Sea $ f : \mathcal{U} \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ tal que

$(u, v) \rightarrow \big( x (u, v), y (u, v), z (u, v) \big)$

${}$

Veamos unos ejemplos.

(1) Plano parametrizado.

$ f (u, v) = u \vec{w_1} + v \vec{w_2} + \vec{p}$

donde $\vec{p} = (x_0, y_0, z_0)$ es un punto y $\vec{w_1}$, $\vec{w_2}$ son dos vectores que generan el plano.

Consideremos el punto $\vec{p} = (2, 3, 4)$ y los vectores que generan el plano $\vec{w_1} = (1, 1, 0)$ y $\vec{w_2} = (1, 0, 1)$.

Luego $f (u, v) = u (1, 1, 0) + v (1, 0, 1) + (2, 3, 4)$, por lo que

$x = u + v + 2$

$y = u + 3$

$z = v + 4$

(2) La esfera.

a) $\mathcal{U} = \big\{ (u, v) \in \mathbb{R}^2 \big| u^2 + v^2 < 1 \big\}$

$f (u, v) = \Big( u, v, \sqrt{1 \, – \, u^2 \, – \, v^2 } \Big)$

b) Con coordenadas polares.

$f ( \theta, \varphi) = \begin{pmatrix} \cos \varphi & \cos \theta \\ \\ \cos \varphi & \sin \theta \\ \\ \sin \varphi \end{pmatrix}$

c) Usando la proyección estereográfica.

Dimensión 1

Dimensión 2

$f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ tal que

$f (u, v) = (x, y, z) = \Bigg( \dfrac{2u}{u^2 + v^2 + 1} , \dfrac{2v}{u^2 + v^2 + 1} , \dfrac{u^2 + v^2 \, – \, 1}{u^2 + v^2 + 1} \Bigg)$