Sea $\alpha :(a,b)\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ una curva parametrizada, sea $\mathcal{I}=(a,b).$

Sea $h:\mathcal{J}=(c,d)\to \mathcal{I}=(a,b)$ una función monótona $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que:

$$h(c,d)=(a,b)$$

Sea $t\in (a,b)$ y sea $\tau \in (c,d).$

Podemos hacer la composición $$\beta :\mathcal{J}\to {\mathbb{R}}^n$$

$$\beta =\alpha \circ h$$

$\beta (\tau )=\alpha (h(\tau ))$

$t=h(\tau )$

entonces ${\beta }^{\prime }(\tau )=\frac{d}{d\tau }(\alpha (h(\tau ))={\alpha }^{\prime }(h(\tau ))h^{\prime }(\tau )$

Pueden suceder dos casos:

* $h^{\prime }(\tau )>0\mathrm{\forall }\tau \Rightarrow h$ es creciente, entonces el vector ${\beta }^{\prime }(\tau )$ es un mútliplo positivo de ${\alpha }^{\prime }(h(\tau ))$, es decir, apunta en la misma dirección.

* $h^{\prime }(\tau )<0\mathrm{\forall }\tau \Rightarrow h$ es decreciente, entonces el vector ${\beta }^{\prime }(\tau )$ es un mútliplo negativo de ${\alpha }^{\prime }(h(\tau ))$, es decir, apunta en la dirección contraria.

EJemplo:

Una hélice $\gamma (t)=(\cos t,\sin t,t)$

${\gamma }^{\prime }(t)=(-\sin t,\cos t,1)$

$\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert =\sqrt{(-\sin t{)}^2+(\cos t{)}^2+(1{)}^2}$

$\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert =\sqrt{2}$ por lo que esta curva está parametrizada con rapidez constante.

Reparametricemos a $\gamma (t)$ con longitud de arco.

Sea $t=h(s)$ tal que $\beta (0)=\gamma (h(s))$ cumpla que $\Vert {\beta }^{\prime }(s)\Vert =1$ para toda $s.$

Entonces ${\beta }^{\prime }(s)={\gamma }^{\prime }(h(s))h^{\prime }(s)$

$\Vert {\beta }^{\prime }(s)\Vert =\Vert {\gamma }^{\prime }(h(s))\Vert |h^{\prime }(s)|$

$\Vert {\beta }^{\prime }(s)\Vert =\sqrt{2}|h^{\prime }(s)|$

Buscamos $h$ tal que $h^{\prime }(s)>0.$

Entonces $\sqrt{2}{h}^{\prime }(s)\equiv 1\Rightarrow h^{\prime }(s)\equiv {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Una solución de la ecuación anterior es $h(s)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}s$

Entonces $$\beta (s)=(\cos ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),\sin ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}})$$

Esta curva recorre la misma hélice pero ahora está parametrizada con rapidez unitaria.

Longitud de arco medida desde el punto $\beta (0)=(1,0,0)$

Calculemos la curvatura de la hélice en cada punto.

$\mathcal{K}(s)=\Vert {\beta }^{\prime \prime }(s)\Vert$

$\beta (s)=(\cos ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),\sin ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}})$

${\beta }^{\prime }(s)=(–{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\cos ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})=T(s)$ unitario.

${\beta }^{\prime \prime }(s)=(–{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),–{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),0)$

$\Vert {\beta }^{\prime \prime }(s)\Vert =\sqrt{(–{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}){)}^2+(–{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}){)}^2}$

$\Vert {\beta }^{\prime \prime }(s)\Vert ={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Luego $N(s)=(–\cos ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),–\sin ({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{2}}}),0)$ que es horizontal y paralelo al plano $xy.$

En el siguiente enlace puedes observar la animación de este ejemplo.

https://www.geogebra.org/classic/tcudugk8

La torsión y el triedro de Frenet – Serret.

Dada una curva $\alpha :\mathcal{I}\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3$ parametrizada por longitud de arco, tenemos el vector tangente $T(s):={\alpha }^{\prime }(s).$

Si ${\alpha }^{\prime \prime }(s)\ne \overrightarrow{0}$, tenemos el vector normal $N(s):={\displaystyle \frac{{\alpha }^{\prime \prime }(s)}{\Vert {\alpha }^{\prime \prime }(s)\Vert }}$

Observación: ${\displaystyle \frac{d}{ds}}T(s)={\displaystyle \frac{d}{ds}}{\alpha }^{\prime }(s)={\alpha }^{\prime \prime }(s)=\Vert {\alpha }^{\prime \prime }(s)\Vert N(s).$ Entonces $$T^{\prime }(s)=\mathcal{K}(s)=N(s)$$

Con $T$ y $N$ podemos producir otro vector, el vector Binormal $\overrightarrow{B}(s)$, donde $$\overrightarrow{B}(s)=T(s)\times N(s)$$

¿Cómo cambia $\beta (s)$?

$$\begin{array}{rl}{\beta }^{\prime }(s)& =(T(s)\times N(s){)}^{\prime }\\ & =T^{\prime }(s)\times N(s)+T(s)\times N^{\prime }(s)\\ & =\mathcal{K}\cdot N(s)\times N(s)+T(s)\times N^{\prime }(s)\\ & =\mathcal{K}+T(s)\times (aT+cB)\\ {\beta }^{\prime }(s)& =c(T\times B)=cN(s)\end{array}$$

Definamos la torsion de la curva en el punto $\alpha (s)$ como el número $\tau (s)$ tal que $$B^{\prime }(s)=–\tau (s)N(s)$$

Tres fórmulas

$$\begin{array}{rl}{T}^{\prime }(s)& =\mathcal{K}(s)N(s)\\ B^{\prime }(s)& =–\tau (s)N(s)\\ N^{\prime }(s)& =\mathcal{K}(s)T(s)+\tau (s)B(s)\end{array}$$

La fórmula de $N^{\prime }(s)$ se deduce a partir de $N=B\times T$, ya que derivando esta expresión se tiene que:

$$\begin{array}{rl}{N}^{\prime }& =(B\times T{)}^{\prime }\\ & =B^{\prime }\times T+B\times T^{\prime }\\ & =–\tau (N\times T)+B\times (\mathcal{K}N)\\ & =\tau (T\times N)+\mathcal{K}(B\times N)\\ N^{\prime }& =\mathcal{K}T+\tau B\end{array}$$