Introducción
En esta entrada veremos algunos de los conceptos básicos, pero elementales, de las integrales para funciones complejas de variable real. Para ello recurriremos a algunos resultados de nuestros cursos de Cálculo.
Primeramente consideremos a una función híbrida $f(t)=u(t)+iv(t)$, con $t\in[a,b]\subset\mathbb{R}$ y $a<b$. Tenemos que $u(t)$ y $v(t)$ son ambas funciones reales de variable real. De acuerdo con nuestros cursos de Cálculo, sabemos que si $u$ y $v$ son funciones continuas en el intervalo $[a,b]$, entonces ambas son funciones Riemann-integrables para la variable $t$, es decir, las integrales de Riemann $\int_{a}^{b} u(t) dt$ y $\int_{a}^{b} v(t) dt$ existen. Considerando lo anterior tenemos la siguiente:
Definición 33.1. (Integral compleja de una función híbrida.)
Sean $[a,b]\subset{\mathbb{R}}$ un intervalo cerrado, con $a<b$, y $f: [a,b] \to \mathbb{C}$ una función híbrida continua en $[a,b]$. Para $f(t) = u(t) + i v(t)$ se define a la integral de $f$ en $[a,b]$ como:
\begin{equation*}
\int_{a}^{b} f(t) \, dt
:= \int_{a}^{b} u(t)\, dt + i \int_{a}^{b} \,v(t) dt.
\end{equation*}
Es decir, $\int_{a}^{b} f(t) \,dt$ existe si y solo si $\int_{a}^{b} u(t) \,dt$ y $\int_{a}^{b} v(t) \,dt$ existen, en tal caso se dice que $f$ es integrable.
Observación 33.1.
Por nuestros cursos de Cálculo sabemos que una función real que es continua por partes o a trozos también es Riemann-integrable, por lo que, considerando la definición 32.3, podemos extender la definición 33.1 para funciones híbridas que son continuas a trozos.
Definición 33.2. (Integral compleja de una función híbrida a trozos.)
Sean $[a,b]\subset{\mathbb{R}}$ un intervalo cerrado, con $a<b$, y $f: [a,b] \to \mathbb{C}$ una función híbrida continua a trozos en $[a,b]$. Para la partición:
\begin{equation*}
P : a=t_0 < t_1 < \cdots < t_{n-1}<t_n=b,
\end{equation*}del intervalo $[a,b]$, se define a la integral de $f$ en $[a,b]$ como:
\begin{equation*}
\int_{a}^{b} f(t) \,dt
= \displaystyle\sum_{k=1}^n \int_{t_k}^{t_{k-1}} f(t) \,dt.
\end{equation*}
Observación 33.2.
Recordemos que no es esencial que la función $f$ esté definida en los puntos $t_0, t_1, \ldots, t_n$ ya que el valor de $f$ en dicho conjunto finito de puntos se puede asignar o cambiar de forma arbitraria sin afectar el valor de la integral.
Debe ser claro que las integrales complejas de este tipo heredan todas las propiedades de la integral de funciones reales de variable real.
Proposición 33.1.
Sean $[a,b]\subset{\mathbb{R}}$ un intervalo cerrado, con $a<b$, $f, g: [a,b] \to \mathbb{C}$ dos funciones híbridas continuas en $[a,b]$ y sea $k\in\mathbb{C}$ una constante. Se satisfacen las siguientes propiedades.
- \begin{equation*}
\operatorname{Re}\left( \int_{a}^{b} f(t) \,dt\right) = \int_{a}^{b} \operatorname{Re} f(t) \,dt \quad \text{e} \quad \operatorname{Im}\left( \int_{a}^{b} f(t) \,dt\right) = \int_{a}^{b} \operatorname{Im} f(t) \,dt.
\end{equation*} - \begin{equation*}
\int_{a}^{b} \left[f(t) \pm g(t) \right]\,dt = \int_{a}^{b} f(t)\,dt \pm \int_{a}^{b} g(t)\,dt.
