Consideremos el origen $(0, 0)$.
Tomemos la sucesión $\{ (x_n, y_n)\}_{n \in \mathbb{N}} = \{ (\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (0, 0)$
$f(x_n, y_n) = \frac{y_n}{x_n} = 1 \longrightarrow 1$
Tomemos la sucesión $\{ (a_n, b_n) \}_{n \in \mathbb{N}} = \{ (\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (0, 0)$
$f(a_n, b_n) = \frac{b_n}{a_n} = -1 \longrightarrow -1$
Esto nos muestra que $f$ no tiene límite cuando $(x,y) \longrightarrow (0,0)$.
Consideremos el punto $(0, y_0)$.
Tomemos la sucesión $\{ (x_n, y_n)\}_{n \in \mathbb{N}} = \{ (\frac{1}{n}, y_0 + \frac{1}{n}) \}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (0, y_0)$
$f(x_n, y_n) = \frac{y_n}{x_n} = \frac{y_0 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = ny_0+1 \longrightarrow \infty$
Tomando $\{(a_n, b_n)\}_{n \in \mathbb{N}} = \{(\frac{-1}{n}, y_0 + \frac{1}{n}\}_{n \in \mathbb{N}})\} \longrightarrow (0, y_0)$
$f(a_n, b_n) = \frac{b_n}{a_n} = \frac{y + \frac{1}{n}}{\frac{-1}{n}} = ny_0+1 \longrightarrow – \infty$
Por lo que $f$ no tiene límite cuando $(x,y)$ tiende a $(0, y_0)$
En el siguiente enlace puedes observar una animación de como cada una de las sucesiones se aproximan al $(0,0)$ por las diferentes direcciones, pero cada una de ellas tienden a $1$ y $-1$ respectivamente.