Sea $f : A \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow B \subseteq \mathbb{R}^2$ diferenciable.

Consideremos para todo punto $\vec{a} \in A$ y para cualesquiera dos vectores $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$ tangentes a curvas que pasen por $\vec{a}$

$\vec{v_1} = {{\alpha}_1 \, }’ (0) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \vec{v_2 } = {{\alpha}_2 \, }’ (0)$

$ {\alpha}_1 (0) = \vec{a} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; {\alpha}_2 (0) = \vec{a}$

Consideremos el ángulo que forman $\vec{v_1}$ y $\vec{v_2}$.

Consideremos las curvas:

$\beta_1 (t) = f \, ( \alpha_1 \, (t))$

$\beta_2 (t) = f \, ( \alpha_2 \, (t))$

dos curvas distintas que pasan por $f (\vec{a})$.

Y además,

$\vec{w_1} = {\beta_1}’ (0) $

$\vec{w_2} = {\beta_2}’ (0) $

Y consideremos el ángulo que forman $\vec{w_1}$ y $\vec{w_2} $.

Decimos que $f$ es conforme si los dos ángulos son iguales y preservan la orientación de la base. Si invierten la orientación, diremos que $f$ es anticonforme.

$\vec{w_1} = df_{\vec{a}} (\vec{v_1}) $

$\vec{w_2} = df_{\vec{a}} (\vec{v_2}) $

Luego

$\cos \theta = \dfrac{ \langle \vec{v_1} , \vec{v_2} \rangle}{\big\| \vec{v_1} \big\| \big\| \vec{v_2} \big\|} = \dfrac{ \langle \vec{w_1} , \vec{w_2} \rangle}{\big\| \vec{w_1} \big\| \big\| \vec{w_2} \big\|} = \cos \varphi$