Sea $f:\mathcal{U}\subseteq {\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ tal que

$(u,v)\to (x(u,v),y(u,v),z(u,v))$

$$

Veamos unos ejemplos.

(1) Plano parametrizado.

$f(u,v)=u\overrightarrow{w_1}+v\overrightarrow{w_2}+\overrightarrow{p}$

donde $\overrightarrow{p}=(x_0,y_0,z_0)$ es un punto y $\overrightarrow{w_1}$, $\overrightarrow{w_2}$ son dos vectores que generan el plano.

Consideremos el punto $\overrightarrow{p}=(2,3,4)$ y los vectores que generan el plano $\overrightarrow{w_1}=(1,1,0)$ y $\overrightarrow{w_2}=(1,0,1)$.

Luego $f(u,v)=u(1,1,0)+v(1,0,1)+(2,3,4)$, por lo que

$x=u+v+2$

$y=u+3$

$z=v+4$

(2) La esfera.

a) $\mathcal{U}=\{(u,v)\in {\mathbb{R}}^2|u^2+v^2<1\}$

$f(u,v)=(u,v,\sqrt{1–u^2–v^2})$

b) Con coordenadas polares.

$f(\theta ,\phi )=\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & \cos \theta \\ \\ \cos \phi & \sin \theta \\ \\ \sin \phi \end{array}\right)$

c) Usando la proyección estereográfica.

Dimensión 1

Dimensión 2

$f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ tal que

$f(u,v)=(x,y,z)=({\displaystyle \frac{2u}{u^2+v^2+1}},{\displaystyle \frac{2v}{u^2+v^2+1}},{\displaystyle \frac{u^2+v^2–1}{u^2+v^2+1}})$