Ejemplo 1

Sea $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$

$f(x,y)=\{\begin{array}{rcc}{\displaystyle \frac{2xy}{x^2+y^2}}& si& (x,y)\ne (0,0)\\ \\ 0& si& (x,y)=(0,0)\end{array}$

Observamos que:

(*) Existen las derivadas parciales en todos los puntos $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$.

(*) No es continua, veamos porque:

$\{({\displaystyle \frac{1}{n}},{\displaystyle \frac{1}{n}})\}\to (0,0)$ pero $\{f({\displaystyle \frac{1}{n}},{\displaystyle \frac{1}{n}})\}\nrightarrow f(0,0)=0$,

ya que $f({\displaystyle \frac{1}{n}},{\displaystyle \frac{1}{n}})={\displaystyle \frac{2\frac{1}{n}\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}}}={\displaystyle \frac{\frac{2}{n^2}}{\frac{2}{n^2}}}=1\to 1$

(*) Tampoco es diferenciable.

En la siguiente imagen puedes observar la gráfica de la función descrita en este ejemplo.

https://www.geogebra.org/classic/rkapmzg2

$$

Ejemplo 2

Sea $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$

$f(x,y)=\{\begin{array}{}{y}^2\sin ({\displaystyle \frac{1}{y}})& si& y\ne 0\\ \\ \\ 0& si& y=0\end{array}$

Observemos que:

(*) En el punto $(0,0)$ es diferenciable.

(*) ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,0)=0={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(0,0)$

El plano tangente en el origen es el plano $XY$ pero las derivadas parciales NO son continuas.

En particular ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x,y).$

IMAGEN AÚN EN CORRECCIÓN

https://www.geogebra.org/classic/ksdzu5qx

$$

Ejemplo 3

Sea $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$

$f(x,y)=\{\begin{array}{}1& si& (x,y)\ne (0,0)\text{ está en la parábola }y=x^2\\ \\ 0& si& (x,y)\ne (0,0)\text{ está en la parábola }y=\frac{1}{2}{x}^2\text{ o más abajo}\\ \\ 0& si& (x,y)=(0,0)\text{ está en la parábola }y=2x^2\text{ o más arriba }\\ 0& si& y=0\end{array}$

Corte $x=0$ vale $0$.

Observamos que:

(*) Es continua en cada corte pero globalmente NO es continua.

(*) Además en este ejemplo existen todas las derivadas direccionales en el $(0,0)$.

$$\mathrm{\forall }\overrightarrow{u}\in {\mathbb{R}}^2\Vert \overrightarrow{u}\Vert =1,\mathrm{\exists }\underset{t\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(t\overrightarrow{u}–f(\overrightarrow{0})}{t}}$$

$$

Al analizar los ejemplos anteriores nos preguntamos, ¿cuándo podemos garantizar la continuidad?

$$

Teorema

Sea $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$, con $A$ abierto, tal que existen las derivadas parciales en $A$ y son acotadas, entonces $f$ es continua en $A$.

Demostración:

Sea $(x_0,y_0)\in A.$

$[$ por demostrar : $f$ es continua en $(x_0,y_0)]$

Basta demostrar que existe $L=\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)$ y $L=f(x_0,y_0).$

Sea $ϵ>0.$

Basta demostrar que existe $\delta >0$ tal que si

$\Vert (x,y)–(x_0,y_0)\Vert <\delta \Rightarrow |f(x,y)–f(x_0,y_0)|<ϵ$

Como $\Vert (x,y)–(x_0,y_0)\Vert <\delta$

Sean $h=x–x_0$ y $k=y–y_0$ entonces, si $\Vert (h,k)\Vert <\delta \Rightarrow |f(x_0+h,y_0+k)–f(x_0,y_0)|<ϵ$

$f(x_0+h,y_0+k)–f(x_0,y_0)=f(x_0+h,y_0+k)–f(x_0,y_0+k)+f(x_0,y_0+k)–f(x_0,y_0)$

$f(x_0+h,y_0+k)–f(x_0,y_0)={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0+{\theta }_{1}h,y_0+k)h+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0+{\theta }_{2}k)k$ para algún ${\theta }_1,{\theta }_2\in (0,1)$

Sean $\xi =x_0+{\theta }_{1}h\in [x_0,x_0+h]$

y $\eta =y_0+{\theta }_{2}k\in [y_0,y_0+k]$

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(\xi ,y_0+k)={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }f}{h}}$

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(\xi ,y_0+k)h=\mathrm{\Delta }f$

Tomando el valor absoluto y aplicando la desigualdad del triángulo tenemos que:

$|f(x_0+h,y_0+k)–f(x_0,y_0)|\le |{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0+{\theta }_{1}h,y_0+k)||h|+|{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0+{\theta }_{2}k)||k|\le M|h|+M|k|<ϵ$

Para que $M|h|+M|k|<ϵ$ se debe cumplir que

$$|h|\le \sqrt{h^2+k^2}=\Vert (h,k)\Vert$$

$$|k|\le \sqrt{h^2+k^2}=\Vert (h,k)\Vert$$

Luego $$|h|+|k|\le 2\sqrt{h^2+k^2}=2\Vert (h,k)\Vert$$

Entonces, para que se cumpla que $2M\Vert (h,k)\Vert <ϵ$ basta pedir que

$$\Vert (h,k)\Vert <\delta ={\displaystyle \frac{ϵ}{2M}}{}_{\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}}$$