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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Introducción a bifurcaciones en sistemas de dos ecuaciones de primer orden

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

Al final de la primera unidad del curso, estudiamos bifurcaciones en familias uniparamétricas de ecuaciones autónomas de primer orden de la forma $$\frac{dy}{dt}=f_{\lambda}(y).$$ Los conceptos más elementales de dicha teoría los podemos extender a sistemas de ecuaciones de primer orden. Así podremos estudiar familias de sistemas de ecuaciones de la forma $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{F}(\lambda, \textbf{X})$$ donde $\lambda$ es un parámetro real. Al igual que para ecuaciones autónomas de primer orden, nuestro interés se centrará en estudiar los cambios cualitativos en los puntos de equilibrio y demás soluciones al sistema conforme varía el parámetro $\lambda$. Es decir, estudiaremos las bifurcaciones en familias de sistemas de ecuaciones de primer orden.

Comenzaremos por definir los conceptos más elementales en la teoría de bifurcaciones en términos de sistemas de dos ecuaciones de primer orden. Posteriormente nos enfocaremos en estudiar algunos casos interesantes que ocurren en familias de sistemas de ecuaciones lineales. En los sistemas lineales podemos introducir el parámetro en los coeficientes de la matriz asociada al sistema. Con ayuda del plano traza – determinante, podremos analizar de mejor manera las bifurcaciones que ocurren para cada caso. En cualquier caso el número de puntos de equilibrio no cambia, ya que al ser sistemas lineales homogéneos, el origen siempre será el único punto de equilibrio, pero conforme varían los parámetros lo que cambiará es su estabilidad.

Para el caso no lineal ofreceremos dos ejemplos típicos de bifurcaciones: la bifurcación de punto silla y la bifurcación de Hopf. Para el primer ejemplo, la bifurcación provoca un cambio en el número de puntos de equilibrio, y por supuesto en la estabilidad de estos. En la bifurcación de Hopf, siempre habrá un único punto de equilibrio, pero lo que cambiará será su estabilidad, y además aparecerá una solución periódica que atrae a todas las demás soluciones.

¡Vamos a comenzar!

Bifurcaciones en sistemas de ecuaciones lineales

En el primer video definimos los conceptos elementales en la teoría de bifurcaciones, tales como familias de ecuaciones de primer orden que dependen de un parámetro y el valor de bifurcación.

En el segundo video estudiamos algunas bifurcaciones en sistemas de dos ecuaciones lineales.

Bifurcaciones en sistemas de ecuaciones no lineales

En el último video de esta entrada estudiamos un par de bifurcaciones que ocurren en sistemas no lineales: la bifurcación de punto silla y la bifurcación de Hopf.

Los campos vectoriales que aparecen en los videos fueron realizados en el siguiente enlace.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Estudia la familia de sistemas de la forma $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$$ donde $a<0$ es un valor fijo y $\lambda$ es un parámetro real. Representa los cambios que ocurren en el plano traza – determinante, según los valores de $\lambda$.
  • Realiza lo mismo que el ejercicio anterior para la familia de sistemas que depende del parámetro $\lambda$ $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}.$$
  • Considera la familia de sistemas $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & x^{2}+y \\ \dot{y} & = & x-y+\lambda. \end{array}$$ Encuentra todas las posibles bifurcaciones y estudia los cambios en el comportamiento de las soluciones.
  • Demuestra que bajo un cambio a coordenadas polares, un sistema de dos ecuaciones puede escribirse en la forma $$\begin{array}{rcl} \dot{r} & = & \frac{x\dot{x}+y\dot{y}}{r} \\ \dot{\theta} & = & \frac{x\dot{y}-\dot{x}y}{r^{2}}. \end{array}$$
  • (Bifurcación de Pitchfork): Realiza un estudio completo de la familia de sistemas $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -x^{3}-\lambda x \\ \dot{y} & = & -y. \end{array}$$

Más adelante

Estamos a punto de concluir nuestro curso de Ecuaciones Diferenciales. En la siguiente entrada estudiaremos los conjuntos límite, los cuáles han estado apareciendo en distintos planos fase que hemos dibujado. Además, enunciaremos y discutiremos el teorema de Poincaré – Bendixson en el plano.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Introducción a las bifurcaciones

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior demostramos el teorema de existencia y unicidad de Picard. Antes de finalizar con el estudio a las ecuaciones diferenciales de primer orden vamos a regresar un momento a la teoría cualitativa de ecuaciones de primer orden, en específico, al estudio de soluciones de ecuaciones autónomas de la forma $$\frac{dy}{dt}=f(y).$$

