Consideremos un plano no vertical.
Tiene una ecuación de la forma $$z=ax+by+c$$
Es la gráfica de $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$ tal que
$f(x, y) = ax+by+c$ con $a, b, c$ constantes.
Demostraremos que esta función es continua usando $\epsilon$ y $\delta$.
Sea $(x_0, y_0)$ un punto.
Sea $\epsilon > 0$.
Buscamos $\delta > 0$ tal que si $(x, y) \in B_{\delta} (x_0, y_0) \Longrightarrow f(x, y) \in B_{\epsilon} (f(x_0, y_0))$; es decir que
si $\Big\| (x, y) \, – \, (x_0, y_0)\Big\| < \delta$ entonces $\Big|f(x, y) \, – \, f(x_0, y_0) \Big| < \delta$.
Desde otro punto de vista:
$$\begin{align*} \Big|f(x, y) \, – \, f(x_0, y_0)\Big| &= \Big|ax+by+c \, – \, (ax_0+by_0+c)\Big| \\ &= \Big|a(x \, – \, x_0) + b(y \, – \, y_0)\Big| \\ &\leq \Big|a(x \, – \, x_0)\Big| + \Big|b(y \, – \, y_0)\Big| \\ &\leq \Big|a\Big|\Big|x \, – \, x_0\Big|+\Big|b\Big|\Big|y \, – \, y_0\Big| < \epsilon \end{align*}$$
Queremos garantizar que $\Big|a\Big|\Big|x \, – \, x_0\Big|+\Big|b\Big|\Big|y \, – \, y_0\Big| < \epsilon.$
Si $\Big|a\Big|\Big|x \, – \, x_0\Big|< \frac{\epsilon}{2}$ y $\Big|b\Big|\Big|y \, – \, y_0\Big|< \frac{\epsilon}{2}$ entonces se cumple la desigualdad.
Luego $\Big|x \, – \, x_0\Big| < \frac{\epsilon}{2|a|}$ y $\Big|y \, – \, y_0\Big| < \frac{\epsilon}{2|b|}$.
$\frac{ – \, \epsilon}{2|a|}< x \, – \, x_0 < \frac{\epsilon}{2|a|}$
$\frac{ – \, \epsilon}{2|b|}< y \, – \, y_0 < \frac{\epsilon}{2|b|}$
$x_0 -\, \frac{ \epsilon}{2|a|}< x < x_0 + \frac{\epsilon}{2|a|}$
$y_0 \, – \frac{ \epsilon}{2|b|}< y <y_0 + \frac{\epsilon}{2|b|}$
Basta tomar
$\delta = mín \Big\{ \frac{\epsilon}{2|a|} , \frac{\epsilon}{2|b|} \Big\}$
porque entonces si $(x, y) \in B_{\delta} ((x_0, y_0))$ entonces $(x, y) \in \Big[A, B\Big] \times \Big[C, D\Big]$
donde $A = x_0 \, – \, \frac{\epsilon}{2|a|}$, $B = x_0 + \frac{\epsilon}{2|a|}$, $C = y_0 \, – \, \frac{\epsilon}{2|b|}$ y $D = y_0 + \frac{\epsilon}{2|b|}$
En el siguiente enlace encontrarás una imagen interactiva, en la cual podrás modificar distintos valores para una mejor comprensión de lo explicado anteriormente.