\end{equation*} - \begin{equation*}
\int_{a}^{b} kf(t)\,dt = k\int_{a}^{b} f(t)\,dt.
\end{equation*} - Si $c\in(a,b)$, entonces:
\begin{equation*}
\int_{a}^{b} f(t)\,dt = \int_{a}^{c} f(t)\,dt + \int_{c}^{b} f(t)\,dt.
\end{equation*} - \begin{equation*}
\left|\int_{a}^{b} f(t)\,dt\right| \leq \int_{a}^{b}\left| f(t) \right| \,dt
\end{equation*} - Si $f$ y $g$ son diferenciables en $(a,b)$ y continuas en $[a,b]$, entonces:
\begin{equation*}
\int_{a}^{b} f(t) g'(t)\,dt = f(b)g(b) – f(a)g(a) – \int_{a}^{b} f'(t) g(t)\,dt,
\end{equation*}es decir, la integración por partes se cumple para funciones híbridas. - \begin{equation*}
\int_{b}^{a} f(t)\,dt = -\int_{a}^{b} f(t)\,dt.
\end{equation*}
Demostración. Dadas las hipótesis.
- Es inmediata de la definición 33.1, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.
- Se deja como ejercicio al lector.
- Sean $f(t)=u(t)+iv(t)$ y $k=\alpha+i\beta$, con $\alpha, \beta\in\mathbb{R}$. Para toda $t\in[a,b]$ tenemos que:
\begin{align*}
k f(t) &= (\alpha+i\beta)(u(t)+iv(t))\\
&= \alpha u(t)- \beta v(t) + i\left[\alpha v(t) +i\beta u(t)\right].
\end{align*}Entonces, de la definición 33.1 y aplicando las propiedades de linealidad de las integrales de funciones reales, tenemos que:
\begin{align*}
\int_{a}^{b} k f(t) \, dt &= \int_{a}^{b} \left[\alpha u(t) – \beta v(t)\right] \, dt + i \int_{a}^{b} \left[\alpha v(t) +i\beta u(t)\right] \, dt\\
&= \alpha \int_{a}^{b} u(t) dt – \beta \int_{a}^{b} v(t) dt + i \left[\alpha \int_{a}^{b} v(t) dt +\beta \int_{a}^{b} u(t) dt\right]\\
& = (\alpha + i\beta) \left[\int_{a}^{b} u(t) dt + i \int_{a}^{b} v(t) dt\right]\\
& = k \int_{a}^{b} f(t) \, dt.
\end{align*} - Se deja como ejercicio al lector.
- Si $\displaystyle\int_{a}^{b} f(t)\,dt = 0$, entonces:
\begin{equation*}
\left|\int_{a}^{b} f(t)\,dt\right| = 0 \leq \int_{a}^{b}\left| f(t) \right| \,dt,
\end{equation*}por lo que en tal caso no hay nada que probar.
Supongamos que $\displaystyle\int_{a}^{b} f(t)\,dt \neq 0$, entonces podemos escribir a la integral en su forma polar, es decir:
\begin{equation*}
\int_{a}^{b} f(t)\,dt = r e^{i\theta},
\end{equation*}donde $r=\left|\int_{a}^{b} f(t)\,dt\right|\geq 0$ y $\theta = \operatorname{arg}\left(\int_{a}^{b} f(t)\,dt\right)$.
Considerando lo anterior y la propiedad 3 tenemos que:
\begin{equation*}
r = \left|\int_{a}^{b} f(t)\,dt\right| = e^{-i\theta} \int_{a}^{b} f(t)\,dt = \int_{a}^{b} e^{-i\theta} f(t)\,dt.
\end{equation*}Como las cantidades de la igualdad anterior son números reales, tomando la parte real de ambos lados de la igualdad, de la propiedad 1 se sigue que:
\begin{equation*}
\left|\int_{a}^{b} f(t)\,dt\right| = \operatorname{Re} \left(\int_{a}^{b} e^{-i\theta} f(t)\,dt\right) = \int_{a}^{b} \operatorname{Re} \left(e^{-i\theta} f(t)\right) \,dt.
