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Álgebra Moderna I: Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

El temario de este curso consiste principalmente en el estudio de la Teoría de grupos, comenzamos su construcción desde las operaciones binarias, estudiamos distintos tipos de grupos y funciones entre ellos (homomorfismos) y seguimos intentando describir a los grupos. El primer gran escalón de nuestro curso fueron los Teoremas de isomorfía, luego los Teoremas de Sylow y ahora llegamos al tercero: el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.

Otros dos teoremas fundamentales que seguramente conoces son el Teorema fundamental del álgebra y el Teorema fundamental de la aritmética, conviene recordar el segundo. Básicamente nos dice que a todo número entero lo podemos ver como un producto de primos, además nos dice que estos primos son únicos excepto por el orden en que aparecen. Este teorema es importante porque intuitivamente nos dice que los números primos son los ladrillos básicos para construir a cualquier número.

¿Cuáles son estos mismos ladrillos para los grupos abelianos finitos? En la entrada de Producto directo interno vimos un teorema en el que para ciertos casos podemos descomponer a un grupo finito $G$ en sus $p$-subgrupos de Sylow, donde cada $p$ corresponde a un factor primo del orden del grupo. ¿Qué podría ser más fundamental que eso?

Usaremos el teorema que vimos en Producto directo interno y veremos que un grupo abeliano finito $G$ es isomorfo a un producto directo de grupos ajenos a $G$ en lugar de los $p$-subgrupos de Sylow que dependen del grupo que los contiene. ¿Qué grupos finitos relacionados con primos conocemos aparte de los $p$-subgrupos? Los candidatos ideales son $\z_n$, con $n$ una potencia de un primo, que de acuerdo a lo que hemos estudiado son abelianos y finitos.

Así, el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos nos presenta a los $\z_n$, con $n$ una potencia de un primo, como nuestros ladrillos elementales para describir cualquier grupo abeliano finito $G$.

Último lema numerado

Como prometimos en la entrada anterior, aquí está el tercer lema numerado que usaremos para demostrar el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.

Lema 3. Sean $p\in\z^+$ un primo y $G$ un $p$-grupo abeliano. Tenemos que $G$ es un producto directo interno de grupos cíclicos.

Demostración.
Por el segundo principio de inducción.

Sea $p\in\z^+$ un primo, $G$ un $p$-grupo abeliano.

Sea $g\in G$ un elemento de orden máximo (podemos suponer que $g\neq e$ ya que si $g = e$, entonces $G = \{e\}$).

H.I. Supongamos que todo $p$-grupo abeliano de orden menor que el orden de $G$ es un producto directo interno de grupos cíclicos.

Por el lema 2, $G$ es el producto directo de $\left< g \right>$ y un subgrupo $H$ de $G$. Entonces $|G| = |\left< g \right>|\,|H|$ lo que implica que $\displaystyle |H| = \frac{|G|}{|\left< g \right>|}$ y, esto implica que $ \displaystyle |H| < |G|$.

Además, $H$ también es un $p$-grupo abeliano. Así que por la hipótesis de inducción $H$ es el producto directo de grupos cíclicos.

Por lo tanto $G$ es producto directo de grupos cíclicos, a saber $\left< g \right>$ y los grupos cíclicos cuyo producto directo es $H$.

$\blacksquare$

Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos

Recordemos que los isomorfismos preservan la estructura algebraica de los grupos. Recordemos que los grupos $\z_n$, con $n$ una potencia de un primo, son abelianos y finitos, por lo que sólo pueden ser isomorfos a otros grupos abelianos y finitos. Más aún, todo grupo abeliano finito es isomorfo a un producto directo de este tipo de grupos.

Teorema. (Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos) Todo grupo abeliano finito $G$ es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos de la forma $$\z_{p_1^{\alpha_1}} \times \cdots \times \z_{p_r^{\alpha_r}}$$ con $p_1,\dots, p_r,\alpha_1,\dots, \alpha_r \in \z^+$ y $p_1,\dots,p_r$ primos no necesariamente distintos.

Demostración.

Sea $G$ un grupo abeliano finito. Por ser $G$ abeliano todos sus subgrupos son normales, en particular sus subgrupos de Sylow.

Por el teorema de la entrada Producto directo interno, $G$ es isomorfismo al producto directo de sus subgrupos de Sylow, y por el lema 3 cada uno de ellos es un producto directo de subgrupos cíclicos. Además, como los subgrupos de Sylow son de orden una potencia de un primo, sus subgrupos también, por lo que son isomorfos a $\z_{p^\alpha}$ con $p,\alpha \in \z^+$ y $p$ un primo.

Así, $G$ es isomorfo a un producto directo de la forma
\begin{align*}
\z_{p_1^{\alpha_1}} \times \cdots \times \z_{p_r^{\alpha_r}}
\end{align*}
con $p_1,\dots,p_r,\alpha_1,\dots, \alpha_r \in\z^+$, $p_1,\dots,p_r$ primos no necesariamente distintos.

$\blacksquare$

Apreciemos cómo la demostración de los lemas anteriores, nos facilitaron la demostración de este teorema fundamental.

Ejemplo.

Sea $G$ un grupo abeliano de orden $180 = 4\cdot 45 = 2^2\cdot 3^2 \cdot 5$.

Entonces, de acuerdo con el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos, $G$ es isomorfo a alguno de

  • $\z_2\times\z_2\times\z_3\times\z_3\times\z_5$,
  • $\z_4\times\z_3\times\z_3\times\z_5$,
  • $\z_2\times\z_2\times\z_9\times\z_5$ ó
  • $\z_4\times\z_9\times\z_5$.

Podría ser isomorfo a cualquiera de ellos, pero para saber a cuál requeriríamos más información. De cualquier modo este primer análisis nos ayuda mucho a entender cómo debe ser el grupo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Si $G$ es un grupo abeliano finito, definimos $v_k(G)$ como el número de elementos de $G$ de orden $k$.
    Prueba que si dos grupos finitos abelianos, $G$ y $G^*$ son isomorfos si y sólo si $v_k(G) = v_k(G^*)$ para todo entero $k$. (Este resultado no es cierto para grupos no abelianos).
  2. Prueba el Teorema Fundamental de la Aritmética aplicando el Teorema Fundamental de Grupos Abelianos Finitos a $G = \z_n$, con $n\in\n$.
  3. Usa el Teorema Fundamental de Grupos abelianos finitos para describir a…
    • Un grupo de orden $144.$
    • Un grupo de orden $360.$
    • Un grupo de orden $2783.$
  4. Encuentra para cuáles $n \in \z^+$ los grupos de orden $n$ son cíclicos.
  5. Prueba que $A$ es un grupo abeliano finito de orden $n$ si y sólo si para cada $d$ divisor de $n$, hay a lo más $d$ elementos $a\in A$ tales que $a^d = 1_A.$

Más adelante…

Esta entrada fue un tema muy anticipado. Ahora comenzaremos otro tema que, aunque sea corto, es igual de importante que el Teorema fundamental de grupos finitos abelianos. De hecho, comparte que también es semejante con el Teorema fundamental de la aritmética. Comenzaremos a estudiar el Teorema de Jordan-Hölder

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