10 Material en revisión: Propiedades de abiertos y cerrados

Teorema: $F$ es cerrado $⟺ \partial F \subseteq F$ .

Teorema: $F$ es cerrado $⟺ F = \overset{―}{F} .$

Demostración:

[ $\Leftarrow$ ] Supongamos que $F = \overset{―}{F}$

[por demostrar: $F^{c}$ es abierto]

Sea $x \in F^{c}$ . Sabemos que $R^{n} =$ int $F \cup$ ext $F \cup \partial F$ y además sabemos que un punto no pude pertenecer a dos de estos conjuntos.

Entonces, tenemos que $x \notin F$ porque de estarlo $x \in F$ . (CONTRADICCIÓN)

Además $x \notin \partial F$ porque si $x \in \partial F ⟹ x \in \overset{―}{F} = F$ . (CONTRADICIÓN)

Por lo que la única posibilidad es que $x \in$ ext $F$ .

Luego, existe una bola contenida en el $F^{c}$ entonces $x$ es punto interior de $F^{c} ⟹ F^{c}$ es abierto.

[ $\Rightarrow$ ] Supongamos que $F^{c}$ es abierto.

$[$ por demostrar: $F = \overset{―}{F}]$

Sabemos que siempre ocurre que $F \subseteq \overset{―}{F}$ .

$[$ por demostrar: $\overset{―}{F} \subseteq F]$

Sea $x \in \overset{―}{F} = F \cup \partial F .$

Caso 1) $x \in F$ $✓$

Caso 2) $x \in \partial F$ $[$ por demostrar: $x \in F]$

Supongamos que $x \notin F$ entonces $x \in F^{c}$ , como $F^{c}$ es abierto, existe una bola $B_{r} (x) \subseteq F^{c}$ entonces en esa bola no hay puntos de $F$ . (CONTRADICCIÓN)

$∴ x \in F$

$∴ F = \overset{―}{F}$ $_{}$

Proposición: Sea $A \subseteq R^{n}$ entonces $\partial A = \partial A^{c}$ .

Demostración:

Sea $x \in \partial A$ $⟺ \forall r > 0 B_{r} (x) \cap A \neq \emptyset$ y también $B_{r} (x) \cap A^{c} \neq \emptyset$ $\forall x \in \partial A^{c}_{}$

Observación:

1) int $A$ es abierto.

Demostración:

int $A$ es abierto $⟺$ int ( int $A$ ) ) = int $A$ .

Sabemos que int ( int $A$ ) ) $\subseteq$ int $A$ . $✓$

$[$ por demostrar: int $A$ $\subseteq$ int $($ int $($ $A))]$

Sea $B =$ int $A$

$[$ por demostrar: $B \subseteq$ int $B]$

Sea $b \in B =$ int $A$

entonces $\exists B_{r} (b) \subseteq A$ .

Sea $x \in B_{r} (b)$

entonces $\exists B_{r^{'}} (x) \subseteq B_{r} (b) \subseteq A$ .

Luego $x$ es punto interior de $A$ , por lo que $x \in B$ . Entonces $b$ es punto interior de $B$ $∴ B \subseteq int B ._{}$

2) $\overset{―}{F}$ es cerrado.

Demostración:

Sea $E = \overset{―}{F}$

$[$ por demostrar: $E$ es cerrado $]$

$[$ por demostrar: $E = \overset{―}{E}$ $]$

$[$ por demostrar: $\partial E \subseteq E$ $]$

Sea $x \in \partial E$

$\forall r > 0$ $B_{r} (x) \cap E \neq \emptyset$ y $B_{r} (x) \cap E^{c} \neq \emptyset$ .

$[$ por demostrar: $x \in E$ $]$

Si no fuera así, $x \in E^{c} =$ ext $F$ ya que $R^{n} =$ int $F \cup \partial F \cup$ ext $F$ . Pero int $F \cup \partial F = \overset{―}{F}$ , por lo que $R^{n} = \overset{―}{F} \cup$ ext $F$ , lo que es lo mismo que $R^{n} = E \cup$ ext $F$ .

Luego, $\exists B_{r} (x)$ en la cual todos los puntos están en $F^{c}$ . Allí no hay ningún punto de $E$ , ya que $E = F \cup \partial F$ .