\end{equation*}Recordemos que para todo $z\in\mathbb{C}$ se cumple que $\operatorname{Re}(z) \leq |z|$, por lo que, considerando la monotonía de la integral para funciones reales y la proposición 20.2, tenemos que:
\begin{align*}
\left|\int_{a}^{b} f(t)\,dt\right| & = \int_{a}^{b} \operatorname{Re} \left(e^{-i\theta} f(t)\right) \,dt\\
& \leq \int_{a}^{b} \left|e^{-i\theta} f(t)\right| \,dt\\
& = \int_{a}^{b} \left|e^{-i\theta}\right| \left|f(t)\right| \,dt\\
& = \int_{a}^{b} \left|f(t)\right| \,dt.
\end{align*}Notemos que el resultado se cumple sin importar la rama del argumento que elijamos. - Se sigue de desarrollar el producto de $f(t)$ y $g'(t)$ y aplicar integración por partes para funciones reales, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.
- Se deja como ejercicio al lector.
$\blacksquare$
Observación 33.3.
Notemos que si $M=\sup\limits_{t\in[a,b]} |f(t)| < \infty$, entonces se cumple que:
\begin{equation*}
\left|\int_{a}^{b} f(t)\,dt\right| \leq \int_{a}^{b}\left| f(t) \right| \,dt \leq \int_{a}^{b} M \,dt = M(b-a).
\end{equation*}
Ejemplo 33.1.
Obtengamos la integral $\displaystyle\int_{0}^{2} f(t)\,dt$, donde:
\begin{equation*}
f(t)= \left\{ \begin{array}{lcc}
(1+i)t& \text{si} & 0\leq t \leq 1, \\ \\
it^2 & \text{si} & 1\leq t \leq 2.
\end{array} \right.
\end{equation*}
Solución. De acuerdo con la proposición 33.1(3) y 33.1(4) tenemos que:
\begin{align*}
\int_{0}^{2} f(t)\,dt &= \int_{0}^{1} f(t)\,dt + \int_{1}^{2} f(t)\,dt\\
&= (1+i)\int_{0}^{1} t\,dt + i \int_{1}^{2} t^2\,dt\\
& = \frac{(1+i)(1^2-0^2)}{2} + \frac{i(2^3-1^3)}{3}\\
& = \frac{1}{2} + i\frac{17}{6}.
\end{align*}
Definición 33.2. (Primitiva de una función híbrida.)
Sean $[a,b]\subset{\mathbb{R}}$ un intervalo cerrado, con $a<b$, y $f: [a,b] \to \mathbb{C}$ una función híbrida continua en $[a,b]$. Si existe una función continua $F: [a,b] \to \mathbb{C}$ tal que:
\begin{equation*}
F'(t)=f(t), \quad \forall t\in(a,b),
\end{equation*}se dice que $F$ es una primitiva de $f$.
Observación 33.4.
Debe ser claro que si $f, F: [a,b] \to \mathbb{C}$ son dos funciones híbridas continuas en $[a,b]$, tales que:
\begin{equation*}
f(t)=u(t) +iv(t) \quad \text{y} \quad F(t)=U(t) +iV(t),
\end{equation*}entonces $F$ es primitiva de $f$ si y solo si $U$ es primitiva de $u$ y $V$ es primitiva de $v$, es decir, las funciones reales $U(t)$ y $V(t)$ son tales que $U'(t)=u(t)$ y $V'(t)=v(t)$.
Veamos que para las funciones híbridas el segundo Teorema Fundamental del Cálculo (TFC), es válido.
Proposición 33.2. (Segundo TFC para funciones híbridas.)
