Motivación: para funciones $f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$ un teorema importante es que dada $f{|}_{[a,b]}⟶\mathbb{R}$, y $f$ continua, entonces $f$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo.

La generalización es, si $f$ es continua, $f:{\mathbb{R}}^n⟶\mathbb{R};f{|}_K$ con $K$ compacto, entonces $f$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo.

Definición: Sea $K\subseteq {\mathbb{R}}^n$.

Decimos que una familia de abiertos $\{A_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ es una cubierta abierta de $K$ si $$K\subseteq \bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{A}_{\lambda }$$

Decimos que $K$ es compacto si toda cubierta abierta de $K$ tiene una subcubierta finita. Existe $\{A_1,A_2,\dots ,A_n\}$ con $A_i\in \{A_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}.$ $$K\subseteq \bigcup _{i=1}^n{A}_i$$

Proposición: Todo conjunto compacto es cerrado y acotado.

Demostración:

Sea $K$ un conjunto compacto.

$[$ (a) por demostrar: $K$ es cerrado, es decir $K=\bar{K}=K\cup \partial K]$

Basta demostrar que $\partial K\subseteq K.$

Supongamos que existe $\overrightarrow{L}\in \partial K$ tal que $\overrightarrow{L}\ne K.$

Como $\overrightarrow{L}\in \partial K$ en toda vecindad perforada de $\overrightarrow{L}$ existen elementos de $K.$

Consideremos la siguiente cubierta abierta de $K.$

$A_1=\{\overrightarrow{x}\in {\mathbb{R}}^n|\Vert \overrightarrow{x}–\overrightarrow{L}\Vert >1\}$

$A_2=\{\overrightarrow{x}\in {\mathbb{R}}^n|\Vert \overrightarrow{x}–\overrightarrow{L}\Vert >\frac{1}{2}\}$

$⋮$

$A_i=\{\overrightarrow{x}\in {\mathbb{R}}^n|\Vert \overrightarrow{x}–\overrightarrow{L}\Vert >\frac{1}{i}\}$

$\{A_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ es una cubierta abierta de $K.$

$$K\subseteq \bigcup _{i\in \mathbb{N}}{A}_i={\mathbb{R}}^n\setminus \{\overrightarrow{L}\}$$

y cada $A_i$ es abierto, por que son exteriores de un círculo.

Como $K$ es compacto existe una subcubierta finita y $K\subseteq A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup \cdots \cup A_{i_m}.$

Sea $N=máx\{i_1,i_2,\dots ,i_m\}$ por lo que $K\subseteq A_N.$

Entonces $\overrightarrow{L}$ seria un punto aislado. (CONTRADICCIÓN; pues $\overrightarrow{L}$ está en $\partial K$)

$\therefore$ $K$ es cerrado.

$[$ (b) por demostrar: $K$ es acotado. $]$

Plan: proponer una cubierta de $K$ que sea conveniente para lo que queremos demostrar.

Sea $A_m=\{\overrightarrow{x}\in {\mathbb{R}}^n|\Vert x\Vert <m\}$ abiertos.

Entonces $\bigcup _{m\in \mathbb{N}}{A}_m={\mathbb{R}}^n$ y $K\subseteq \bigcup _{m\in \mathbb{N}}{A}_m.$

Pero como $K$ es compacto, existe una subcubierta finita tal que $K\subseteq A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup \cdots \cup A_{i_r}.$

Sea $M=máx\{i_1,i_2,\dots ,i_r\}.$

Luego $K\subseteq A_M=\{\overrightarrow{x}\in {\mathbb{R}}^n|\Vert \overrightarrow{x}\Vert <M\}$

$\therefore K$ está acotado. ${}_{\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}}$

https://www.geogebra.org/classic/sawfrk66