Curvas parametrizadas

Sea $$\alpha (t)=(x(t),y(t),z(t))$$ una curva, donde $t$ es el tiempo y $(x(t),y(t),z(t))$ la posición en el espacio.

Es decir, para cada $t$ tenemos que:

$$t⟶(x(t),y(t),z(t))$$

Y la curva representa el camino que describe.

La derivada de $\alpha (t)$ está dada por:

$${\alpha }^{\prime }(t)=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))$$

$${\alpha }^{\prime }(t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{(\alpha (t_0–\mathrm{\Delta }t)–\alpha (t_0))}{\mathrm{\Delta }t}}$$

Y representa la velocidad instantánea.

La rapidez es $\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert .$

Además, la aceleración instantánea está dada por $${\alpha }^{\prime \prime }(t)$$

Movimiento rectilíneo uniforme

Dado el punto $\overrightarrow{p_0}(x_0,y_0,z_0)$ que representa la posición inicial.

El vector velocidad constante, está dado por $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3).$

Por lo que, la curva que representa el camino que se describe es: $$\alpha (t)=\overrightarrow{p_0}+\overrightarrow{v}(t)$$ $$\alpha (t)=(x_0,y_0,z_0)+t(v_1,v_2,v_3)$$ $$\alpha (t)=(x_0+t{v}_1,y_0+t{v}_2,z_0+t{v}_3)$$

La ecuación de la recta tangente es: $$\beta (t)=\alpha (t_0)+t{\alpha }^{\prime }(t_0)$$

Existe una recta tangente si ${\alpha }^{\prime }(t_0)\ne \overrightarrow{0}$.

Si ${\alpha }^{\prime }(t_0)=\overrightarrow{0}$, estamos diciendo que la velocidad es $0$, es decir, no se mueve, y por tanto $\alpha (t)=\overrightarrow{p_0}$ para toda $t.$

Los puntos donde ${\alpha }^{\prime }(t_0)=0$ son excepcionales.

$$

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