Sean $[a,b]\subset{\mathbb{R}}$ un intervalo cerrado, con $a<b$, y $f: [a,b] \to \mathbb{C}$ una función híbrida continua en $[a,b]$. Si $F: [a,b] \to \mathbb{C}$ es una primitiva de $f$, entonces:
\begin{equation*}
\int_{a}^{b} f(t)\,dt = \left. F(t) \right|_{a}^{b}
= F(b) – F(a).
\end{equation*}
Demostración. Dadas las hipótesis, sean $f(t)=u(t)+iv(t)$ y $F(t)=U(t)+iV(t)$. Dado que $F$ es una primitiva de $f$, entonces, por la observación 33.4 y considerando el segundo TFC para funciones reales, tenemos que:
\begin{align*}
\int_{a}^{b} f(t) dt & = \int_{a}^{b} u(t)\, dt + i \int_{a}^{b} \,v(t) dt\\
& = \left[U(b)-U(a)\right] + i \left[V(b)-V(a)\right]\\
& = \left[U(b)+iV(b)\right] -\left[U(a)+iV(a)\right]\\
& = F(b) – F(a).
\end{align*}
En el caso en que $f$ es continua a trozos en $[a,b]$, podemos tomar por definición a la partición:
\begin{equation*}
P : a=t_0 < t_1 < \cdots < t_{n-1}<t_n=b,
\end{equation*}del intervalo $[a,b]$, donde $t_1, \ldots, t_{n-1}$ son los puntos de discontinuidad de la función continua a trozos $f$ en $(a,b)$. Entonces por la proposición 33.1(4) tenemos que:
\begin{align*}
\int_{a}^{b} f(t) dt & = \displaystyle\sum_{k=1}^n \int_{t_k}^{t_{k-1}} f(t) \,dt\\
& = \displaystyle\sum_{k=1}^n \left[ F(t_k) – F(t_{k-1})\right]\\
& = F(t_n) – F(t_{0})\\
& = F(b) – F(a).
\end{align*}
$\blacksquare$
Observación 33.5.
Por simplicidad hemos enunciado los resultados anteriores para funciones híbridas continuas, sin embargo, tanto las definiciones anteriores como las propiedades de la proposición 33.1 y el segundo TFC, para funciones híbridas, siguen siendo válidos si $f$ y $g$ son funciones continuas a trozos en $[a,b]$, con una adecuada modificación de los enunciados considerando los resultados de la teoría de integración para funciones reales continuas a trozos y la definición 33.2.
Ejemplo 33.2.
Sea $n\in\mathbb{Z}$. Consideremos a la función híbrida:
\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \to \mathbb{C}, \quad f(t)=e^{int}.
\end{equation*}Determinemos el valor de la integral $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(t) \, dt$.
Solución. Es claro que $f$ es una función continua y diferenciable para todo $t\in\mathbb{R}$. Más aún, de acuerdo con la proposición 20.2 tenemos que:
\begin{equation*}
f(t) = e^{int} = \operatorname{cos}(nt) + i \operatorname{sen}(nt),
\end{equation*}por lo que:
\begin{equation*}
f'(t) = in \left[\operatorname{cos}(nt) + i \operatorname{sen}(nt)\right] = ine^{int},
\end{equation*}entonces, la función $F(t)=\dfrac{e^{int}}{in}$ es una primitiva de $f$.
Para $n\neq 0$, por las proposiciones 20.2 y 33.3, tenemos que:
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{int} \, dt = \left. \dfrac{e^{int}}{in} \right|_{0}^{2\pi} = \frac{e^{i2n\pi}-e^0}{in} = \frac{1-1}{in} = 0.
\end{equation*}
Mientras que, para $n=0$ tenemos a la función constante $f(t)=1$, entonces, para todo $n\in\mathbb{Z}$ tenemos que:
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{int} \, dt= \left\{ \begin{array}{lcc}
0 & \text{si} & n \neq 0, \\ \\
2\pi & \text{si} & n=0.
\end{array} \right.
\end{equation*}
Ejemplo 33.3.
Evaluemos a la integral $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \operatorname{cos}^2(t) \, dt$.
