33.Material de prueba: La imagen inversa de abiertos es abierta bajo una función continua.

Proposición 1:

Sea $f : A \subseteq R^{n} \to R^{m}$ una función continua en $A$ y $A$ un conjunto abierto.

Entonces para todo abierto $V \subseteq R^{m}$ la imagen inversa de $V$ , $f^{- 1} (V)$ es un abierto de $R^{n} .$

Demostración:

Sea $V$ abierto de $R^{n} .$

Supongamos que $f^{- 1} (V) \neq \emptyset .$

Si $f^{- 1} (V) = \emptyset$ , es un abierto entonces, terminó la demostración.

Ahora bien, sea $\vec{x_{0}} \in f^{- 1} (V)$ entonces $f (\vec{x_{0}}) \in V$ luego, $f (\vec{x_{0}})$ es punto interior de $V .$

$[$ por demostrar: $\vec{x_{0}}$ es punto interior de $f^{- 1} (V$ $]$

Por hipótesis, $f$ es continua.

Sea $ϵ > 0$ tal que $B_{ϵ} (f (\vec{x_{0}})) \subseteq V$ . Dicha $ϵ$ existe porque $V$ es abierto y $f (\vec{x_{0}}) \in V .$

Entonces, existe $δ > 0$ tal que si $\vec{x} \in B_{δ} (\vec{x_{0}})$ entonces $f (\vec{x}) \in B_{ϵ} (f (\vec{x_{0}})) \subseteq V .$

$\vec{x_{0}}$ es punto interior de $f^{- 1} (V)$ ya que $B_{δ} (\vec{x_{0}}) \subseteq f^{- 1} (V)$

Razón: $\vec{x} \in B_{δ} (\vec{x_{0}})$ entonces $f (\vec{x}) \in B_{ϵ} (f (\vec{x_{0}}))$ entonces $f (\vec{x}) \in V$ implica $\vec{x} \in f^{- 1} (V) ._{}$

Proposición 2:

Sea $A \subseteq R^{n}$ un abierto.

Sea $f : A \subseteq R^{n} \to R^{m} .$

Si la imagen inversa de abiertos en $R^{m}$ es un abierto en $R^{n}$ , entonces la función $f$ es continua en $A .$

Demostración:

Sea $\vec{x_{0}} \in A .$

$[$ por demostrar: $f$ es continua en $\vec{x_{0}}$ $]$

Sea $ϵ > 0.$

$[$ por demostrar: existe $δ > 0$ tal que si $x \in B_{δ} (\vec{x_{0}})$ entonces $f (\vec{x}) \in B_{ϵ} (f (\vec{x_{0}}))$ $]$

Sea $V = B_{ϵ} (f (\vec{x_{0}}))$ es un abierto de $R^{m}$ .

Por hipótesis, $f^{- 1} (V) \subseteq R^{n}$ es abierto.

Existe $δ_{1} > 0$ tal que $B_{δ} (\vec{x_{0}}) \subseteq f^{- 1} (V) .$

$A$ es abierto, existe $δ_{2} > 0$ tal que $B_{δ_{2}} (\vec{x_{0}}) \subseteq A .$

Sea $δ = m í n {δ_{1}, δ_{2}}$ es la $δ$ que necesitamos. $_{}$

Teorema:

Sea $f : K \subset R^{n} ⟶ R^{m} .$

Si $f$ es continua en $K$ y $K$ es compacto, entonces $f$ es uniformemente continua en $K .$

Demostración:

Sea $ϵ > 0.$

Como $f$ es continua, para cada $x \in K$ existe $δ_{x} > 0$ tal que si $‖ x - y ‖ < δ_{x}$ entonces $‖ f (x) - f (y) ‖ < \frac{ϵ}{2}$

Como $K$ es compacto, $K \subseteq ⋃_{x \in K} B_{\frac{δ_{x}}{2}} (x)$ es una cubierta abierta de $K .$

Entonces, existe una subcubierta finita $B_{\frac{δ_{1}}{2}} (x_{1}), \dots, B_{\frac{δ_{l}}{2}} (x_{l}) .$

Tomemos $δ = m í n {\frac{δ_{1}}{2}, \dots, \frac{δ_{l}}{2}} .$

Si $‖ x - y ‖ < δ$ entonces $y \in B_{δ} (x)$ pero $x \in B_{\frac{δ_{j}}{2}} (x_{j})$ para alguna $j$

$‖ x - x_{j} ‖ < \frac{δ_{j}}{2} \Rightarrow x_{j} \in B_{\frac{δ_{j}}{2}} (x)$

$‖ f (x) - f (x_{j}) ‖ < \frac{ϵ}{2}$

Luego, si $‖ y - x_{j} ‖ = ‖ y - x + x - x_{j} ‖ \leq ‖ y - x ‖ + ‖ x - x_{j} ‖ < δ + \frac{δ_{j}}{2} \leq \frac{δ_{j}}{2} + \frac{δ_{j}}{2} = δ$

$y \in B_{δ_{j}} (x_{j}) \Rightarrow ‖ f (y) - f (x_{j}) ‖ < \frac{ϵ}{2}$

En consecuencia,

$‖ f (x) - f (y) ‖ \leq ‖ f (x) - f (x_{j}) ‖ + ‖ f (x_{j}) - f (y) ‖ < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ_{}$

El blog de Leo

Aprendiendo, creando y compartiendo matemáticas

33.Material de prueba: La imagen inversa de abiertos es abierta bajo una función continua.

Me gusta esto:

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Comparte esto:

Me gusta esto:

Deja una respuesta Cancelar la respuesta