Introducción
En esta entrada abordaremos otro de los problemas conocidos que se pueden plantear en términos de programación lineal: el problema del transporte. A grandes rasgos, el problema del transporte habla de cómo surtir a diferentes destinos de un cierto producto que parte de diferentes orígenes con disponibilidad limitada.
Siendo un poco más concretos, cada origen tiene una cierta cantidad de unidades de producto. Cada destino requiere de una cierta cantidad de unidades de producto. Además, para cada pareja origen-destino se tiene un costo de transporte unitario. El objetivo es determinar cuál es la manera más económica de cumplir con todos los requisitos de oferta y demanda.
Ejemplo del problema del transporte
Supongamos que una compañía que produce electrónicos tiene tres almacenes
Origen | A | B | C |
Oferta en unidades | 200 | 350 | 470 |
Pensemos que hay dos tiendas de electrónicos
Destino | X | Y |
Demanda en unidades | 300 | 500 |
Además de esto sabemos que transportar cada una de las computadoras portátiles tiene un costo que depende del almacén origen y de la tienda destino. El costo unitario de transporte está dado por la siguiente tabla.
A | B | C | |
X | 35 | 40 | 42 |
Y | 44 | 37 | 45 |
Así, por ejemplo, transportar una computadora portátil del almacén
Queremos determinar cuántas computadoras portátiles se tienen que enviar de cada origen a cada destino de manera que no se exceda la cantidad disponible en cada origen, a cada tienda llegue la cantidad de computadoras que se deben enviar y se minimice el costo total de envío.
Variables de decisión
Lo que tenemos que decidir en nuestro problema es cuántas computadoras portátiles se envían de cada origen a cada destino. Por ejemplo, debemos decidir cuánto vale una variable
En este ejemplo en concreto, la cantidad de unidades debe ser un número entero (no podemos enviar
Función objetivo
Debemos de establecer cuál es la función objetivo que queremos optimizar. Notemos que el costo total que involucrarán las computadoras portátiles enviadas del almacén
Restricciones
Hay dos tipos de restricciones que debemos cuidar:
- Que ninguno de los almacenes exceda la cantidad de computadoras portátiles que tiene disponible.
- Que cada tienda reciba el número de computadoras portátiles que requiere.
En el caso de la primera restricción, lo que estamos haciendo es limitar a las sumas que involucren a un mismo almacén. Por ejemplo, para no exceder las
En el caso de la segunda restricción, ahora la desigualdad es opuesta: es una condición que requiere que las computadoras portátiles que lleguen a cada tienda sean al menos un valor dado. Entonces, para la tienda
Entonces, juntando todas las restricciones, tenemos:
Resumen de formulación del problema del transporte
En resumen, el ejemplo de problema de transporte queda resumido en el siguiente PPL.
Formulación general del problema del transporte
De manera general, en el problema del transporte se requieren transportar ciertas unidades de un producto desde
Llamemos
Lo que buscamos es determinar para cada origen
Como lo hemos hecho en entradas anteriores, las condiciones anteriores pueden ser planteadas en términos lineales. Para no exceder la oferta del origen
para cada
Para cumplir con la demanda en el destino
para cada
Agregando las condiciones de positividad y estableciendo que queremos minimizar el costo total, obtenemos el problema planteado de la siguiente manera:
donde
Las desigualdades en (1) se llaman restricciones de oferta y en (2) restricciones de demanda.
Más adelante…
Con este problema contamos ya con tres ejemplos de situaciones que se pueden plantear en términos de programación lineal: el problema de la dieta, el problema de la mochila y el problema del transporte. A continuación veremos dos más: el problema de producción e inventario, y el problema de la ruta más corta.
Tarea
- Encuentra por lo menos una manera de realizar las asignaciones de variables en el problema de los almacenes de computadoras portátiles y las tiendas. No importa que el costo total que encuentres no sea óptimo, pero sí se deben cumplir las restricciones de oferta y de demanda.
- ¿Qué sucede en el problema del transporte si la cantidad total de demanda excede a la cantidad total de oferta? Plantea esta posibilidad en términos de los parámetros
y de oferta y demanda, respectivamente. - Imagina que en el ejemplo que planteamos de computadoras portátiles, almacenes y tiendas sucede que el precio de transportar una computadora portátil es de $30 sin importar el almacén origen o la tienda destino. En este caso, ¿cuál sería una manera óptima de realizar los envíos, y tal que se cumplan las restricciones de oferta y demanda?
- Se presenta la siguiente situación:
Una empresa coreana fabrica y luego distribuye sus pantallas a diferentes vendedores. En este momentos tienen pantallas de 4 diferentes tamaños: 43″, 50″, 55″ y 65″. Los países a donde distribuyen sus productos son Japón, China y Estados Unidos. En la siguiente tabla se muestra el costo de exportación en miles de dólares por cada 1000 televisores de cada modelo.
43″ | 50″ | 55″ | 65″ | Demanda este año | |
Japón | $50k | $60k | $65k | $70k | 100k |
China | $60k | $70k | $75k | $80k | 300k |
Estados Unidos | $80k | $90k | $95k | $100k | 350k |
Disponibilidad | 250k | 220k | 180k | 150k | —— |
También se señaló en la tabla anterior cual es la demanda de cada país para este año y las pantallas que fueron fabricadas este año por cada modelo.
Plantea este problema como un problema del transporte como se hizo anteriormente.
- Un posible caso particular del problema del transporte sucede cuando hay muchos orígenes y únicamente un destino. Plantea esta posibilidad de manera general. En este caso, ¿cuál sería una buena estrategia para decidir cuáles orígenes deben enviar unidades del producto al destino?
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