Consideremos un plano no vertical.
Tiene una ecuación de la forma $$z=ax+by+c$$
Es la gráfica de $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$ tal que
$f(x, y) = ax+by+c$ con $a, b, c$ constantes.
Demostraremos que esta función es continua usando $\epsilon$ y $\delta$.
Sea $(x_0, y_0)$ un punto.
Sea $\epsilon > 0$.
Buscamos $\delta > 0$ tal que si $(x, y) \in B_{\delta} (x_0, y_0) \Longrightarrow f(x, y) \in B_{\epsilon} (f(x_0, y_0))$; es decir que si $\| (x, y) – (x_0, y_0)\| < \delta$ entonces $|f(x, y) – f(x_0, y_0) | < \delta$.
Desde otro punto de vista:
$$\begin{align*} |f(x, y) – f(x_0, y_0)| &= |ax+by+c-(ax_0+by_0+c| \\ &= |a(x-x_0) + b(y-y_0)| \\ &\leq |a(x-x_0)| + |b(y- y_0)| \\ &\leq |a||x-x_0|+|b||y-y_0| < \epsilon \end{align*}$$
Queremos garantizar que $|a||x-x_0|+|b||y-y_0| < \epsilon.$
Si $|a||x-x_0|$ y $b||y-y_0|$ entonces se cumple la desigualdad.
Luego $|x-x_0| < \frac{\epsilon}{|a|}$ y $|y-y_0| < \frac{\epsilon}{|b|}$.
$\frac{ – \epsilon}{|a|}< x-x_0 < \frac{\epsilon}{|a|}$
$\frac{ – \epsilon}{|b|}< y-y_0 < \frac{\epsilon}{|b|}$
$\frac{ x_0 – \epsilon}{|a|}< x < x_0 + \frac{\epsilon}{|a|}$
$y_0 \frac{ – \epsilon}{|b|}< y <y_0 + \frac{\epsilon}{|b|}$
Basta tomar
$\delta = mín \{ \frac{\epsilon}{2|a|} , \frac{\epsilon}{2|b|} \}$
porque entonces si $(x, y) \in B_{\delta} ((x_0, y_0))$ entonces $(x, y) \in [A, B] \times [C, D]$
CASO $c = 0$
$\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | ax+by = z\} = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | ax+by-z=0\}$
$$(a, b, -1) \cdot (x, y, z) = 0$$
Son vectores perpendiculares al vector $(a, b, -1)$.
CASO $c \neq 0$
$(a, b, -1)\cdot (x-x_0, y-y_0, z-z_0)=0$
Son planos trasladados.
Observación 1: $f^{-1} (x_0, y_0) = (x_0, y_0)$ si $f(x_0, y_0) = k$ con $ax+by+c = k$ cada recta es una curva de nivel.
Observación 2: Si $a$ o $b$ son cero, entonces solo necesito una desigualdad y queda dada la $\delta$.
Observación 3: Si ambos $a$ y $b$ son cero, entonces cualquier $\delta$ es válida.
Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$
$$f(x, y) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y}{x} & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$
Queremos saber:
- ¿En qué puntos $f$ es continua?
- ¿En qué puntos $f$ es discontinua?
- ¿Cómo es la gráfica de $f$ ?
Analicemos diferentes cortes para poder responder estas preguntas.
1. Cortes paralelos al plano $yz$
$x = x_0$ constante.
$$f(x_0, y) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y}{x_0} & si & x_0 \neq 0 \\ 0 & si & x_0 = 0\end{array} \right.$$
Corte especial para $x = 0$
para $x = x_0 = 0$
$$f(0, y) = 0$$
En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $x_0$.
https://www.geogebra.org/classic/vaquauek
2. Cortes con el plano $x=1$
$z=f(1, y) = \frac{y}{1}$
https://www.geogebra.org/classic/mt9rgkzj
3. Cortes paralelos al plano $xz$
$y = y_0$ constante.
$$f(x, y_0) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y_0}{x} & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$
Corte especial para $y=0$
para $y=y_0=0$
$f(x, 0) = 0$
$$f(x, 0) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$
En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $y_0$.
https://www.geogebra.org/classic/cmppwyss
Conjuntos (o Curvas ) de nivel
Para cada constante $c \in \mathbb{R}$, el conjunto de nivel $c$ es $\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \, | f(x, y) = c \} = f^{-1}(c)$.
$c= 0$
$f(x, y)=0$ lo cumplen los puntos de la forma $(0, y)$ con $y \in \mathbb{R}$ y los puntos de la forma $(x, 0)$ con $x \in \mathbb{R}$.
$c=1$
$f(x, y)=1$ se cumple cuando $\frac{y}{x}=1$ es decir cuando $y=x$ pero $x \neq 0$.
$c=2$
$f(x, y)=2$ se cumple cuando $\frac{y}{x} = 2$ es decir cuando $y=2x$ pero $x \neq 0$.
$c=\frac{1}{2}$
$f(x, y)=\frac{1}{2}$ se cumple cuando $\frac{y}{x} = \frac{1}{2}$ es decir cuando $y=\frac{1}{2}x$ pero $x \neq 0$.
$c= -1$
$f(x, y)=-1$ se cumple cuando $\frac{y}{x}=-1$ es decir cuando $y= -x$ pero $x \neq 0$.
Sabemos que la ecuación de una recta está dada por $y=mx+b$ de donde $m=\frac{y}{x}$ entonces podemos observar que el plano se llena con rectas de diferentes pendientes, incluso la recta vertical, que es cuando $c=0$.
Por lo que podemos concluir que los puntos donde $f$ es discontinua son los de la forma $(0, y_0)$ que son los que forman la recta $x=0$ y el eje $y$.
En la siguiente animación puedes observar las curvas de nivel que se calcularon.