MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Si queremos construir una noción más general de integración, un requisito mínimo es que se debe ajustar a la idea intuitiva de que la integral (al menos en $\mathbb{R}$) es el «área bajon la curva» de una función. Es entonces natural pensar en que primero hay que definir de manera precisa y lo más general posible conceptos como longitud, área, volúmen, y sus análogos en dimensiones más altas. Ésta es precisamente la idea de medida en ${\mathbb{R}}^n$. Más adelante construiremos la integral de Lebesgue sobre este concepto.

Idealmente, nos gustaría asignarle a cada subconjunto $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ algún número no negativo $\lambda (A)$ (su medida en ${\mathbb{R}}^n$). Para que ésta noción tenga sentido, debería satisfacer ciertas propiedades «intuitivas» y a las que ya estamos acostumbrados en dimensiones bajas. Las siguientes son deseables:

• Monotonía. Si $A\subseteq B$ son subconjuntos de ${\mathbb{R}}^n$, entonces $\lambda (A)\le \lambda (B)$. Pues $B$ es «más grande» que $A$.
• Aditividad. Si $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ son subconjuntos ajenos, entónces $\lambda (A\cup B)=\lambda (A)+\lambda (B)$.
• Normalización. La medida de un rectángulo generalizado, es decir un producto de intervalos $\prod _{i=1}^n[a_i,b_i]\subseteq {\mathbb{R}}^n$, debería ser el producto de las longitudes de sus lados: $\prod _{i=1}^n(b_i-a_i)$. Ésta idea coincide con el cálculo elemental de áreas de rectángulos y volúmenes de prismas rectangulares.

Podemos usar las ideas anteriores como punto de partida para intentar definir la medida de conjuntos más generales. El camino que seguiremos es: Tomar a los rectángulos como «unidades de medida» (simulando el punto 3) y buscar la mejor forma de aproximar un conjunto «por fuera» mediante rectángulos.

Rectángulos y su volumen.

Definición. Por intervalos (acotados) nos referimos a conjuntos no vacíos de $\mathbb{R}$ de la forma $[a,b]:=\{x\in \mathbb{R}:a\le x\le b\}$; $[a,b):=\{x\in \mathbb{R}:a\le x<b\}$; $(a,b]:=\{x\in \mathbb{R}:a<x\le b\}$; $(a,b):=\{x\in \mathbb{R}:a<x<b\}$, donde $a\le b$ son números reales. Llamaremos a los intervalos de la forma $[a,b]$ como intervalos cerrados y a los de la forma $(a,b)$ como intervalos abiertos. Definimos la longitud $|I|$ de un intervalo $I=[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)$ como $$|I|=b-a.$$ (Ésta puede ser 0). A los intervalos de longitud 0 (i.e. que constan de un sólo elemento) los llamaremos «degenerados«.

Para esta parte, trabajaremos casi exclusivamente con intervalos cerrados o abiertos y acotados. Por brevedad nos referiremos a estos simplemente como intervalos.

Definición. Un rectángulo cerrado (abierto) en ${\mathbb{R}}^n$ es un producto cartesiano $$R:=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n.$$ Donde $I_1,I_2,\dots ,I_n$ son intervalos cerrados (abiertos). Definimos el volúmen del rectángulo $R=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n$ como $$|R|=\prod _{k=1}^n|I_k|.$$ Si alguno de los intervalos componente de un rectángulo es degenerado, diremos también que el rectángulo es «degenerado».

Observaciones.

• Para cualquier rectángulo $R$, su volumen es no negativo (posiblemente 0) y finito: $0\le |R|<\mathrm{\infty }$. Un rectángulo tiene volúmen 0 si y sólo si es degenerado.
• Los intervalos cerrados/abiertos son rectángulos en $\mathbb{R}$. En este caso su volumen coincide con su longitud.
• Si $R\subseteq Q$ son rectángulos, entónces $|R|\le |Q|$. Pues la única posibilidad es que al descomponer $R$ y $Q$ como producto de intervalos, cada intervalo en la descomposición de $R$ sea un subintervalo del correspondiente a $Q$ y la monotonía es inmediata en el caso de intervalos.
• La cerradura de un rectángulo $R$ es un rectángulo cerrado $\bar{R}$. Además $|R|=|\bar{R}|$.
• Los rectángulos cerrados son subconjuntos cerrados y acotados en ${\mathbb{R}}^n$ (por ende compactos). Los rectángulos abiertos son subconjuntos abiertos de ${\mathbb{R}}^n$. La cerradura de un rectángulo abierto es un rectángulo cerrado del mismo volúmen.
• El volúmen de un rectángulo, coincide con la noción de «medida» que nos da la integral de Riemann, a saber, la medida de Jordan: $J(R)=\int {\chi }_R=|R|$, donde $\int$ denota la integral de Riemann sobre algún rectángulo cerrado y no degenerado que contenga a $R$ y ${\chi }_R$ es la función característica de $R$.

