Sea $\alpha: (a,b) \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ una curva parametrizada, sea $\mathcal{I} = (a,b).$

Sea $h : \mathcal{J} = (c, d) \rightarrow \mathcal{I} = (a, b)$ una función monótona $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que:

$$h (c, d) = (a, b)$$

Sea $t \in (a, b)$ y sea $\tau \in (c, d).$

Podemos hacer la composición $$\beta : \mathcal{J} \rightarrow \mathbb{R}^n$$

$$\beta = \alpha \circ h$$

$\beta ( \tau ) = \alpha ( h (\tau))$

$t = h (\tau)$

entonces ${\beta}’ (\tau) = \frac{d}{d \tau} (\alpha (h(\tau)) = {\alpha}’ ( h (\tau)) h’ (\tau)$

Pueden suceder dos casos:

* $h’ (\tau ) > 0 \; \forall\, \tau \Rightarrow h $ es creciente, entonces el vector ${\beta}’ (\tau)$ es un mútliplo positivo de ${\alpha}’ ( h (\tau))$, es decir, apunta en la misma dirección.

* $h’ (\tau ) < 0 \; \forall\, \tau \Rightarrow h $ es decreciente, entonces el vector ${\beta}’ (\tau)$ es un mútliplo negativo de ${\alpha}’ ( h (\tau))$, es decir, apunta en la dirección contraria.

EJemplo:

Una hélice $\gamma (t) = (\cos t, \sin t, t)$

${\gamma}’ (t) = (\, -\,\sin t, \cos t, 1)$

$\|{\gamma}’ (t) \| = \sqrt{( -\,\sin t)^2 + (\cos t)^2 + (1)^2} $

$\|{\gamma}’ (t) \| = \sqrt{2}$ por lo que esta curva está parametrizada con rapidez constante.

Reparametricemos a $\gamma (t)$ con longitud de arco.

Sea $t = h (s)$ tal que $\beta (0) = \gamma (h (s))$ cumpla que $\| {\beta}’ (s) \| = 1$ para toda $s.$

Entonces ${\beta}’ (s) = {\gamma}’ (h (s)) h’ (s)$

$\| {\beta}’ (s) \| = \|{\gamma}’ (h (s))\| |h’ (s)|$

$\| {\beta}’ (s) \| = \sqrt{2} |h’ (s)|$

Buscamos $h$ tal que $h’ (s) > 0.$

Entonces $ \sqrt{2} h’ (s) \equiv 1 \Rightarrow h’ (s) \equiv \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Una solución de la ecuación anterior es $h (s) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}s$

Entonces $$\beta (s) = \Bigg( \cos \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), \sin \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), \dfrac{s}{\sqrt{2}} \Bigg)$$

Esta curva recorre la misma hélice pero ahora está parametrizada con rapidez unitaria.

Longitud de arco medida desde el punto $\beta (0) = (1, 0, 0)$

Calculemos la curvatura de la hélice en cada punto.

$\mathcal{K} (s) = \|{{\beta}’}’ (s) \|$

$\beta (s) = \Bigg( \cos \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), \sin \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), \dfrac{s}{\sqrt{2}} \Bigg)$

${\beta}’ (s) = \Bigg( – \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Bigg) = T (s)$ unitario.

${{\beta}’}’ (s) = \Bigg( – \dfrac{1}{2}\cos \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), – \, \dfrac{1}{2}\sin \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), 0 \Bigg)$

$\|{{\beta}’}’ (s) \| = \sqrt{\Bigg( – \dfrac{1}{2}\cos \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg)\Bigg)^2 + \Bigg( – \, \dfrac{1}{2}\sin \Bigg(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg)\Bigg)^2}$

$\|{{\beta}’}’ (s) \| = \dfrac{1}{2}$

Luego $N (s) = \Bigg( – \, \cos \Bigg( \dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg) ,\, – \, \sin\Bigg( \dfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigg), 0\Bigg)$ que es horizontal y paralelo al plano $xy.$

La torsión y el triedro de Frenet – Serret.

Dada una curva $\alpha : \mathcal{I} \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3$ parametrizada por longitud de arco, tenemos el vector tangente $T (s) := {\alpha}’ (s).$

Si ${{\alpha}’}’ (s) \neq \vec{0}$, tenemos el vector normal $N(s) := \dfrac{{{\alpha}’}’ (s)}{\| {{\alpha}’}’ (s)\|}$

Observación: $\dfrac{d}{ds} T(s) = \dfrac{d}{ds} {\alpha}’ (s) = {{\alpha}’}’ (s) = \| {{\alpha}’}’ (s) \| N (s).$ Entonces $$T’ (s) = \mathcal{K} (s) = N (s)$$

Con $T$ y $N$ podemos producir otro vector, el vector Binormal $\vec{B} (s)$, donde $$\vec{B} (s) = T(s) \times N(s)$$

¿Cómo cambia $\beta\, (s)$?

$$\begin{align*} {\beta}’ (s) &= \Big( T (s) \times N (s) \Big)’ \\ &= T’ (s) \times N (s) + T (s) \times N’ (s) \\ &= \mathcal{K} \cdot N(s) \times N(s) + T (s) \times N’ (s) \\ &= \mathcal{K} + T (s) \times (aT + c B) \\ {\beta}’ (s) &= c (T \times B) = c N(s) \end{align*}$$

Definamos la torsion de la curva en el punto $\alpha (s)$ como el número $\tau (s)$ tal que $${B}’ (s) = – \tau (s) N (s)$$

Tres fórmulas

$$\begin{align*} T’ (s) &= \mathcal{K} (s) N(s) \\ B’ (s) &= – \tau (s) N(s) \\ N’ (s) &= \mathcal{K} (s) T (s) + \tau (s) B (s)\end{align*}$$

La fórmula de $N’ (s)$ se deduce a partir de $ N = B \times T $, ya que derivando esta expresión se tiene que:

$$ \begin{align*}N’ &= (B \times T)’ \\ &= B’ \times T + B \times T’ \\ &= – \tau (N \times T) + B \times (\mathcal{K} N) \\ &= \tau (T \times N) + \mathcal{K} (B \times N) \\ N’ &= \mathcal{K} T + \tau B \end{align*} $$