¡Un curso salvaje de Álgebra Moderna ha aparecido!
El concepto de grupo como tal se da en el siglo XIX. Nace de varios problemas que se estaban trabajando en distintas áreas de las matemáticas, como por ejemplo, en Teoría de Números, en Geometría de transformaciones lineales y en Análisis de transformaciones continuas.
Un origen alternativo del término grupo está en la búsqueda de soluciones para ecuaciones de distintos grados. Desde el siglo XVIII a.C. los babilonios tenían su propia manera de encontrar las soluciones de ecuaciones de 1ro y 2do grado. Más adelante, en el siglo III d.C. el matemático Diofanto introduce en Grecia una notación algebraica y avanza con el estudio del problema de las soluciones de ecuaciones de grados mayores a dos.
Siglos después, en el siglo VIII, el árabe Al-Juarismi da métodos básicos para resolver ecuaciones polinomiales usando justificaciones geométricas. Después de él, se da un estancamiento para resolver ecuaciones de grado mayor.
En el siglo XVI se da un avance gracias a cuatro matemáticos: Niccolò Fontana Tartaglia, Gerolamo Cardano, su alumno Lodovico Ferrari y Scipione del Ferro. La historia cuenta que Tartaglia encuentra la forma de resolver ecuaciones de grado tres usando radicales, es decir, una fórmula general para resolverlas a partir de los coeficientes usando operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división. Después de contarle a Cardano, Tartaglia le pide que guarde el secreto. Pero Del Ferro también encuentra una solución al problema e igual le cuenta a Cardano, así que Cardano piensa que ya no es necesario guardar el secreto de Tartaglia y decide publicar el las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su libro Ars Magna. Donde Ferrari encuentra la solución a las ecuaciones del grado cuatro.
Para las ecuaciones de grado cinco no hay avance en mucho tiempo. Hasta el siglo XVIII Joseph-Louis Lagrange retoma el problema y utiliza permutaciones de las raíces de un polinomio para crear una ecuación auxiliar y tratar de encontrar una forma de encontrar la solución a ecuaciones de quinto grado usando radicales. A pesar de que no logra resolver el problema, su trabajo es muy importante y retomado más adelante.
A finales de este mismo siglo, Niels Henrik Abel y Paolo Ruffini retoman el trabajo de Lagrange y se dan cuenta que existen ecuaciones de grado cinco que no son resolubles con radicales, su trabajo se resume en el Teorema de Abel-Ruffini.
Quién sí logra entender completamente el problema y definir qué ecuaciones de grado cinco (o mayor) tienen soluciones y cuáles no se pueden resolver con radicales fue Évariste Galois. Es la ésta solución la que descubre lo que ahora conocemos como Teoría de grupos. Aunque es hasta 1844 que Augustin Louis Cauchy introduce la notación actual que usamos para grupos.
Esto es lo que vamos a estudiar en este semestre. No tanto la resolución de ecuaciones, si no, la parte básica de la Teoría de grupos. Es posible que ya estés familiarizado con alguna de las estructuras que trataremos porque estamos dando por hecho que posees conocimiento de Álgebra Superior I, Álgebra Superior II, Álgebra Lineal I y Álgebra Lineal II.
Recomendaciones (videos)
Unidad 1:
Grupos de Transformadores p(112-115)
Visualización de cuaterniones – 3Blue1Brown (subtítulos en español)
Unidad 2:
¿Cómo tocar un cubo de Rubik como si fuera un piano? – M. Staff
Lagrange – Universidad de la Sorbona (subtítulos en español)
Unidad 3:
Unidad 4:
Teorema de Cayley – Mathemaniac
Unidad 5:
La mitad de este video toca los temas vistos en la unidad 5. El resto del vídeo te puede abrir el panorama sobre temas del Álgebra Moderna interesantes que no se cubren en este curso y además, hace un buen círculo con la introducción ya que vuelve a mencionar a Galois.
Más adelante…
Esta sección está en cada entrada para motivarte a seguir adelante con el curso y a darte vistazos de futuros usos a lo que hayas estudiado en la entrada. En este caso ¡tienes todo un maravilloso curso de Álgebra Moderna moderna por explorar!
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