Si hubiera un $w \in \partial F$ , $w \in B_{r} (x)$ entonces $\exists r^{'} > 0$ tal que $B_{r^{'}} (w) \subset B_{r} (x) \subset F^{c}$ .

Por lo que $w$ no puede ser punto frontera de $F$ pues tiene una vecindad contenida en $F^{c}$ . Luego $B_{r} (x) \cap E = \emptyset$ . (CONTRADICCIÓN)

Entonces para cualquier $A \subseteq R^{n}$ se tiene que int $A \subseteq A \subseteq \overset{―}{A}$ . $_{}$

Proposición: $\emptyset$ es abierto y cerrado.

Demostración:

int $\emptyset \subseteq \emptyset ⟹$ int $\emptyset = \emptyset .$

$∴ \emptyset es abierto$

Además, $\partial \emptyset = \emptyset$ y también $\emptyset = \emptyset \cup \partial \emptyset = \overset{―}{\emptyset} .$ $∴ \emptyset es cerrado._{}$

Observación: $R^{n}$ es abierto y cerrado.

Proposición: Sea $T$ la familia de todos los abiertos de $R^{n}$ tiene tres propiedades especiales:

1) $\emptyset \in T$ , $R^{n} \in T,$

2) la unión arbitraria de abiertos es abierta,

3) la intersección finita de abiertos es abierta.

Luego, $(X, T)$ es un espacio topológico si $T$ tiene estas tres propiedades.

$(R^{n}, T)$ es un espacio topológico.

Esto pasa para cualquier espacio métrico $(X, d)$ y la que hemos definido sería la topología inducida por la métrica. $(X, T_{d})$

Demostración:

1) se cumple. $✓$

2) Sea ${A_{i}}_{i \in I}$ una familia de abiertos.

$A_{i} \in T \forall i \in I$ . Además $A_{i} \subseteq R^{n} \forall i \in I .$

$[$ por demostrar: $⋃_{i \in I} A_{i}$ es abierta $]$

$[$ por demostrar: $⋃_{i \in I} A_{i} \in T]$

Sea $x \in ⋃_{i \in I} A_{i} ⟺ x \in A_{i}$ para algún $i \in I$ pero como $A_{i}$ es abierto, $\exists B_{r} (x) \subseteq A_{i} \subseteq ⋃_{j \in I} A_{j}$

3) Sean $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} \in T$ abiertos.

$[$ por demostrar: $⋂_{i = 1}^{n} A_{i} \in T$ es abierta $]$

Sea $x \in A_{1} ⋂ A_{2} ⋂ \dots ⋂ A_{n}$ .

Dado que $x \in A_{1}$ y como $A_{1}$ es abierto, $\exists r_{1} > 0$ tal que $B_{r_{1}} (x) \subseteq A_{1} .$

De igual manera $x \in A_{2}$ y como $A_{2}$ es abierto, $\exists r_{2} > 0$ tal que $B_{r_{2}} (x) \subseteq A_{2} .$

Y así sucesivamente hasta el último conjunto, de modo que, como

$x \in A_{n}$ y como $A_{n}$ es abierto, $\exists r_{n} > 0$ tal que $B_{r_{n}} (x) \subseteq A_{n} .$

Sea $ε = mín {r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}}$ tenemos que para $ε > 0, B_{ε} (x) \subseteq A_{i} \forall i = 1, 2, \dots, n$ , por lo que $B_{ε} (x) \subseteq ⋂_{i = 1}^{n} A_{i} .$ $_{}$

$T$ recibe el nombre de Topología.

Tarea moral

Usando las leyes de De Morgan, muestra que los cerrados tienen estas tres propiedades:

1) $\emptyset \in T$ , $R^{n} \in T,$

2) la unión finita de cerrados es cerrada,

3) la intersección arbitraria de cerrados es cerrada.

El blog de Leo

Aprendiendo, creando y compartiendo matemáticas

10 Material en revisión: Propiedades de abiertos y cerrados

Me gusta esto:

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Comparte esto:

Me gusta esto:

Deja una respuesta Cancelar la respuesta