Solución. De acuerdo con la definición 22.1 tenemos que:
\begin{equation*}
\operatorname{cos}^2(t) = \left(\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\left(e^{i2t} + e^{-i2t} + 2\right).
\end{equation*}
De la proposición 33.1 y el ejemplo anterior se sigue que:
\begin{align*}
\int_{0}^{2\pi} \operatorname{cos}^2(t) \, dt &= \int_{0}^{2\pi} \left[\frac{1}{4}\left(e^{i2t} + e^{-i2t} + 2\right)\right] \, dt\\
& = \frac{1}{4} \left[ \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \, dt + \int_{0}^{2\pi} e^{-i2t} \,dt + \int_{0}^{2\pi} 2 dt\right]\\
& = \frac{1}{4} \left[ 0 + 0 + 4\pi \right]\\
& = \pi.
\end{align*}
Ejemplo 33.4.
Determinemos una primitiva de la función $f(t)$ dada en el ejemplo 33.1. y utilicemos la proposición 33.3 para verificar el resultado del ejemplo 33.1.
Solución. Tenemos que:
\begin{equation*}
f(t)= \left\{ \begin{array}{lcc}
(1+i)t& \text{si} & 0\leq t \leq 1, \\ \\
it^2 & \text{si} & 1\leq t \leq 2.
\end{array} \right.
\end{equation*}
Es claro que la funciones $f_1(t) = (1+i)t$ y $f_2(t) = it^2$ son funciones continuas para todo $t\in\mathbb{R}$, por lo que integrando a cada una de dichas funciones tenemos que:
\begin{equation*}
F(t)= \left\{ \begin{array}{lcc}
\dfrac{(1+i)t^2}{2} + c_1& \text{si} & 0\leq t \leq 1, \\ \\
\dfrac{it^3}{3} + c_2& \text{si} & 1\leq t \leq 2.
\end{array} \right.
\end{equation*}determina una expresión general de las primitivas de $f$, donde $c_1$ y $c_2$ son dos constantes complejas arbitrarias.
Si $c_1 =0$, al evaluar a $F$ en $t=1$ tenemos que:
\begin{equation*}
\dfrac{1+i}{2} =\dfrac{i}{3} + c_2 \quad \Longrightarrow \quad c_2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{i}{6}.
\end{equation*}
Entonces:
\begin{equation*}
F(t)= \left\{ \begin{array}{lcc}
\dfrac{(1+i)t^2}{2} & \text{si} & 0\leq t \leq 1, \\ \\
\dfrac{it^3}{3} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{i}{6} & \text{si} & 1\leq t \leq 2.
\end{array} \right.
\end{equation*}es una primitiva de $f$ en el intervalo $[0,2]$.
De acuerdo con la proposición 33.3 tenemos que:
\begin{equation*}
\int_{0}^{2} f(t)\,dt = F(2) – F(0) = \frac{i(2^3)}{3} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{i}{6} – 0 = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{17}{6},
\end{equation*}lo cual coincide con el resultado del ejemplo 33.1.
Ejemplo 33.5.
Veamos que:
\begin{equation*}
\int_{0}^{1} (t-i)^3 dt = -\frac{5}{4}.
\end{equation*}
Solución. Sea $f(t) = (t-i)^3$. Desarrollando tenemos que:
\begin{equation*}
f(t)=t^3-3t+i(-3t^2+1),
\end{equation*}de donde $u(t)=t^3-3t$ y $v(t)=-3t^2+1$, las cuales son funciones continuas en $[0,1]$, por lo que podemos calcular la integral de cada función. Entonces:
\begin{equation*}
\int_{0}^{1} (t^3-3t) dt = \left.\left(\frac{t^4}{4}-\frac{3t^2}{2}\right)\right|_{0}^{1} = -\frac{5}{4},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int_{0}^{1} (-3t^2+1) dt = \left.\left(-t^3+t\right)\right|_{0}^{1} = 0,
\end{equation*}por lo que:
\begin{equation*}
\int_{0}^{1} (t-i)^3 dt = \int_{0}^{1} (t^3-3t) dt + i \int_{0}^{1} (-3t^2+1) dt = -\frac{5}{4}.
