Consideremos el origen $(0, 0)$.
Tomemos la sucesión $\{ (x_n, y_n)\}_{n \in \mathbb{N}} = \{ (\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (0, 0)$
$f(x_n, y_n) = \frac{y_n}{x_n} = 1 \longrightarrow 1$
Tomemos la sucesión $\{ (a_n, b_n) \}_{n \in \mathbb{N}} = \{ (\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (0, 0)$
$f(a_n, b_n) = \frac{b_n}{a_n} = -1 \longrightarrow -1$
Esto nos muestra que $f$ es discontinua en el origen.
Consideremos el punto $(0, y_0)$.
Tomemos la sucesión $\{ (x_n, y_n)\}_{n \in \mathbb{N}} = \{ (\frac{1}{n}, y_0 + \frac{1}{n}) \}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (0, y_0)$
$f(x_n, y_n) = \frac{y_n}{x_n} = \frac{y_0 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = ny_0+1 \longrightarrow \infty$
Tomando $\{(a_n, b_n)\}_{n \in \mathbb{N}} = \{(\frac{-1}{n}, y_0 + \frac{1}{n}\}_{n \in \mathbb{N}})\} \longrightarrow (0, y_0)$
$f(a_n, b_n) = \frac{b_n}{a_n} = \frac{y + \frac{1}{n}}{\frac{-1}{n}} = ny_0+1 \longrightarrow – \infty$
Por lo que $f$ es discontinua en $(0, y_0)$
Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$
$$f(x, y) = \left\{ \begin{array}{lcc} 0 & si & (x, y) = (0, 0) \\ \frac{2xy}{x^2+y^2} & si & (x, y) \neq (0, 0) \end{array} \right.$$
* ¿Cuál es la gráfica de $f$?
* ¿Cuáles son los puntos de discontinuidad?
Cortes con el plano $x = x_0$ constante.
$z = f(x_0, y) = \frac{2x_0 y}{x_0^2+y^2}$ con $x_0 \neq 0$
Por ejemplo, si $x_0 = 1$
$f(1, y) = \frac{2y}{1 + y^2}$
si $x_0 = 2$
$f(2, y) = \frac{4y}{4 + y^2}$
si $x_0 = \frac{1}{2}$
$f(\frac{1}{2}, y) = \frac{y}{\frac{1}{4} + y^2}$
CASO ESPECIAL $x = x_0 = 0$
$$z = f(0, y) = \left\{ \begin{array}{lcc} 0 & si & (x, y) = (0, 0) \\ \frac{2(0)y}{0+y^2} & si & (x, y) \neq (0, 0) \end{array} \right.$$
$z = 0$
En la siguiente liga puedes ver el dibujo de $f(x, y)$ en el plano $yz$ para los diferentes valores de $c$.
https://www.geogebra.org/classic/xeudskhu
¿Cuál es la pendiente?
$z = f(x_0, y) = \frac{2x_0y}{x_0^2+y^2} $ si $ x_0 \neq 0$
$z = g(y) = \frac{2x_0y}{x_0^2+y^2}$
¿Cuál es el valor de $g'(0)$?
Intuitivamente
$2x_0y $ se aproxima a una recta cuya pendiente es $m = 2x_0$
$x_0^2 + y^2 se aproxima a $x_0^2$
entonces $\frac{2x_0y}{x_0^2+y^2} = \frac{2}{x_0}y$
Luego, si $x_0 \longrightarrow 0 $ entonces $g'(0) \longrightarrow \infty$
Derivando
$$g'(y) = \frac{(x_0^2 + y^2)(2x_0) – (2x_0y)(2y)}{(x_0^2+y^2)^2}$$
$$ g'(0) = \frac{2x_0^3}{x_0^4}$$
$$ g'(0) = \frac{2}{x_0}$$
Aproximémonos al origen a través de puntos en rectas.
Recta $y = mx $
$f(x, y) = f(x, mx)$
$\frac{2xy}{x^2+y^2} = \frac{2mx^2}{x^2+m^2x^2} = \frac{2m}{1+m^2} $ que es una constante.
Si $(x, y) \neq (0, 0)$
Puntos en la recta $ y = x$
$(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \longrightarrow (0, 0)$
$f(\frac{1}{n}, \frac{1}{n})) = \frac{2}{1+1} = 1$
Puntos en la recta $ y = 0$
$(\frac{1}{n}, 0) \longrightarrow (0, 0)$
$f(\frac{1}{n}, 0)) = 0$
Por lo que podemos observar que $f$ es discontinua.
Curvas de nivel
$f(x, y)=c $ con $ c \neq 0$
$\frac{2xy}{x^2+y^2} = c $
$2xy = c (x^2+y^2)$
$\frac{2}{c}xy = x^2+y^2$
$y^2 \, – \, \frac{2}{c}xy + x^2 = 0$
Calculamos los valores de $y$.
$$y = \frac{\frac{2}{c}x \pm \sqrt{\frac{4}{c^2}x^2 \, – \, 4x^2}}{2}$$
$$y = \frac{\frac{2}{c}x \pm \sqrt{\frac{4x^2}{c^2}(1-c^2)}}{2}$$
Simplificando obtenemos que:
$$y = \frac{x}{c} \pm \frac{x}{c} \sqrt{(1-c^2)}$$
Son dos rectas y solo hay curvas para el intervalo $c=[-1, 1].$