Las siguientes propiedades del volúmen de los rectángulos nos serán útiles más adelante.

Proposición. (Aproximación por rectángulos abiertos y cerrados). Si $R$ es un rectángulo cerrado, entónces $$|R|=inf\{|Q|:R\subseteq Q\text{ y }Q\text{ es un rectángulo abierto}\}.$$ Similarmente Si $R$ es abierto, entónces $$|R|=sup\{|Q|:Q\subseteq R\text{ y }Q\text{ es un rectángulo cerrado}\}.$$

Demostración. Para el caso en el que $R=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \cdots \times [a_n,b_n]$ es cerrado, de las observaciones sabemos que $|R|\le |Q|$ para cualquier rectángulo abierto tal que $R\subseteq Q$, de donde $$|R|\le inf\{|Q|:R\subseteq Q\text{ y }Q\text{ es un rectángulo abierto}\}.$$

Por otro lado al definir el rectángulo abierto $$Q_{\epsilon }=(a_1-\epsilon ,a_1+\epsilon )\times (a_2-\epsilon ,a_2+\epsilon )\times \cdots \times (a_n-\epsilon ,a_n+\epsilon )$$ Es claro que $R\subseteq Q_{\epsilon }$ para todo $\epsilon >0$. Usando la definición, $|Q_{\epsilon }|$ se puede escribir como $$\prod _{k=1}^n(b_k-a_k)+\epsilon f(\epsilon )=|R|+\epsilon f(\epsilon ).$$ Donde $f(\epsilon )$ es algún polinomio en $\epsilon$. Por continuidad se sigue que $\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}|Q_{\epsilon }|=|R|$. Concluimos $$|R|\ge inf\{|Q|:R\subseteq Q\text{ y }Q\text{ es un rectángulo abierto}\}.$$ El argumento para rectángulos abiertos es similar.

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Proposición (Descomposición en subrectángulos preserva volúmen). Sea $R=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \cdots \times [a_n,b_n]$ un rectángulo cerrado y no degenerado. Supongamos que para cada $i=1,2,\dots ,n$ $$a_i=c_i^1<c_i^2<\cdots <c_i^{m_i}=b_i.$$ Son puntos intermedios del intervalo $[a_i,b_i]$. Esto induce una descomposición de $R$ en subrectángulos: $$Q_{i_1,i_2,\dots ,i_n}=[c_1^{i_1},c_1^{i_1+1}]\times [c_2^{i_2},c_2^{i_2+1}]\times \cdots \times [c_n^{i_n},c_n^{i_n+1}].$$ Con $1\le i_1<m_1,1\le i_2<m_2,\dots ,1\le i_n<m_n$. Entonces:
$$|R|=\sum _{i_1,i_2,\dots ,i_n}|Q_{i_1,i_2,\dots ,i_n}|.$$

Demostración. Denotemos por $J$ a las $n$-tuplas de la forma $(i_1,i_2,\dots ,i_n)$ con $1\le i_1<m_1,1\le i_2<m_2,\dots 1\le i_n<m_n$. Si definimos $d_k^j=(c_k^{j+1}-c_k^j)$ (los lados de los subrectangulos), tenemos que $(a_k-b_k)=\sum _{j=1}^{m_i-1}{d}_k^j$. Luego, lo anterior se reduce a probar:
$$\prod _{k=1}^n(b_k-a_k)=\prod _{k=1}^n\sum _{j=1}^{m_i-1}(d_k^j)=\sum _J\prod _{k=1}^n(d_k^{i_k})$$

La ultima igualdad es inmediata por distributividad. (Para convencerte de esto, piensa que para desarrollar el producto de en medio, para cada $k$ hay que escoger un término $j=i_k$, multiplicar estos términos para obtener $d_1^{i_1}{d}_2^{i_2}\dots d_n^{i_n}$ y luego sumar sobre todas las posibles elecciones, que es precisamente el término derecho ).

