Sea $\overrightarrow{u}\in {\mathbb{R}}^2,\Vert \overrightarrow{u}\Vert =1$ un vector unitario.

Sea $(a,b)=\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)=({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0,y_0),{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0))$ el gradiente de $f$ en el punto $(x_0,y_0)$, la derivada direccional de $f$ en el punto $(x_0,y_0)$ en la dirección del vector $\overrightarrow{u}$ se define como $$\underset{t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0,y_0)+t\overrightarrow{u}–f(x_0,y_0)}{t}}$$ que resulta ser igual a $$({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0,y_0),{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0))\cdot \overrightarrow{u}$$ $$(a,b)\cdot (\cos \theta ,\sin \theta )=a\cos \theta +b\sin \theta$$

Para cada $\overrightarrow{u}$ existe $\theta$ tal que $\overrightarrow{u}=(\cos \theta ,\sin \theta ).$

¿En qué dirección de $\overrightarrow{u}$ se encuentra la mayor derivada direccional?

Para poder calcularla debemos maximizar la función $h(\theta )=a\cos \theta +b\sin \theta$ donde $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}.$

Entonces

$\begin{array}{rl}{h}^{\prime }({\theta }_0)& =–a\sin {\theta }_0+b\cos {\theta }_0\\ 0& =–a\sin {\theta }_0+b\cos {\theta }_0\\ a\sin {\theta }_0& =b\cos {\theta }_0\\ {\displaystyle \frac{b}{a}}& ={\displaystyle \frac{\sin {\theta }_0}{\cos {\theta }_0}}\\ {\displaystyle \frac{b}{a}}& =\tan {\theta }_0\\ {\theta }_0& =\arctan ({\displaystyle \frac{b}{a}})\end{array}$

Entonces tenemos que:

Luego

$h({\theta }_0)={\displaystyle \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}}+{\displaystyle \frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}}=\sqrt{a^2+b^2}$

Además

$$h^{\prime \prime }=–a\cos {\theta }_0–b\sin {\theta }_0=–\sqrt{a^2+b^2}<0$$ por lo que $h$ añcanza un máximo en ${\theta }_0.$

Un detalle

$${\theta }_1={\theta }_0+\pi$$

$$\cos {\theta }_1=\cos ({\theta }_0+\pi )=\cos {\theta }_0\cos \pi –\cancel{\sin {\theta }_0\sin \pi }=–\cos {\theta }_0$$

Análogamente, $\sin {\theta }_1=–\sin {\theta }_0.$

Luego

$$\tan {\theta }_1={\displaystyle \frac{b}{a}}=–{\displaystyle \frac{\sin {\theta }_0}{\cos {\theta }_0}}=\tan {\theta }_0$$

por lo que $h^{\prime \prime }({\theta }_1)>0$ y por tanto $h$ alcanza un mínimo, con la hipótesis de $a\ne 0.$

Si $a=0$ entonces $h^{\prime }({\theta }_0)=b\cos {\theta }_0=0.$

Si $b\ne 0$ entonces $\cos {\theta }_0=0$ por lo que ${\theta }_0={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ y ${\theta }_1={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}.$

Por lo que $h^{\prime \prime }=–b\sin \theta$ y por lo tanto $h^{\prime \prime }({\theta }_0)=–b$ y $h^{\prime \prime }({\theta }_1)=b.$

Entonces en ${\theta }_0$ hay un máximo y en ${\theta }_1$ hay un mínimo.

En conclusión: El valor máximo de la derivada dirección se alcanza cuando elegimos $$\overrightarrow{u}={\displaystyle \frac{\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)}{\Vert \mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)\Vert }}$$

Si $a=0$ y $b>0$ entonces $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)=(0,b)=b(0,1).$

El valor máximo de la derivada dirección se alcanza cuando $$\overrightarrow{u}=(\cos {\theta }_0,\sin {\theta }_0)=(1,0)$$

Si $a=0$ y $b<0$ entonces $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)=(0,b)=b(0,–1)$ y por tanto $\Vert \mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)\Vert =–b.$

Luego $h^{\prime \prime }({\theta }_1)=b<0$ y por tanto $\overrightarrow{u}=(\cos {\theta }_1,\sin {\theta }_1)=(0,–1).$

Entonces $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)=(a,b)=\Vert \mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)\Vert \overrightarrow{v}$ con $\Vert \overrightarrow{v}\Vert =1$ si $(a,b)\ne (0,0).$

$(a,b)\cdot \overrightarrow{u}=\Vert \mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)\Vert (\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u})$ con $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{u}$ unitarios pero $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}={\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\Vert \overrightarrow{v}\Vert \Vert \overrightarrow{u}\Vert }}=\cos \alpha$, donde $\alpha$ es el ángulo que forman $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{u}$, enotnces el máximo valor de $\cos \alpha =1$ se alcanza cuando $\alpha =0°$. Por lo tanto, $(a,b)\cdot \overrightarrow{u}=\Vert \mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)\Vert .$

Veamos un ejemplo

Dada $f(x,y)=x^2+y^2$ y consideremos el punto $(x_0,y_0)=(2,3)$

Entonces $\mathrm{\nabla }f(x,y)=(2x,2y)$

$\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)=(4,6)=2(x_0,y_0)$

Luego $x^2+y^2=13$ es una curva de nivel.

En la siguiente imagen puedes observar la curva $f(x,y)$ así como la curva de nivel $f(x,y)=13$

Si consideramos una curva de nivel $\mathcal{c}$ de una función $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ tal que $$\mathcal{C}=\{(x,y)\in A\subseteq {\mathbb{R}}^2|f(x,y)=\mathcal{c}\}$$

Supongamos que podemos parametrizar la curva, es decir, existe $\alpha :I\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ tal que $$\alpha (t)=(x(t),y(t))$$ y además $\alpha (t)\in \mathcal{C}\mathrm{\forall }t$

Luego $f(x(t),y(t))=\mathcal{c}$ constante, entonces

$h(t)=(f\circ \alpha )(t)=f(x(t),y(t))=$constante.

Por lo que $h^{\prime }(t)=0.$

Por la regla de la cadena tenemos que $$h^{\prime }(t)=\mathrm{\nabla }f(\alpha (t))\cdot {\alpha }^{\prime }(t)=\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)\cdot {\alpha }^{\prime }(t_0)=0$$

De lo que se concluye que ${\alpha }^{\prime }(t_0)$ es ortogonal al gradiente.

${\alpha }^{\prime }(t_0)=({\displaystyle \frac{dx}{dt}},{\displaystyle \frac{dy}{dt}})$

$\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)=({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}},{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}})$

Entonces ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}{\displaystyle \frac{dy}{dt}}=0$

Despejando

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}=–{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}{\displaystyle \frac{dy}{dt}}$

Y por tanto

$$–{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}}{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{dx}{dt}}}{{\displaystyle \frac{dy}{dt}}}}$$

que es la pendiente del vector tangente.