MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En las entradas anteriores definimos los espacios de Lebesgue $L^p$ para $p\in [1,\mathrm{\infty }]$ y estudiamos algunas de sus propiedades. En esta entrada trataremos de responder la pregunta ¿Qué relación existe entre los espacios $L^p$ y $L^q$ cuando $p\ne q$?

En general $L^p⊈L^q$

A pesar de lo que la intuición podría sugerirnos, en general, dados $1\le p\le \mathrm{\infty }$ y $1\le q\le \mathrm{\infty }$ con $p\ne q$, NO se tiene ninguna contención:
$$L^p\subseteq L^q$$ Ni $$L^q\subseteq L^p.$$

Ejemplo. Consideremos funciones de la forma $$x\to \frac{1}{x^{\alpha }}$$
Es fácil verificar que $${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{\alpha }}\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }⟺\alpha >1$$ Y que $${\int }_0^1\frac{1}{x^{\alpha }}\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }⟺\alpha <1.$$ Entonces, dados $p,q\in [1,\mathrm{\infty })$ con $p<q$, podemos encontrar un número $\gamma >0$ tal que $$\gamma p<1<\gamma q.$$ Tomemos $f(x)=\frac{{\chi }_{[1,\mathrm{\infty })}(x)}{x^{\gamma }}$ y $g(x)=\frac{{\chi }_{(0,1)}(x)}{x^{\gamma }}$.
De modo que $${\int }_{\mathbb{R}}|f{|}^p\mathrm{d}x={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{\gamma p}}\mathrm{d}x<\mathrm{\infty };{\int }_{\mathbb{R}}|f{|}^q\mathrm{d}x={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{\gamma q}}\mathrm{d}x=\mathrm{\infty }.$$
Por lo que $f\in L^p(\mathbb{R})$ pero $f\notin L^q(\mathbb{R})$. Similarmente
$${\int }_{\mathbb{R}}|g{|}^p\mathrm{d}x={\int }_0^1\frac{1}{x^{\gamma p}}\mathrm{d}x=\mathrm{\infty };{\int }_{\mathbb{R}}|g{|}^q\mathrm{d}x={\int }_0^1\frac{1}{x^{\gamma q}}\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }.$$ Por lo que $g\in L^q(\mathbb{R})$ pero $f\notin L^p(\mathbb{R})$.

Si bien en general $L^p⊈L^q$ cuando $p\ne q$, sí podemos dar una contención en el caso de que $\mu$ sea una medida finita.

Proposición. Si $\mu$ es una medida finita, y $s<r$, entonces $L^r(X)\subseteq L^s(X)$ con $${\Vert f\Vert }_s\le (\mu (X){)}^{\frac{r-s}{rs}}{\Vert f\Vert }_r$$

Demostración. Tomando $(p,q)=(\frac{r}{r-s},\frac{r}{s})$ en la desigualdad de Hölder se sigue:

$$\begin{array}{rl}{\Vert f\Vert }_s^s& ={\int }_X|f{|}^s\mathrm{d}\mu \\ & ={\int }_{X}1\cdot |f{|}^s\mathrm{d}\mu \\ & \le {\left({\int }_{X}1\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{r-s}{r}}{({\int }_X(|f{|}^s{)}^{\frac{r}{s}}\mathrm{d}\mu )}^{\frac{s}{r}}\\ & =(\mu (X){)}^{\frac{r-s}{r}}{\Vert f\Vert }_r^s\end{array}$$

$$⟹{\Vert f\Vert }_s\le (\mu (X){)}^{\frac{r-s}{rs}}{\Vert f\Vert }_r$$
Como queríamos probar.

Interpolación de espacios $L^p$

También podemos decir algo sobre $L^p\cap L^r$ con $p\ne r$.

Proposición (Identidad de interpolación). Sean $1\le p<q<r\le \mathrm{\infty }$. Si $f\in L^p\cap L^r$, entonces $f\in L^q$. Además $${\Vert f\Vert }_q\le {\Vert f\Vert }_p^{\lambda }{\Vert f\Vert }_r^{1-\lambda }.$$

Donde $\lambda \in (0,1)$ es aquel número tal que $$\frac{1}{q}=\frac{\lambda }{p}+\frac{(1-\lambda )}{r}.$$
Es decir $\lambda =\frac{q^{-1}-r^{-1}}{p^{-1}-r^{-1}}$. (En este caso, hacemos la convención $\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$).

Demostración. Si $r=\mathrm{\infty }$, tenemos que $|f{|}^q\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{q-p}|f{|}^p$ y $\lambda =\frac{p}{q}$. Integrando, se sigue que:

$${\Vert f\Vert }_q={(\int |f{|}^q\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{q}}\le {(\int {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{q-p}|f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{q}}={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{1-\frac{p}{q}}{\Vert f\Vert }_p^{\frac{p}{q}}={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{1-\lambda }{\Vert f\Vert }_p^{\lambda }$$
Si $r<\mathrm{\infty }$, observemos que la pareja $\frac{p}{\lambda q},\frac{r}{(1-\lambda )q}$ son conjugados de Hölder pues: $$\frac{\lambda q}{p}+\frac{(1-\lambda )q}{r}=q(\frac{\lambda }{p}+\frac{(1-\lambda )}{r})=\frac{q}{q}=1.$$

Así que, aplicando la desigualdad de Hölder con tales conjugados:

$$\begin{array}{rl}{\Vert f\Vert }_q^q& =\int |f{|}^q\mathrm{d}\mu \\ & =\int |f{|}^{\lambda q}|f{|}^{(1-\lambda )q}\mathrm{d}\mu \\ & \le {(\int (|f{|}^{\lambda q}{)}^{\frac{p}{\lambda q}}\mathrm{d}\mu )}^{\frac{\lambda q}{p}}{(\int (|f{|}^{(1-\lambda )q}{)}^{\frac{r}{(1-\lambda )q}}\mathrm{d}\mu )}^{\frac{(1-\lambda )q}{r}}\\ & ={(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{\lambda q}{p}}{(\int |f{|}^r\mathrm{d}\mu )}^{\frac{(1-\lambda )q}{r}}\\ & ={\Vert f\Vert }_q^{\lambda q}{\Vert f\Vert }_r^{(1-\lambda )q}\end{array}$$

Tomando raíces $q$-ésimas se sigue entonces:
$${\Vert f\Vert }_q\le {\Vert f\Vert }_q^{\lambda }{\Vert f\Vert }_r^{(1-\lambda )}.$$

Tarea moral