$. Usando las propiedades del conjugado tenemos que
$\langle w,u+v \rangle = \overline{ \langle u+v,w \rangle } = \overline{ \langle u,w \rangle + \langle v,w \rangle }$ $= \overline{ \langle u,w \rangle } + \overline{ \langle v,w \rangle } = \langle w,u \rangle + \langle w,v \rangle$.

Observación 2: $\forall \lambda \in K , u,v \in V \left( \langle v , \lambda u \rangle = \overline{\lambda} \langle v,u \rangle \right)$.
Justificación: Sean $\lambda \in K$ y $u,v \in V$. Usando las propiedades del conjugado tenemos que
$\langle v , \lambda u \rangle = \overline{ \langle \lambda u , v \rangle } = \overline{ \lambda \langle u,v \rangle }$ $= \overline{\lambda} \; \overline{ \langle u,v \rangle } = \overline{\lambda} \langle v,u \rangle$.

Ejemplos

• Sean $K = \mathbb{C}$, $V = \mathbb{C}^n$. Definamos el producto $\langle \;\; , \; \rangle$ en $V$ del siguiente modo: para todos $(x_1,…,x_n), (y_1,…,y_n) \in \mathbb{C}^n$
  $\langle (x_1,…,x_n) , (y_1,…,y_n) \rangle = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i \overline{y_i} $. Tenemos que $\langle \;\; , \; \rangle$ es un producto interno en $\mathbb{C}^n$.
  Se deja al lector verificar la afirmación.
• Sean $K = \mathbb{C}$, $V = \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{C})$. Definamos el producto $\langle \;\; , \; \rangle$ en $V$ del siguiente modo: para todas $A,B \in \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{C})$
  $\langle A,B \rangle = tr(\overline{B}^t A)$. Tenemos que $\langle \;\; , \; \rangle$ es un producto interno en $\mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{C})$.

Justificación. Primeramente observemos que para todas $A,B \in \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{C})$ se tiene que $\langle A,B \rangle = \displaystyle{ \sum_{j=1}^{n} \overline{B} ^j \cdot A^j }.$ Esto se debe a que

$\langle A,B \rangle = tr(\overline{B}^t A) = \displaystyle\sum_{j=1}^{n} \left( \overline{B}^t A \right)_{jj}$ $=\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n} \left( \overline{B} ^t \right)_j \cdot A^j } = \displaystyle{ \sum_{j=1}^{n} \overline{B} ^j \cdot A^j } .$

Dada $A \in V$, denotamos sus renglones como $A_1,…,A_n$ y sus columnas como $A^1,…,A^n$.

Veamos las $4$ propiedades que debe cumplir considerando cualesquiera $A,B,C \in \mathcal{M}_{n \times n}$ y cualquier $\lambda \in \mathbb{C}$:

1) Veamos que $\langle A,B \rangle = \overline{ \langle B,A \rangle }.$

$\langle A,B \rangle = \displaystyle{ \sum_{j=1}^{n} \overline{B^j} \cdot A^j }$ $= \overline{ \displaystyle \sum_{j=1}^{n} B^j \cdot\overline{A^j} } = \overline{ \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \overline{A^j}\cdot B^j } = \overline{ \langle B,A \rangle }.$

2) Veamos que $\langle A+C , B \rangle = \langle A,B \rangle + \langle C,B \rangle$.

$\langle A+C , B \rangle = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \overline{B}^j \cdot (A+C)^j$ $= \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \overline{B} ^j \cdot (A^j + C^j)$ $= \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left(\overline{B} ^j \cdot A^j + \overline{B} ^j \cdot C^j\right)$ $= \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \overline{B} ^j \cdot A^j + \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \overline{B} ^j \cdot C^j$ $= \langle A,B \rangle + \langle C,B \rangle .$

3) Veamos que $\langle \lambda A,B \rangle = \lambda \langle A,B \rangle$.

$\langle \lambda A,B \rangle = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \overline{B}^j \cdot ( \lambda A )^j$ $= \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \overline{B}^j \cdot ( \lambda A^j )$ $= \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \overline{B}^j \cdot A^j = \lambda \langle A,B \rangle$.

4.1) Veamos que $\langle A,A \rangle \geq 0$.

$\langle A,A \rangle = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left( \overline{A} \right)^j \cdot A^j$ $= \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left( \overline{a_{1j}} , … , \overline{a_{nj}} \right) \cdot \left( a_{1j} , … , a_{nj} \right)$ $= \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left( \overline{a_{1j}} a_{1j} + … + \overline{a_{nj}} a_{nj}\right)$ $= \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left(|a_{1j}|^2 + … + |a_{nj}|^2\right) \geq 0$.

4.2) Finalmente, veamos que $\langle A,A \rangle = 0 \iff A= \theta_{\mathcal{M}(\mathbb{C})}$.

$\langle A,A \rangle = 0 \iff \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\overline{A}^j \cdot A^j =0$ $ \iff \forall j\in \{ 1,…,n \} \left( \overline{A} ^j \cdot A^j = 0 \right)$ $\iff \forall j\in \{ 1,…,n \} \left( |a_{1j}|^2 + … + |a_{nj}|^2=0 \right)$ $\iff \forall j\in \{ 1,…,n \} \left( a_{1j} = \cdots = a_{nj}=0 \right)$ $\iff A = \theta_{\mathcal{M}(\mathbb{C})}$.

Tarea Moral

1. Sean $K = \mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ y $V$ un $K$ – espacio vectorial. Sean $\langle\;\; ,\; \rangle_1 : V \times V \longrightarrow K$ y $\langle\;\; ,\; \rangle_2 : V \times V \longrightarrow K$ dos productos internos en $V$. Considera $\langle\;\; ,\; \rangle_3 : V \times V \longrightarrow K$ tal que para todos $u,v\in V$, $\langle u,v \rangle_3=\langle u,v \rangle_1+\langle u,v \rangle_2$. ¿Es $\langle \;\; ,\; \rangle_3$ un producto interno en $V$?
2. Sean $K = \mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ y $V$ un $K$ – espacio vectorial con producto interno $\langle\;\; ,\; \rangle$.
   Sean $x,y,z$ son cualesquiera elementos en $V$, si $\langle x,y \rangle = \langle x,z \rangle$, ¿entonces $ x=z$?
   Sean $y,z$ son cualesquiera elementos en $V$, si $\langle x,y \rangle = \langle x,z \rangle$ para todo $x\in V$, ¿entonces $ y=z$?
   Sugerencia: Analiza estos enunciados para cada ejemplo de producto interno visto en esta entrada.

Más adelante…

Veremos cómo usar subconjuntos ortogonales para descomponer vectores, buscando utilizar el producto interno para calcular de un modo más sencillo los escalares que se requieren para expresar a un vector en términos de ciertas bases.. Esto nos llevará al concepto de coeficiente de Fourier, que nos prepara para construir bases ortogonales.

De esta forma, no solo hablaremos de conjuntos (generales, por así decirlo) que cumplen esta propiedad de ortogonalidad, sino que podremos construir conjuntos tan importantes como lo son las bases con esta particularidad.

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