Motivación: para funciones $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ un teorema importante es que dada $f|_{[a, b]} \longrightarrow \mathbb{R}$, y $f$ continua, entonces $f$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo.
La generalización es, si $f$ es continua, $f : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}; f|_K$ con $ K $ compacto, entonces $f$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo.
Definición: Sea $K \subseteq \mathbb{R}^n$.
Decimos que una familia de abiertos $\{ A_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ es una cubierta abierta de $K$ si $$K \subseteq \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$$
Decimos que $K$ es compacto si toda cubierta abierta de $K$ tiene una subcubierta finita. Existe $\{ A_1, A_2, …, A_n\} $ con $ A_i \in \{A_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}.$ $$K \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^n A_i$$
Proposición: Todo conjunto compacto es cerrado y acotado.
Demostración:
Sea $K$ un conjunto compacto.
[ (a) por demostrar: $K$ es cerrado, es decir $K = \bar{K} = K \cup \partial K $]
Basta demostrar que $ \partial K \subseteq K. $
Supongamos que existe $\vec{L} \in \partial K $ tal que $\vec{L} \neq K. $
Como $\vec{L} \in \partial K $ en toda vecindad perforada de $\vec{L} $ existen elementos de $K.$
Consideremos la siguiente cubierta abierta de $K.$
$A_1 = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n | \, \|\vec{x} \, – \, \vec{L} \| > 1\}$
$A_2 = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n | \, \|\vec{x} \, – \, \vec{L} \| > \frac{1}{2}\}$
$\vdots$
$A_i = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n | \, \|\vec{x} \, – \, \vec{L} \| > \frac{1}{i}\}$
$\{A_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ es una cubierta abierta de $K.$
$$K \subseteq \bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} A_i = \mathbb{R}^n \setminus \{ \vec{L}\}$$
y cada $A_i$ es abierto, por que son exteriores de un círculo.
Como $K$ es compacto existe una subcubierta finita y $K \subseteq A_{i_1} \cup A_{i_2} \cup \dots \cup A_{i_m}.$
Sea $N = máx\{ i_1, i_2, \dots, i_m\}$ por lo que $K \subseteq A_N.$
Entonces $\vec{L}$ seria un punto aislado. (CONTRADICCIÓN; pues $\vec{L}$ está en $\partial K$)
$\therefore$ $K$ es cerrado.
[ (b) por demostrar: $K$ es acotado. ]
Plan: proponer una cubierta de $K$ que sea conveniente para lo que queremos demostrar.
Sea $A_m = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n | \| x\| < m \}$ abiertos.
Entonces $ \bigcup\limits_{m \in \mathbb{N}} A_m = \mathbb{R}^n $ y $ K \subseteq \bigcup\limits_{m \in \mathbb{N}} A_m.$
Pero como $K$ es compacto, existe una subcubierta finita tal que $ K \subseteq A_{i_1} \cup A_{i_2} \cup \dots \cup A_{i_r}.$
Sea $M = máx\{ i_1, i_2, \dots, i_r\}.$
Luego $K \subseteq A_M = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n | \, \| \vec{x} \| < M \}$
$\therefore K $ está acotado. $_{\blacksquare}$