Consideremos un plano no vertical.
Tiene una ecuación de la forma $$z=ax+by+c$$
Es la gráfica de $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$ tal que
$f(x, y) = ax+by+c$ con $a, b, c$ constantes.
Demostraremos que esta función es continua usando $\epsilon$ y $\delta$.
Sea $(x_0, y_0)$ un punto.
Sea $\epsilon > 0$.
Buscamos $\delta > 0$ tal que si $(x, y) \in B_{\delta} (x_0, y_0) \Longrightarrow f(x, y) \in B_{\epsilon} (f(x_0, y_0))$; es decir que si $\| (x, y) – (x_0, y_0)\| < \delta$ entonces $|f(x, y) – f(x_0, y_0) | < \delta$.
Desde otro punto de vista:
$$\begin{align*} |f(x, y) – f(x_0, y_0)| &= |ax+by+c-(ax_0+by_0+c| \\ &= |a(x-x_0) + b(y-y_0)| \\ &\leq |a(x-x_0)| + |b(y- y_0)| \\ &\leq |a||x-x_0|+|b||y-y_0| < \epsilon \end{align*}$$
Queremos garantizar que $|a||x-x_0|+|b||y-y_0| < \epsilon.$
Si $|a||x-x_0|< \frac{\epsilon}{2}$ y $|b||y-y_0|< \frac{\epsilon}{2}$ entonces se cumple la desigualdad.
Luego $|x-x_0| < \frac{\epsilon}{2|a|}$ y $|y-y_0| < \frac{\epsilon}{2|b|}$.
$\frac{ – \epsilon}{2|a|}< x-x_0 < \frac{\epsilon}{2|a|}$
$\frac{ – \epsilon}{2|b|}< y-y_0 < \frac{\epsilon}{2|b|}$
$x_0 -\, \frac{ \epsilon}{2|a|}< x < x_0 + \frac{\epsilon}{2|a|}$
$y_0 \, – \frac{ \epsilon}{2|b|}< y <y_0 + \frac{\epsilon}{2|b|}$
Basta tomar
$\delta = mín \{ \frac{\epsilon}{2|a|} , \frac{\epsilon}{2|b|} \}$
porque entonces si $(x, y) \in B_{\delta} ((x_0, y_0))$ entonces $(x, y) \in [A, B] \times [C, D]$
donde $A = x_0 – \frac{\epsilon}{2|a|}$, $B = x_0 + \frac{\epsilon}{2|a|}$, $C = y_0 – \frac{\epsilon}{2|b|}$ y $D = y_0 + \frac{\epsilon}{2|b|}$
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