Consideremos un plano no vertical.

Tiene una ecuación de la forma $$z=ax+by+c$$

Es la gráfica de $f:{\mathbb{R}}^2⟶\mathbb{R}$ tal que

$f(x,y)=ax+by+c$ con $a,b,c$ constantes.

Demostraremos que esta función es continua usando $ϵ$ y $\delta$.

Sea $(x_0,y_0)$ un punto.

Sea $ϵ>0$.

Buscamos $\delta >0$ tal que si $(x,y)\in B_{\delta }(x_0,y_0)⟹f(x,y)\in B_{ϵ}(f(x_0,y_0))$; es decir que

si $\Vert (x,y)–(x_0,y_0)\Vert <\delta$ entonces $|f(x,y)–f(x_0,y_0)|<\delta$.

Desde otro punto de vista:

$$\begin{array}{rl}|f(x,y)–f(x_0,y_0)|& =|ax+by+c–(a{x}_0+b{y}_0+c)|\\ & =|a(x–x_0)+b(y–y_0)|\\ & \le |a(x–x_0)|+|b(y–y_0)|\\ & \le |a||x–x_0|+|b||y–y_0|<ϵ\end{array}$$

Queremos garantizar que $|a||x–x_0|+|b||y–y_0|<ϵ.$

Si $|a||x–x_0|<\frac{ϵ}{2}$ y $|b||y–y_0|<\frac{ϵ}{2}$ entonces se cumple la desigualdad.

Luego $|x–x_0|<\frac{ϵ}{2|a|}$ y $|y–y_0|<\frac{ϵ}{2|b|}$.

$\frac{–ϵ}{2|a|}<x–x_0<\frac{ϵ}{2|a|}$

$\frac{–ϵ}{2|b|}<y–y_0<\frac{ϵ}{2|b|}$

$x_0-\frac{ϵ}{2|a|}<x<x_0+\frac{ϵ}{2|a|}$

$y_0–\frac{ϵ}{2|b|}<y<y_0+\frac{ϵ}{2|b|}$

Basta tomar

$\delta =mín\{\frac{ϵ}{2|a|},\frac{ϵ}{2|b|}\}$

porque entonces si $(x,y)\in B_{\delta }((x_0,y_0))$ entonces $(x,y)\in [A,B]\times [C,D]$

donde $A=x_0–\frac{ϵ}{2|a|}$, $B=x_0+\frac{ϵ}{2|a|}$, $C=y_0–\frac{ϵ}{2|b|}$ y $D=y_0+\frac{ϵ}{2|b|}$

En el siguiente enlace encontrarás una imagen interactiva, en la cual podrás modificar distintos valores para una mejor comprensión de lo explicado anteriormente.

https://www.geogebra.org/classic/j9rcbkcz