\end{equation*}
Ejemplo 33.6.
Verifiquemos que:
\begin{equation*}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{t+it} dt = \frac{1}{2}\left[e^{\frac{\pi}{2}}-1+i\left(e^{\frac{\pi}{2}}+1\right)\right].
\end{equation*}
Solución. Sea $f(t) = e^{t+it}$. De acuerdo con la proposición 20.2 tenemos que:
\begin{equation*}
f(t)=e^t\operatorname{cos}(t)+ie^t\operatorname{sen}(t),
\end{equation*}de donde $u(t)=e^t\operatorname{cos}(t)$ y $v(t)=e^t\operatorname{sen}(t)$, las cuales son funciones continuas en $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$, por lo que podemos calcular la integral de cada función. Integrando por partes tenemos que:
\begin{equation*}
\int e^t\operatorname{cos}(t) dt = e^{t}\left[\operatorname{cos}(t) + \operatorname{sen}(t)\right] – \int e^t\operatorname{cos}(t) dt +c,
\end{equation*}de donde:
\begin{equation*}
\int e^t\operatorname{cos}(t) dt = \frac{1}{2} e^{t}\left[\operatorname{cos}(t) + \operatorname{sen}(t)\right] +c.
\end{equation*}
Análogamente tenemos que:
\begin{equation*}
\int e^t\operatorname{sen}(t) dt = \frac{1}{2} e^{t}\left[\operatorname{sen}(t) – \operatorname{cos}(t)\right] +c.
\end{equation*}
Por lo que:
\begin{equation*}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^t\operatorname{cos}(t) dt = \left.\frac{1}{2} e^{t}\left[\operatorname{cos}(t) + \operatorname{sen}(t)\right]\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\left(e^{\frac{\pi}{2}}-1\right),
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^t\operatorname{sen}(t) dt = \left.\frac{1}{2} e^{t}\left[\operatorname{sen}(t) – \operatorname{cos}(t)\right]\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\left(e^{\frac{\pi}{2}}+1\right),
\end{equation*}entonces:
\begin{align*}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{t+it} dt &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^t\operatorname{cos}(t) dt + i \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^t\operatorname{sen}(t) dt\\
&= \frac{1}{2}\left(e^{\frac{\pi}{2}}-1\right) + i \frac{1}{2}\left(e^{\frac{\pi}{2}}+1\right)\\
& = \frac{1}{2}\left[e^{\frac{\pi}{2}}-1+i\left(e^{\frac{\pi}{2}}+1\right)\right].
\end{align*}
Observación 33.6.
No es difícil verificar que dada una función híbrida continua $f:[a,b]\to\mathbb{C}$, si $F$ y $G$ son dos primitivas de $f$, entonces $F$ y $G$ solo difieren por una constante compleja, en $[a,b]$. Considerando esto y la proposición 33.3, podemos escribir:
\begin{equation*}
\int_{a}^{b} f(t) \, dt = F(t) + c,
\end{equation*}con $c$ una constante compleja, para denotar a cualquier primitiva de $f$.
Ejemplo 33.7.
Sea $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Consideremos a la función híbrida $f(t)=e^{zt}$, con $t\in\mathbb{R}$, entonces:
\begin{equation*}
\int_{a}^{b} e^{zt} \, dt = \frac{1}{z} e^{zt} + c,
\end{equation*}con $c\in\mathbb{C}$ constante, ya que para $F(t) = \dfrac{1}{z} e^{zt}$, por la proposición 32.1(1) y el ejemplo 32.1, se cumple que:
\begin{equation*}
F'(t) = \frac{d}{dt} \dfrac{1}{z} e^{zt} = \dfrac{1}{z} \frac{d}{dt} e^{zt} = \dfrac{1}{z} z e^{zt} = e^{zt}, \quad z\neq 0.
