Introducción
En entradas anteriores resolvimos por diversos métodos ecuaciones diferenciales de primer orden lineales, es decir, de la forma $a_{0}(t)\frac{dy}{dt}+a_{1}(t)y=g(t)$. Es turno de estudiar ecuaciones que no pueden escribirse en la forma anterior, las cuales llamamos no lineales. En particular, en esta entrada resolveremos ecuaciones que se pueden escribir en la forma $\frac{dy}{dt}=f(y)g(t)$, como un caso particular de ecuaciones no lineales, a las que llamaremos ecuaciones separables.
Ecuaciones separables de primer orden
En el primer video la ecuación diferencial no lineal separable en su forma general y posteriormente, en el segundo video, resolvemos ejemplos de este tipo de ecuaciones.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Resuelve el problema de condición inicial $\frac{dy}{dt}=t^{2}y^{3}$ ; $y(0)=1$.
Considera la ecuación $$\frac{dy}{dt}=\frac{t^{2}+3ty+y^{2}}{t^{2}}.$$
- Expresa el lado derecho de la ecuación como una función $f(\frac{y}{t})$.
- Haz el cambio de variable $y=tv$ y reescribe la ecuación diferencial en términos de $t$ y $v$.
- Resuelve la ecuación diferencial del punto anterior.
- ¿Cuál es la solución a la ecuación diferencial original?
Considera la ecuación del modelo logístico de poblaciones $\frac{dP}{dt}=k(1-\frac{P}{N})P$, donde $k>0$ y $N$ es la capacidad de soporte. (Para mayor referencia de esta ecuación, revisa la siguiente entrada, o ve directamente el video que forma parte de este mismo curso aquí).
- Resuelve la ecuación si $k=1$ y $N=10$.
- Resuelve el problema de condición inicial con los mismos valores del punto anterior y $y(1)=5$.
Más adelante
En la siguiente entrada veremos otro caso particular de ecuaciones no lineales de primer orden, que son las ecuaciones exactas que en general tienen la forma $M(t,y)+N(t,y)\frac{dy}{dt}=0$. Veremos que condiciones deben satisfacer las funciones $M(t,y)$ y $N(t,y)$ para que la ecuación sea exacta, y también qué podemos hacer cuando este par de funciones no satisfacen las propiedades que requerimos para la exactitud de la ecuación diferencial. Por supuesto, resolveremos la ecuación en su forma general, así como ejemplos.
Entradas relacionadas
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»