Ejemplo 1

Sea $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$

$f(x, y) = \left\{ \begin{array} \dfrac{}\dfrac{2xy}{x^2 + y^2} & si & (x, y) \neq (0, 0) \\ \\ 0 & si & (x, y) = (0, 0) \end{array} \right.$

Observamos que:

(*) Existen las derivadas parciales en todos los puntos $(x, y) \in \mathbb{R}^2$.

(*) No es continua, veamos porque:

$\Big\{ \Big( \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n} \Big) \Big\} \rightarrow (0, 0)$ pero $\Big\{ f \Big( \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n} \Big) \Big\} \nrightarrow f (0, 0) = 0$,

ya que $ f \Big( \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n} \Big) = \dfrac{2 \frac{1}{n} \frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^2}} = \dfrac{ \frac{2}{n^2}}{ \frac{2}{n^2}} = 1 \rightarrow 1$

(*) Tampoco es diferenciable.

En la siguiente imagen puedes observar la gráfica de la función descrita en este ejemplo.

https://www.geogebra.org/classic/rkapmzg2

${}$

Ejemplo 2

Sea $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$

$ f (x, y) = \left\{ \begin{array} \\ y^2 \sin{ \Bigg( \dfrac{1}{y} \Bigg)} & si & y \neq 0 \\ \\ \\ 0 & si & y = 0 \end{array} \right. $

Observemos que:

(*) En el punto $(0, 0)$ es diferenciable.

(*) $ \dfrac{\partial f}{\partial x} (0, 0) = 0 =\dfrac{\partial f}{\partial y} (0, 0)$

El plano tangente en el origen es el plano $XY$ pero las derivadas parciales NO son continuas.

En particular $\dfrac{ \partial f}{\partial y} (x, y).$

En la siguiente imagen puedes observar la gráfica de la función descrita en este ejemplo.

https://www.geogebra.org/classic/ksdzu5qx

${}$

Ejemplo 3

Sea $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$

$ f (x, y) = \left\{ \begin{array}\\1 & si & (x, y) \neq (0, 0) \text{ está en la parábola } \, y = x^2 \\ \\ 0 & si & (x, y) \neq (0, 0) \text{ está en la parábola } y = \frac{1}{2} x^2 \text{ o más abajo} \\ \\ 0 & si & (x, y) = (0, 0) \text{ está en la parábola } y = 2x^2 \text{ o más arriba } \\ 0 & si & y = 0 \end{array} \right.$

Corte $x = 0$ vale $0$.

Observamos que:

(*) Es continua en cada corte pero globalmente NO es continua.

(*) Además en este ejemplo existen todas las derivadas direccionales en el $(0, 0)$.

$$ \forall \, \vec{u} \in \mathbb{R}^2 \; \| \vec{u} \| = 1, \, \exists \, \lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{f (t \vec{u} \, – \, f (\vec{0}) }{t}$$

${}$

Ejemplo 4

$f (x, y) = x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

Calculemos la $\dfrac{\partial f}{\partial x} (0, 0)$

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} (0, 0) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f (h, 0) \, – \, f (0, 0) }{ h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{0}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} 0 = 0$$

Corte con el plano $y_0 = 0$ (el plano $XZ$) es $z = f (x, 0) = x^{\frac{1}{3}} 0^{\frac{1}{3}} = 0$

Análogamente, $$\dfrac{\partial f}{\partial y} (0, 0) = 0$$

Corte con el plano $x_0 = 0$ (el plano $YZ$) es $z = f (0, y) = 0^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} = 0$

Si hubiera plano tangente debería ser el plano $z = 0$, es decir, el plano $XY$.

Sin embargo, esta función no es diferenciable. A continuación, discutiremos el concepto de función diferenciable.

En el siguiente enlace puedes observar la superficie definida por $z = x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$.

https://www.geogebra.org/classic/eqgy88vq

${}$

Si $(x_0, y_0) = (0, 0)$, entonces existen las derivadas parciales

$\dfrac{\partial f}{\partial x} (0, 0) = 0$, y $\dfrac{\partial f}{\partial y} (0, 0) = 0$; pero no es diferenciable. Examinemos el límite:

$$\lim_{(h, k) \rightarrow (0, 0)} \dfrac{\Big| f (h, k) \, – \, f (0, 0) \, – \, \dfrac{\partial f}{\partial x} (0, 0) h \, – \, \dfrac{\partial f}{\partial y} (0, 0) k \Big|}{\big\| (h, k) \big\|} = \lim_{(h, k) \rightarrow (0, 0)} \dfrac{\Big| h^{\frac{1}{3}} k^{\frac{1}{3}} \Big|}{\sqrt{h^2 + k^2 \, }}$$

Consideremos la trayectoria $h = k$, con $ h > 0$, entonces

$$\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{h^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2h^2 \, }} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{h^{\frac{2}{3}}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \lim_{h \rightarrow 0} h^{\frac{-1}{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{1}{\sqrt{h}} = \infty$$