En muchas ocasiones las ecuaciones diferenciales involucran constantes. Si hacemos variar esta constante obtendremos una familia de ecuaciones diferenciales que dependen de este nuevo parámetro que llamaremos $\lambda$. A esta familia de ecuaciones la denotaremos por $$\frac{dy}{dt}=f_{\lambda}(y).$$

Estudiaremos entonces a esta familia de ecuaciones, y el cambio cualitativo de las soluciones conforme varía el parámetro. Nos interesará conocer el comportamiento de las soluciones de equilibrio, y los cambios que estas tienen dependiendo del valor de $\lambda$. En particular, estudiaremos el cambio en el número de soluciones de equilibrio bajo pequeñas perturbaciones del parámetro $\lambda$. A este tipo de problemas los llamaremos bifurcaciones. Definiremos el concepto de valor de bifurcación, y mostraremos cómo encontrar este valor, tanto de manera gráfica mediante un diagrama, como de manera analítica.

Bifurcaciones y valor de bifurcación

En este video damos una pequeña introducción al concepto de bifurcación, definimos la familia uniparamétrica de ecuaciones autónomas y el valor de bifurcación, todo mediante un ejemplo sencillo.

Diagrama de bifurcaciones

Mostramos un diagrama geométrico para hallar los valores de bifurcación de una familia uniparamétrica de ecuaciones autónomas, y para conocer el comportamiento de las soluciones a las ecuaciones de la familia, sin dibujarlas explícitamente. A este diagrama lo llamamos diagrama de bifurcaciones.

Determinación de los valores de bifurcación

En el último video de esta entrada hallamos los valores bifurcación mediante un análisis a las gráficas de las funciones $f_{\lambda}(y)$ y con ayuda también de la derivada de dichas funciones en determinados puntos.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica que para toda $\lambda <0$ la ecuación $$\frac{dy}{dt}=y^{2}+\lambda$$ tiene dos soluciones de equilibrio, y para toda $\lambda>0$, la ecuación $$\frac{dy}{dt}=y^{2}+\lambda$$ no tiene soluciones de equilibrio.
  • Prueba que $\lambda=0$ es el único valor de bifurcación para la familia $$\frac{dy}{dt}=y^{2}+\lambda.$$
  • Muestra, según la definición, que $\lambda=-1$ es valor de bifurcación para la familia de ecuaciones $$\frac{dy}{dt}=\sin{y}+\lambda.$$
Bifurcaciones
Gráficas de la familia $sen (y)+\lambda$. Elaboración propia.
  • Considera la familia uniparamétrica $$\frac{dy}{dt}=\lambda y-y^{3}.$$ Encuentra las soluciones de equilibrio para todos los valores de $\lambda$, y esboza el diagrama de bifurcaciones.
  • Encuentra los valores de bifurcación para la familia uniparamétrica $$\frac{dy}{dt}=y^{4}+\lambda y^{2}$$ con ayuda de la derivada y las gráficas de $f_{\lambda}(y)$. Dibuja el diagrama de bifurcaciones.
Bifurcaciones
Gráficas de la familia $y^{4}+\lambda y^{2}$. Elaboración propia.

Para encontrar los valores de bifurcación, buscamos valores de $\lambda_{0}$ y $y_{0}$ tales que $$f_{\lambda_{0}}(y_{0})=0 ; \,\,\,\,\,\,\,\, \frac{df_{\lambda_{0}}}{dy}(y_{0})=0. $$ Sin embargo existen casos donde esto último ocurre pero $\lambda_{0}$ no es un valor de bifurcación.

Prueba que las siguientes familias de ecuaciones no tienen valores de bifurcación y dibuja algunas gráficas de estas familias:

  • $\frac{dy}{dt}=y^{3}+\lambda$
  • $\frac{dy}{dt}=(y+\lambda)^{2}$

Así, en los dos casos, ocurre que $$f_{0}(0)=0 ; \,\,\,\,\,\,\,\, \frac{df_{0}}{dy}(0)=0$$ pero $0$ no es valor de bifurcación.

Más adelante

Con este tema damos por terminado la primera unidad del curso. En la siguiente entrada comenzamos la segunda unidad que tratará de las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

En particular, en la siguiente entrada comenzamos con el análisis a las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»