Curvas parametrizadas
Sea $$ \alpha (t) = (x(t), y(t), z(t))$$ una curva, donde $t$ es el tiempo y $(x(t), y(t), z(t))$ la posición en el espacio.
Es decir, para cada $t$ tenemos que:
$$t \longrightarrow (x(t), y(t), z(t))$$
Y la curva representa el camino que describe.
La derivada de $\alpha (t)$ está dada por:
$$ {\alpha}’ (t) = ({x}'(t), {y}'(t), {z}'(t))$$
$${\alpha}’ (t) = \lim_{\Delta t \to \infty} \dfrac{(\alpha (t_0 \, – \, \Delta t) \, – \, \alpha (t_0))}{\Delta t} $$
Y representa la velocidad instantánea.
La rapidez es $\|{\alpha}’ (t) \|.$
Además, la aceleración instantánea está dada por $${\alpha}^{\prime \prime} (t)$$
Movimiento rectilíneo uniforme
Dado el punto $\vec{p_0} (x_0, y_0, z_0)$ que representa la posición inicial.
El vector velocidad constante, está dado por $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3).$
Por lo que, la curva que representa el camino que se describe es: $$ \alpha (t) = \vec{p_0} + \vec{v}(t)$$ $$ \alpha (t) = (x_0, y_0, z_0) +t(v_1, v_2, v_3)$$ $$ \alpha (t) = (x_0 + t v_1, y_0 + t v_2, z_0 + t v_3)$$
La ecuación de la recta tangente es: $$\beta (t) = \alpha (t_0) + t {\alpha}’ (t_0)$$
Existe una recta tangente si ${\alpha}’ (t_0) \neq \vec{0}$.
Si ${\alpha}’ (t_0) = \vec{0}$, estamos diciendo que la velocidad es $0$, es decir, no se mueve, y por tanto $\alpha (t) = \vec{p_0}$ para toda $t.$
Los puntos donde ${\alpha}’ (t_0) = 0$ son excepcionales.