• Sea $X$ un conjunto. La familia ${\mathcal{T}}_{ind}=\{\mathrm{\varnothing },X\}$ es una topología. Se denomina topología indiscreta.

• La familia ${\mathcal{T}}_{disc}=\mathcal{P}(X)$, donde $\mathcal{P}$ es el conjunto potencia, también es una topología. Se denomina topología discreta.

• Consideremos la métrica Euclidiana y la métrica uniforme $(\mathrm{\infty })$ en ${\mathbb{R}}^2.$ Comparemos las topologías que inducen estas dos métricas. $$d_{\mathrm{\infty }}(x,y)=\Vert x-y{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$$ $$d_2(x,y)=\Vert x–y{\Vert }_2$$ $${}_2{B}_1((0,0))=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2<1\}$$ $${}_{\mathrm{\infty }}{B}_1((0,0))=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|máx\{|x|,|y|\}<1\}$$

Comparemos ${\mathcal{T}}_2$ con ${\mathcal{T}}_{\mathrm{\infty }}$. ¡Son la misma topología!

Porque $x$ es un punto interior de $A$ según ${\mathcal{T}}_2$ $⟺$ existe un círculo con centro en $x$ contenido en $A$ y dentro de ese círculo podemos inscribir un cuadrado. Entonces $x$ es punto interior de $A$ según ${\mathcal{T}}_{\mathrm{\infty }}$.

Recíprocamente $x$ es un punto interior de $A$ según ${\mathcal{T}}_{\mathrm{\infty }}$ $⟺$ existe un cuadrado con centro en $x$ contenido en $A$ y dentro de ese cuadrado podemos inscribir un círculo. Entonces $x$ es punto interior de $A$ según ${\mathcal{T}}_2$.

• ${\mathbb{R}}^2$ puede pensarse como un espacio de funciones.

$$f:\{1,2\}⟶\mathbb{R}$$

Al punto $(x_1,x_2)$ le corresponde la función $f$ cuya regla de correspondencia es

$f(1)=x_1$ y $f(2)=x_2$

Entonces $d_{\mathrm{\infty }}(f,g)=máx\{|f(1)–g(1)|,|f(2)–g(2)|\}$

En el siguiente enlace puedes observar un dibujo interactivo del ejemplo anterior.

https://www.geogebra.org/classic/bwpxexhp