Sea $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^2\to B\subseteq {\mathbb{R}}^2$ diferenciable.

Consideremos para todo punto $\overrightarrow{a}\in A$ y para cualesquiera dos vectores $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ tangentes a curvas que pasen por $\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{v_1}={{\alpha }_1}^{\prime }(0)\overrightarrow{v_2}={{\alpha }_2}^{\prime }(0)$

${\alpha }_1(0)=\overrightarrow{a}{\alpha }_2(0)=\overrightarrow{a}$

Consideremos el ángulo que forman $\overrightarrow{v_1}$ y $\overrightarrow{v_2}$.

Consideremos las curvas:

${\beta }_1(t)=f({\alpha }_1(t))$

${\beta }_2(t)=f({\alpha }_2(t))$

dos curvas distintas que pasan por $f(\overrightarrow{a})$.

Y además,

$\overrightarrow{w_1}={{\beta }_1}^{\prime }(0)$

$\overrightarrow{w_2}={{\beta }_2}^{\prime }(0)$

Y consideremos el ángulo que forman $\overrightarrow{w_1}$ y $\overrightarrow{w_2}$.

Decimos que $f$ es conforme si los dos ángulos son iguales y preservan la orientación de la base. Si invierten la orientación, diremos que $f$ es anticonforme.

$\overrightarrow{w_1}=d{f}_{\overrightarrow{a}}(\overrightarrow{v_1})$

$\overrightarrow{w_2}=d{f}_{\overrightarrow{a}}(\overrightarrow{v_2})$

Luego

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{⟨\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}⟩}{\Vert \overrightarrow{v_1}\Vert \Vert \overrightarrow{v_2}\Vert }}={\displaystyle \frac{⟨\overrightarrow{w_1},\overrightarrow{w_2}⟩}{\Vert \overrightarrow{w_1}\Vert \Vert \overrightarrow{w_2}\Vert }}=\cos \phi$