\end{equation*}
Tarea moral
- Completa la demostración de la proposición 33.1.
- Sean $a,b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ y sea $f(t)=e^{at}\operatorname{cos}(bt)$. Determina una expresión general para la primitiva de $f$ de las siguientes formas.
a) Integra por partes dos veces y obtén la solución como en Cálculo.
b) Expresa $f$ usando la exponencial compleja y utiliza los resultados de esta entrada. - Evalúa las siguientes integrales utilizando los resultados de esta entrada, es decir, sin utilizar integración por partes.
a) $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{3t} \operatorname{cos}^2(2t) dt$.
b) $\displaystyle \int_{0}^{\pi} e^{t} \operatorname{cos}(3t) \operatorname{sen}(4t)dt$. - Sean $[a,b]\subset{\mathbb{R}}$ un intervalo cerrado, con $a<b$, y $f: [a,b] \to \mathbb{C}$ una función híbrida continua tal que $|f(t)|\leq M$ para todo $t\in[a,b]$, con $M>0$. Prueba que si:
\begin{equation*}
\left|\displaystyle \int_{a}^{b} f(t)\, dt\right| = M(b-1),
\end{equation*}entonces $f(t)=c$, con $c\in\mathbb{C}$ una constante tal que $|c|=M$. - Evalúa las siguientes integrales.
a) $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{i3t} dt$.
b) $\displaystyle \int_{1}^{2} \operatorname{Log}(it)dt$.
c) $\displaystyle \int_{-1}^{1} \dfrac{t+i}{t-i} dt$.
d) $\displaystyle \int_{-1}^{0} \operatorname{sen}(it)dt$.
e) $\displaystyle \int_{1}^{2} t^{i} dt$, considerando la rama principal de $t^i$.
f) $\displaystyle \int_{-1}^{1}(2i+3+it)^2 \, dt$. - Sean $m,n\in\mathbb{Z}$. Muestra que:
\begin{equation*}
\int_{0}^{2\pi} e^{imt} e^{-int}\, dt = \left\{ \begin{array}{lcc}
0 & \text{si} & m\neq n, \\ \\
2 \pi & \text{si} & m=n.
\end{array} \right.
\end{equation*} - Evalúa la integral $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(t) \, dt$, donde:
a) $f(t)= \left\{ \begin{array}{lcc}
(3+2i)t& \text{si} & -1\leq t \leq 0, \\ \\
it^2 & \text{si} & 0\leq t \leq 1.
\end{array} \right.$
b) $f(t)= \left\{ \begin{array}{lcc}
e^{i\pi t}& \text{si} & -1\leq t \leq 0, \\ \\
t & \text{si} & 0\leq t \leq 1.
\end{array} \right.$ - Muestra que si $\operatorname{Re}(z)>0$, entonces $\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-zt} \, dt = \dfrac{1}{z}$.
Más adelante…
En esta entrada hemos definido la integral compleja para una función híbrida y probamos algunas de sus propiedades más importantes que resultan de gran utilidad al resolver ciertos problemas. Es importante mencionar que aunque para el caso de las derivadas y las integrales de funciones híbridas, los resultados parecen ser los mismos que para funciones reales, ya que podemos separar a una función híbrida en su parte real e imaginaria, la aplicación de estos resultados es mucha, en particular para el cálculo de integrales reales a través del uso las propiedades de las funciones complejas como la exponencial y las trigonométricas. Veremos más a detalle estas aplicaciones en la última unidad del curso, aunque muestra de esta utilidad se ve en el ejemplo 33.3.
En la siguiente entrada definiremos lo que es una integral de contorno, que como veremos nos permite hablar de la integrabilidad de una función compleja de variable compleja y aunque dicha definición resulta familiar a la de una integral de línea, veremos que a través de estas integrales obtendremos algunos resultados que serán de suma importancia para la teoría de la variable compleja.
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