Consideremos el origen $(0, 0)$.

Tomemos la sucesión $\{ (x_n, y_n)\}_{n \in \mathbb{N}} = \{ (\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (0, 0)$

$f(x_n, y_n) = \frac{y_n}{x_n} = 1 \longrightarrow 1$

Tomemos la sucesión $\{ (a_n, b_n) \}_{n \in \mathbb{N}} = \{ (\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (0, 0)$

$f(a_n, b_n) = \frac{b_n}{a_n} = -1 \longrightarrow -1$

Esto nos muestra que $f$ es discontinua en el origen.

Consideremos el punto $(0, y_0)$.

Tomemos la sucesión $\{ (x_n, y_n)\}_{n \in \mathbb{N}} = \{ (\frac{1}{n}, y_0 + \frac{1}{n}) \}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (0, y_0)$

$f(x_n, y_n) = \frac{y_n}{x_n} = \frac{y_0 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = ny_0+1 \longrightarrow \infty$

Tomando $\{(a_n, b_n)\}_{n \in \mathbb{N}} = \{(\frac{-1}{n}, y_0 + \frac{1}{n}\}_{n \in \mathbb{N}})\} \longrightarrow (0, y_0)$

$f(a_n, b_n) = \frac{b_n}{a_n} = \frac{y + \frac{1}{n}}{\frac{-1}{n}} = ny_0+1 \longrightarrow – \infty$

Por lo que $f$ es discontinua en $(0, y_0)$

Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$

$$f(x, y) = \left\{ \begin{array}{lcc} 0 & si & (x, y) = (0, 0) \\ \frac{2xy}{x^2+y^2} & si & (x, y) \neq (0, 0) \end{array} \right.$$

* ¿Cuál es la gráfica de $f$?

* ¿Cuáles son los puntos de discontinuidad?

Cortes con el plano $x = x_0$ constante.

$z = f(x_0, y) = \frac{2x_0 y}{x_0^2+y^2}$ con $x_0 \neq 0$

Por ejemplo, si $x_0 = 1$

$f(1, y) = \frac{2y}{1 + y^2}$

si $x_0 = 2$

$f(2, y) = \frac{4y}{4 + y^2}$

si $x_0 = \frac{1}{2}$

$f(\frac{1}{2}, y) = \frac{y}{\frac{1}{4} + y^2}$

CASO ESPECIAL $x = x_0 = 0$

$$z = f(0, y) = \left\{ \begin{array}{lcc} 0 & si & (x, y) = (0, 0) \\ \frac{2(0)y}{0+y^2} & si & (x, y) \neq (0, 0) \end{array} \right.$$

$z = 0$

En la siguiente liga puedes ver el dibujo de $f(x, y)$ en el plano $yz$ para los diferentes valores de $c$.

https://www.geogebra.org/classic/xeudskhu

¿Cuál es la pendiente?

$z = f(x_0, y) = \frac{2x_0y}{x_0^2+y^2} $ si $ x_0 \neq 0$

$z = g(y) = \frac{2x_0y}{x_0^2+y^2}$

¿Cuál es el valor de $g'(0)$?

Intuitivamente

$2x_0y $ se aproxima a una recta cuya pendiente es $m = 2x_0$

$x_0^2 + y^2 se aproxima a $x_0^2$

entonces $\frac{2x_0y}{x_0^2+y^2} = \frac{2}{x_0}y$

Luego, si $x_0 \longrightarrow 0 $ entonces $g'(0) \longrightarrow \infty$

Derivando

$$g'(y) = \frac{(x_0^2 + y^2)(2x_0) – (2x_0y)(2y)}{(x_0^2+y^2)^2}$$

$$ g'(0) = \frac{2x_0^3}{x_0^4}$$

$$ g'(0) = \frac{2}{x_0}$$

Aproximémonos al origen a través de puntos en rectas.

Recta $y = mx $

$f(x, y) = f(x, mx)$

$\frac{2xy}{x^2+y^2} = \frac{2mx^2}{x^2+m^2x^2} = \frac{2m}{1+m^2} $ que es una constante.

Si $(x, y) \neq (0, 0)$

Puntos en la recta $ y = x$

$(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \longrightarrow (0, 0)$

$f(\frac{1}{n}, \frac{1}{n})) = \frac{2}{1+1} = 1$

Puntos en la recta $ y = 0$

$(\frac{1}{n}, 0) \longrightarrow (0, 0)$

$f(\frac{1}{n}, 0)) = 0$

Por lo que podemos observar que $f$ es discontinua.

Curvas de nivel

$f(x, y)=c $ con $ c \neq 0$

$\frac{2xy}{x^2+y^2} = c $

$2xy = c (x^2+y^2)$

$\frac{2}{c}xy = x^2+y^2$

$y^2 \, – \, \frac{2}{c}xy + x^2 = 0$

Calculamos los valores de $y$.

$$y = \frac{\frac{2}{c}x \pm \sqrt{\frac{4}{c^2}x^2 \, – \, 4x^2}}{2}$$

$$y = \frac{\frac{2}{c}x \pm \sqrt{\frac{4x^2}{c^2}(1-c^2)}}{2}$$

Simplificando obtenemos que:

$$y = \frac{x}{c} \pm \frac{x}{c} \sqrt{(1-c^2)}$$

Son dos rectas y solo hay curvas para el intervalo $c=[-1, 1].$