Ejemplo 1

Sea $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$

$f(x, y) = \left\{ \begin{array} \dfrac{}\dfrac{2xy}{x^2 + y^2} & si & (x, y) \neq (0, 0) \\ \\ 0 & si & (x, y) = (0, 0) \end{array} \right.$

Observamos que:

(*) Existen las derivadas parciales en todos los puntos $(x, y) \in \mathbb{R}^2$.

(*) No es continua, veamos porque:

$\Big\{ \Big( \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n} \Big) \Big\} \rightarrow (0, 0)$ pero $\Big\{ f \Big( \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n} \Big) \Big\} \nrightarrow f (0, 0) = 0$,

ya que $ f \Big( \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n} \Big) = \dfrac{2 \frac{1}{n} \frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^2}} = \dfrac{ \frac{2}{n^2}}{ \frac{2}{n^2}} = 1 \rightarrow 1$

(*) Tampoco es diferenciable.

${}$

Ejemplo 2

Sea $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$

$ f (x, y) = \left\{ \begin{array} y^2 \sin \Big( \dfrac{1}{y} \Big) & si & y \neq 0 \\ \\ \\ 0 & si & y = 0 \end{array} \right. $

Observemos que:

(*) En el punto $(0, 0)$ es diferenciable.

(*) $ \dfrac{\partial f}{\partial x} (0, 0) = 0 =\dfrac{\partial f}{\partial y} (0, 0)$

El plano tangente en el origen es el plano $XY$ pero las derivadas parciales NO son continuas.

En particular $\dfrac{ \partial f}{\partial y} (x, y).$

${}$

Ejemplo 3

Sea $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$

$ f (x, y) = \left\{ \begin{array} 1 & si & (x, y) \neq (0, 0) \text{ está en la parábola } \, y = x^2 \\ \\ 0 & si & (x, y) \neq (0, 0) \text{ está en la parábola } y = \frac{1}{2} x^2 \text{ o más abajo} \\ \\ 0 & si & (x, y) = (0, 0) \text{ está en la parábola } y = 2x^2 \text{ o más arriba } \\ 0 & si & y = 0 \end{array} \right.$

Corte $x = 0$ vale $0$.

Observamos que:

(*) Es continua en cada corte pero globalmente NO es continua.

(*) Además en este ejemplo existen todas las derivadas direccionales en el $(0, 0)$.

$$ \forall \, \vec{u} \in \mathbb{R}^2 \; \| \vec{u} \| = 1, \, \exists \, \lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{f (t \vec{u} \, – \, f (\vec{0}) }{t}$$

${}$

Al analizar los ejemplos anteriores nos preguntamos, ¿cuándo podemos garantizar la continuidad?

${}$

Teorema

Sea $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, con $A$ abierto, tal que existen las derivadas parciales en $A$ y son acotadas, entonces $f$ es continua en $A$.

Demostración:

Sea $(x_0, y_0) \in A.$

$\Big[$ por demostrar : $f$ es continua en $(x_0, y_0) \Big]$

Basta demostrar que existe $L = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f (x, y)$ y $ L = f (x_0, y_0).$

Sea $\epsilon > 0.$

Basta demostrar que existe $\delta > 0 $ tal que si

$\| (x, y) \, – \, (x_0, y_0) \| < \delta \Rightarrow |f (x, y) \, – \, f (x_0, y_0)|< \epsilon$

Como $\| (x, y) \, – \, (x_0, y_0) \| < \delta$

Sean $ h = x \, – \, x_0 $ y $ k = y \, – \, y_0 $ entonces, si $\| (h, k) \| < \delta \Rightarrow |f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) | < \epsilon$

$f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) = f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0 , y_0 + k) \, + \, f (x_0, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) $

$f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) = \dfrac{\partial f}{\partial x} (x_0 + \theta_1 h, y_0 + k) h + \dfrac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0 + \theta_2 k) k$ para algún $\theta_1, \theta_2 \in (0, 1)$

Sean $\xi = x_0 + \theta_1 h \; \in [x_0, x_0 + h]$

y $\eta = y_0 + \theta_2 k \; \in [y_0, y_0 + k]$

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(\xi, y_0+k) = \dfrac{\Delta f}{h}$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}(\xi, y_0+k)h = \Delta f$

Tomando el valor absoluto y aplicando la desigualdad del triángulo tenemos que:

$\Big| f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f ( x_0, y_0) \Big| \leq \Bigg| \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0 + \theta_1h, y_0 + k) \Bigg| \Big|h \Big| + \Bigg| \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0 , y_0 + \theta_2k) \Bigg| \Big|k \Big| \leq M \Big| h \Big| + M \Big| k \Big| < \epsilon$

Para que $M \Big| h \Big| + M \Big| k \Big| < \epsilon$ se debe cumplir que

$$\big| h \big| \leq \sqrt{h^2 + k^2 } = \big\| (h, k) \big\|$$

$$\big| k \big| \leq \sqrt{h^2 + k^2 } = \big\| (h, k) \big\|$$

Luego $$\big| h \big| + \big| k \big| \leq 2 \sqrt{h^2 + k^2 } = 2 \big\| (h, k) \big\|$$

Entonces, para que se cumpla que $ 2M \big\| (h, k) \big\| < \epsilon$ basta pedir que

$$ \big\| (h, k) \big\| < \delta = \dfrac{\epsilon}{2M} \; _{\blacksquare}$$