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Cálculo Diferencial e Integral II: Integrales trigonométricas básicas

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

Hasta esta sección ya hemos visto dos métodos de integración: cambio de variable e integración por partes, antes de entrar a las integrales trigonométricas o el método de sustitución trigonométrica, hay que saber algunas integrales trigonométricas básicas para entrar a los métodos de integración mencionados.

Integrales trigonométricas básicas

Ya hemos visto dos integrales trigonométricas directas y fundamentales, estas integrales son las siguientes:

$$\int \sin(x)dx=-\cos(x)+C$$

$$\int \cos(x)dx=\sin(x)+C$$

Ahora veremos las integrales indefinidas de las 4 funciones trigonométricas básicas restantes utilizando el método de cambio de variable, empecemos con la función $\tan(x)$.

  • $$\int \tan (x)dx$$

Para integrar esta función sabemos que lo podemos reescribir en término de las funciones $\sin(x)$ y $\cos(x)$, entonces:

$$\int \tan (x)dx=\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}dx$$

Integramos por el método de sustitución haciendo un cambio de variable.

Sea $u=\cos(x) \Rightarrow du=-\sin(x)dx \Rightarrow -du=\sin(x)dx$ entonces tenemos que:

$$\int \tan (x)dx=-\int \frac{du}{u}=-\int \frac{1}{u}du=-ln|u|+C=-ln|\cos(x)|+C$$

$$\therefore \int \tan (x)dx=-ln|\cos(x)|+C$$

  • $$\int \cot(x)dx$$

Para resolver esta integral, nuevamente usamos el truco anterior, reescribimos el integrando en términos de las funciones $\sin(x)$ y $\cos(x)$, entonces:

$$\int \cot(x)dx=\int \frac{\cos(x)}{\sin(x)}dx$$

Hacemos un cambio de variable, sea $u=\sin(x) \Rightarrow du=\cos(x)dx$ entonces tenemos que:

$$\int \cot(x)dx=\int \frac{1}{u}du=ln|u|+C=ln|\sin(x)|+C$$

$$\therefore \int \cot(x)dx=ln|\sin(x)|+C$$

  • $$\int \sec(x)dx$$

Al resolver las integrales anteriores talvez este tentado por cambiar la función $\sec(x)$ en términos de las funciones $\sin(x)$ y $\cos(x)$, pero esto no nos sirve, ya que al hacer esto no encontraremos un cambio de variable adecuado, recordemos que $\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}$. Para resolver esta integral tenemos que multiplicar por $1$, en donde tiene que ser un uno adecuado, veamos:

$$\int \sec(x)dx=\int \sec(x)\left ( \frac{\sec(x)+\tan(x)}{\sec(x)+\tan(x)}\right )dx=\int \frac{\sec^{2}(x)+\sec(x)\tan(x)}{\sec(x)+\tan(x)}dx$$

Integramos por el método de sustitución, hacemos un cambio de variable.

Sea $u=\sec(x)+\tan(x) \Rightarrow du=(\sec(x)\tan(x)+\sec^{2}(x))dx$, entonces:

$$ \int \sec(x)dx =\int \frac{1}{u}du=ln|u|+C=ln|\sec(x)+\tan(x)|+C$$

$$\therefore \int \sec(x)dx=ln|\sec(x)+\tan(x)|+C$$

  • $$\int \csc(x)dx$$

Análogamente, al ejercicio anterior, multiplicamos por un uno adecuado:

$$\int \csc(x)dx=\int \csc(x) \left ( \frac{\csc(x)+\cot(x)}{\csc(x)+\cot(x)} \right )dx=\int \frac{\csc^{2}(x)+\csc(x)\cot(x)}{\csc(x)+\cot(x)}dx$$

Hacemos un cambio de variable.

Sea $u=\csc(x)+\cot(x) \Rightarrow du=(-\csc(x)\cot(x)-\csc^{2}(x))dx=-(\csc(x)\cot(x)+\csc^{2}(x))dx$

$$\int \csc(x)dx=-\int \frac{1}{u}du=-ln|u|+C=-ln|\csc(x)+\cot(x)|+C$$

$$\therefore \int \csc(x)dx=-ln|\csc(x)+\cot(x)|+C$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Resuelve las siguientes integrales:

  1. $$\int (4\sin(x)-4\sec^{2}(x))dx$$
  2. $$\int \cos(2x-6)dx$$
  3. $$\int e^{x}\cos(e^{x})dx$$
  4. $$\int \csc(3x+1)dx$$
  5. $$\int (\tan(5x)+xcot(4x^{2}+1)+\sec(7x+3))dx$$

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Más adelante…

Aunque esta sección solo vimos integrales trigonométricas básicas, en las siguientes secciones veremos el método de integrales trigonométricas que contienen producto de potencias de funciones $\sin(x)$ y $\cos(x)$, producto de potencias de funciones $\tan(x)$ y $\cot(x)$ y el método por sustitución trigonométrica, por lo que nos serán útiles las integrales que vimos en esta sección para resolver las integrales por venir.

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