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Proposición. Si $R$ es un rectángulo cerrado cubierto por una cantidad finita $N$ de rectángulos (cerrados o abiertos) no degenerados: $R\subseteq \bigcup _{k=1}^N{Q}_k$, entonces $$|R|\le \sum _{k=1}^N|Q_k|.$$

Demostración. Tomando las cerraduras de $Q_1,Q_2,\dots ,Q_N$ es suficiente probarlo cuando la cubierta consta de rectángulos cerrados. Al ser una cantidad finita de rectángulos, podemos encontrar un rectángulo $P$ suficientemente grande que contenga a $R,Q_1,Q_2,\dots ,Q_N$. Proyectemos los extremos de los intervalos componente de cada uno de los rectángulos $R,Q_1,Q_2,\dots ,Q_N$ sobre los intervalos componente de $P$. Por construcción, esto induce descomposiciones en subrectángulos en cada uno de $P,R,Q_1,Q_2,\dots ,Q_n$ (observa la figura). Denotemos todos los subrectángulos (de $P$) como $S_1,S_2,\dots ,S_M$. Como $R\subseteq \bigcup _{k=1}^N{Q}_k$, cada subrectángulo $S$ de $R$ debe ser también un subrectángulo de algún $Q_k$. Luego, por la proposición anterior:
$$|R|=\sum _{S_j\subseteq R}|S_j|\le \sum _{k=1}^N\sum _{S_j\subseteq Q_k}|S_j|=\sum _{k=1}^N|Q_k|.$$

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Proposición (Invarianza bajo traslaciones). Si $R=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n$ es un rectángulo, entonces la traslación por $v=(v_1,v_2,\dots ,v_n)\in {\mathbb{R}}^n$, $v+R$ es un rectángulo con el mismo volumen que $R$ (Donde definimos la traslación por el vector $x\in {\mathbb{R}}^n$ de un conjunto $B$ como $x+B=\{x+b:b\in B\}$).

Demostración. Lo anterior se cumple para intervalos abiertos/cerrados, por ejemplo si $x\in \mathbb{R}$, $x+[a,b]=[a+x,b+x]$ y $|I|=(b-a)=((b+x)-(a-x))=|x+I|$. El otro caso es similar.

Para el caso de rectángulos, es fácil ver que $v+R=(v_1+I_1)\times (v_2+I_2)\times \cdots \times (v_n+I_n)$. De donde por el caso anterior: $$|R|=\prod _{k=1}^n|I_k|=\prod _{k=1}^n|v_k+I_k|=|v+R|.$$

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Proposición (Dilataciones). Si $R=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n$ es un rectángulo, entonces la dilatación $cR$ es un rectángulo con $$|cR|=|c{|}^n|R|.$$ (Donde definimos la dilatación por $c\in \mathbb{R}$ de un conjunto $B$ como $cB=\{cb:b\in B\}$).

Demostración. Sin pérdida de generalidad, supongamos que $R=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]$ es un rectángulo cerrado. Si $c\ge 0$, es fácil ver que $cR=[c{a}_1,c{b}_1]\times \cdots \times [c{a}_n,c{b}_n]$. De modo que: $$|cR|=c(b_1-a_1)\times \cdots \times c(b_n-a_n)=c^n(b_1-a_1)\times \cdots \times (b_n-a_n)=c^n|R|.$$

Si $c<0$, entonces $cR=[c{b}_1,c{a}_1]\times \cdots \times [c{b}_n,c{a}_n]$. Luego $$|cR|=(-c)(b_1-a_1)\times \cdots \times (-c)(b_n-a_n)=|c{|}^n(b_1-a_1)\times \cdots \times (b_n-a_n)=|c{|}^n|R|.$$

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Más adelante…

Definiremos nuestra primera noción de medida: La medida exterior a partir del volúmen de rectángulos y veremos algunas de sus propiedades.

Tarea moral

• Generaliza la proposición de que descomposiciones en subrectángulos preservan volumen para rectángulos degenerados.