En una entrada anterior recordamos el concepto de producto interior. A continuación presentamos el concepto de norma, norma Euclidiana.

Comenzamos:

Norma

Una norma en un espacio vectorial $(V,+,\cdot )$ es una función

$$\Vert .\Vert :V\times V⟶\mathbb{R}$$ tal que:

1. $\Vert v\Vert ⩾0\mathrm{\forall }v\in V$
2. $\Vert v\Vert =0⟺v=0\in V$
3. $\Vert \lambda v\Vert =|\lambda |\Vert v\Vert \mathrm{\forall }v\in V;\mathrm{\forall }\lambda \in \mathbb{R}$
4. $\Vert v+w\Vert ⩽\Vert v\Vert +\Vert w\Vert \mathrm{\forall }v,w\in V$

Norma Euclidiana en ${\mathbb{R}}^n$

Sea $x\in {\mathbb{R}}^n$ tal que $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ se define la norma Euclidiana como:

$$\Vert x\Vert =\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2}$$

La norma Euclidiana cumple con la desigualdad de CB.S. (Cauchy-Bunyakowski-Schwarz) y con la ley del paralelogramo.

La norma Euclidiana es un ejemplo de norma inducida por un producto interior, ya que

$$\Vert v\Vert =\sqrt{v_1^2+v_2^2+\dots +v_n^2}=\sqrt{⟨v,v⟩}$$

Otro ejemplo de norma inducida por otro producto interior en ${\mathbb{R}}^2$ se representa en la siguiente imagen