Consideremos el origen $(0,0)$.

Tomemos la sucesión $\{(x_n,y_n){\}}_{n\in \mathbb{N}}=\{(\frac{1}{n},\frac{1}{n}){\}}_{n\in \mathbb{N}}⟶(0,0)$

$f(x_n,y_n)={\displaystyle \frac{y_n}{x_n}}=1⟶1$

Tomemos la sucesión $\{(a_n,b_n){\}}_{n\in \mathbb{N}}=\{(\frac{1}{n},\frac{1}{n}){\}}_{n\in \mathbb{N}}⟶(0,0)$

$f(a_n,b_n)={\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}=-1⟶-1$

Esto nos muestra que $f$ no tiene límite cuando $(x,y)⟶(0,0)$.

Consideremos el punto $(0,y_0)$.

Tomemos la sucesión $\{(x_n,y_n){\}}_{n\in \mathbb{N}}=\{(\frac{1}{n},y_0+\frac{1}{n}){\}}_{n\in \mathbb{N}}⟶(0,y_0)$

$f(x_n,y_n)={\displaystyle \frac{y_n}{x_n}}=\frac{y_0+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=n{y}_0+1⟶\mathrm{\infty }$

Tomando $\{(a_n,b_n){\}}_{n\in \mathbb{N}}=\{(\frac{-1}{n},y_0+\frac{1}{n}){\}}_{n\in \mathbb{N}}⟶(0,y_0)$

$f(a_n,b_n)={\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}={\displaystyle \frac{y+\frac{1}{n}}{\frac{-1}{n}}}=n{y}_0+1⟶–\mathrm{\infty }$

Por lo que $f$ no tiene límite cuando $(x,y)$ tiende a $(0,y_0)$

En el siguiente enlace puedes observar una animación de como cada una de las sucesiones se aproximan al $(0,0)$ por las diferentes direcciones, pero cada una de ellas tienden a $1$ y $-1$ respectivamente.

https://www.geogebra.org/classic/kw8f9hmq