Además de las coordenadas cartesianas es conveniente conocer otros tipos de coordenadas, como las polares, cilíndricas y esféricas, estas últimas las explicaremos en entradas posteriores; ya que muchas veces es más sencillo de resolver problemas si cambiamos de coordenadas cartesianas a otro tipo según el tipo de función con la que estemos trabajando.
En este primer acercamiento, estudiaremos como realizar la conversión de coordenadas cartesianas a polares y viceversa.
![](https://blog.nekomath.com/wp-content/uploads/2024/08/Captura-de-pantalla-2261.png)
En el dibujo podemos observar que para un punto $P(x, y)$ se tiene un triángulo rectángulo, en esta imagen el triángulo $PXQ$, por lo que usando el Teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas correspondientes, tenemos que:
$$x^2 + y^2 = r ^2$$ $$\sin{\theta} =\frac{y}{r}$$ $$\cos{\theta} = \frac{x}{r}$$
Entonces, las ecuaciones que nos permiten transformar de coordenadas polares a rectangulares son:
$$x=r \cos (\theta)$$ $$y=r \sin (\theta)$$
$(x, y)$ son las coordenadas cartesianas (o rectangulares) del punto $P$.
$(r, \theta)$ son las coordenadas polares del punto $P$.
* CASO ESPECIAL: para el punto $(0, 0)$ en coordenadas cartesianas tenemos que $r = 0$ y el ángulo $\theta$ no está definido.
* También es importante especificar un intervalo donde varía el ángulo $\theta$, para evitar situaciones como la que se ejemplifica a continuación.
El punto de coordenadas rectangulares $(1, 0)$ puede tener diferentes coordenadas polares, como $(1, 0°)$, $(1, 360°)$ si el ángulo está dado en grados, o $(1, 0)$, $(1, 2\pi)$ si el ángulo se mide en radianes.
Por lo que se puede definir a $\theta$ en el intervalo $0 < \theta < 2\pi$ o en el $- \pi < \theta < \pi$.
Dado un punto en coordenadas rectangulares $(x, y)$. ¿Cuáles son las coordenadas polares $( r, \theta)$? ¿Podemos despejar $(r, \theta)$ en función de $(x, y)$?
De $x^2 + y^2 = r ^2$, despejando $r$ se obtiene que $$r=\sqrt{x^2+y^2}$$
Para obtener el valor de $\theta$ tenemos dos maneras.
Una es usando la tangente $$\frac{y}{x} =\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta} = \tan \theta$$ $$ \theta = \arctan \frac{y}{x}$$
Un detalle a tener en cuenta es que $x \neq 0$.
Este despeje vale en una mitad del plano. En la mitad que corresponde a $\frac{- \pi}{2}< \theta < \frac{\pi}{2}$. Es decir cuando $x > 0$.
Para $x < 0$, $\theta$ está en la mitad que corresponde a $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3 \pi}{2}$.
Como la función tangente no es inyectiva en $\mathbb{R}$ se debe elegir una rama, es decir un intervalo para el ángulo $\theta$.
Otra manera es la siguiente.
Despejando $(r, \theta)$ en términos de $(x, y)$ de la ecuación $$x^2 + y^2 = r ^2$$
Obtenemos que $$r= \sqrt{x^2+y^2}$$
Sustituyendo el valor de $r$ obtenido, en la ecuación $\cos{\theta} = \frac{y}{x}$ obtenemos que $\cos{\theta} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ por lo que el valor de $\theta$ está dado por $$\theta = \arccos\left( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$$
La función coseno tampoco es inyectiva sobre $\mathbb{R}$. Para poder hablar de la inversa hay que restringir el intervalo donde varia $\theta$.
Una opción es $0 < \theta < \pi$.
Es decir, se debe escoger el intervalo de $\theta$ que mejor nos permita calcular el ángulo dependiendo de donde se encuentre el punto $(x, y)$.
$$T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$$ $$(r, \theta) \longrightarrow (x, y)$$
Mediante tabulación.
Si fijamos $r_0 = 1$ y variamos $\theta$, tenemos que $x = r_0 \cos \theta$ entonces $x = \cos \theta$ y para $y = r_0 \sin \theta$ se obtiene $y = \sin \theta$. Luego $(x, y) = ( \cos \theta, \sin \theta)$.
Analíticamente para $r_0 = 1$ $$x^2+y^2=\cos^2 \theta + \sin^2 \theta$$ $$x^2+y^2=1$$
Por lo que la recta $r = 1$ en coordenadas polares es la circunferencia unitaria en coordenadas cartesianas.
Si fijamos $r_0 = 2$ y variamos $\theta$ se obtiene $$x^2+y^2=(2 \cos \theta)^2 + (2 \sin \theta)^2 = 4 \cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta = 4 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 4$$
$$x^2+y^2=4$$
Por lo que la recta $r = 2$ en coordenadas polares es la circunferencia de radio 2 en coordenadas cartesianas.
Además, la recta $r = 0$ en coordenadas polares, es el punto $(0, 0)$ en coordenadas cartesianas.
https://www.geogebra.org/classic/rhv8nvwx
Ahora consideremos una recta horizontal $\theta = \theta_0$
$x = r \cos \theta_0$
$y = r \sin \theta_0$
$(x, y) = (r \cos \theta_0, r \sin \theta_0)$
$(x, y ) = r ( \cos \theta_0, \sin \theta_0)$
El factor $ (\cos \theta_0, \sin \theta_0)$ es constante, si variamos $r$ tenemos que:
* Si $r > 0$ la recta horizontal en coordenadas polares es un rayo que parte del origen en coordenadas cartesianas; pero si $r \in \mathbb{R} $ se transforma en la recta generada por el vector unitario $\vec{u} = (\cos \theta_0, \sin \theta_0)$.
Buenas tardes, Mariana ¿el material de prueba que nos compartes a que materia o materias corresponden?
Por tu atención mil gracias.
Atte.
Hiram Ruiz Esparza Zaballa
Hola Hiram, mi material está basado en la clase de Cálculo III del profesor Vinicio Antonio Gómez Gutiérrez.
Es material en revisión porque falta la revisión final del profesor, así como la gráfica interactiva del contenido.
Cualquier duda estoy para responder.
Saludos!!