Algebraicamente, fijamos una variable y derivamos respecto de la otra.

Geométricamente, la derivada parcial de $f$ con respecta a $x$ es la pendiente de la recta tangente a la curva $x\to f(x,y_0)$ que se obtiene al hacer un corte con el plano $y=y_0.$

Ejemplo:

$f(x,y)=x^{\frac{1}{3}}{y}^{\frac{1}{3}}$

Calculemos la ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,0)$

$${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,0)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(h,0)–f(0,0)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{0}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}0=0$$

Corte con el plano $y_0=0$ (el plano $XZ$) es $z=f(x,0)=x^{\frac{1}{3}}{0}^{\frac{1}{3}}=0$

Análogamente, $${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(0,0)=0$$

Corte con el plano $x_0=0$ (el plano $YZ$) es $z=f(0,y)=0^{\frac{1}{3}}{y}^{\frac{1}{3}}=0$

Si hubiera plano tangente debería ser el plano $z=0$, es decir, el plano $XY$.

En el siguiente enlace puedes observar la curva definida por $f(x,y)=x^{\frac{1}{3}}{y}^{\frac{1}{3}}$ y los cortes que se estuvieron analizando.

https://www.geogebra.org/classic/eqgy88vq

$$

EL gradiente de una función $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ en un punto $(x_0,y_0)$ es el vector $({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0,y_0),{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0))$

Notación: $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)$.

$$

Recordemos, ¿qué sucede con funciones de $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$?

$f^{\prime }(x_0)$ es la pendiente de la recta tangente en el punto $(x_0,y_0)$.

La ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto $(x_0,f(x_0))$ es $$y–f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x–x_0)$$

Aproximación de $f$ con una función lineal $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x–x_0)$.

Es decir, $\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)–f(x_0)–f^{\prime }(x_0)h}{h}}=0$, donde $h=x–x_0$.

$$

Para funciones de ${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$,¿qué representa el $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)=({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0,y_0),{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0))$?

Ecuación del plano tangente a la superficie $z=f(x,y)$ en el punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$

Consideremos la función lineal de ${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ $$f(x,y)=ax+by$$ con $a,b\in \mathbb{R}$ constantes.

Corte con el plano $y_0=0$ (plano $XZ$).

$z=f(x,0)=ax$ entonces $a$ es la pendiente de la recta $z=ax$ en el plano $XZ$.

Corte con el plano $x_0=0$ (plano $YZ$).

$z=f(0,y)=by$ entonces $b$ es la pendiente de la recta $z=by$ en el plano $YZ$.

$f(x,y)=ax+by$

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}=a$

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}=b$

Entonces $\mathrm{\nabla }f=(a,b)$

Si un plano tiene la ecuación $ax+by+z=0$ entonces, $(a,b,c)\cdot (x,y,z)=0$.

El vector $(a,b,c)$ es el vector normal al plano $$\overrightarrow{n}=(a,b,c)$$ $$\overrightarrow{x}=(x,y,z)$$

Luego $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{x}=0$ por lo que el vector $\overrightarrow{x}$ es perpendicualr al vector $\overrightarrow{n}$.

Si un plano pasa por el punto $(x_0,y_0)$ y tiene el vector normal $(a,b,c)$.

Que $((x,y,z)–(x_0,y_0,z_0))\cdot (a,b,c)=0$, entonces

$$a(x–x_0)+b(y–y_0)+c(z–z_0)=0$$

entonces $ax+by+cz=d$ es la ecuación de un plano que no pasa por el punto $(x_0,y_0)$.

Luego la ecuación del plano tangente es $$\begin{array}{rl}z–f(x_0,y_0)& ={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0,y_0)h+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0)k\\ & ={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0,y_0)(x–x_0)+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0)(y–y_0)\\ z& =f(x_0,y_0){\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0,y_0)(x–x_0)+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0)(y–y_0)\end{array}$$

que es un polinomio de grado $1$ en dos variables.

Aquí también pediremos que este polinomio sea la mejor aproximación (con polinomio de grado 1) de $f(x,y)$ cerca del punto $(x_0,y_0).$

$$

Decimos que $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$, con $A$ abierto es diferenciable en un punto $(x_0,y_0)\in A$ si se cumplen que:

(*) existen las derivadas parciales $${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0,y_0);{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0)$$

y (*) $$\underset{(h,k)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{|f(x_0+h,y_0+k)–f(x_0,y_0)–{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x_0,y_0)h–{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x_0,y_0)k|}{\Vert (h,k)\Vert }}=0$$

Continuando con el ejemplo $f(x,y)=x^{\frac{1}{3}}{0}^{\frac{1}{3}}$.

Si $(x_0,y_0)=(0,0)$, entonces existen las derivadas parciales

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,0)=0$, y ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(0,0)=0$; pero no es diferenciable. Examinemos el límite:

$$\underset{(h,k)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{|f(h,k)–f(0,0)–{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,0)h–{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(0,0)k|}{\Vert (h,k)\Vert }}=\underset{(h,k)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{|h^{\frac{1}{3}}{k}^{\frac{1}{3}}|}{\sqrt{h^2+k^2}}}$$

Consideremos la trayectoria $h=k$, con $h>0$, entonces

$$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{h^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2h^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{h^{\frac{2}{3}}}{h}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\underset{h\to 0}{lim}{h}^{\frac{-1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{h}}}=\mathrm{\infty }$$