Consideremos el paralelogramo cuyos vértices son los puntos

Sea
Este paralelogramo es un conjunto convexo y también simétrico respecto al origen, es decir que
Además es cerrado,
Es acotado con la norma Euclidiana (un conjunto es acotado si está contenido en una bola).
Entonces, nos preguntamos si ¿existe una norma
Para que la frontera sea la «circunferencia unitaria» debe suceder que si
Para que sea norma se debe complir que
y además debe cumplir que
Analicemos que:

si
Entonces ¿cuál es la regla de correspondencia que a cada
Sea
Caso «fácil»: si
Caso «menos fácil»: si
Pregunta auxiliar ¿cuáles son las ecuaciones de las rectas que contienen a las diagonales del paralelogramo?

Tenemos que las ecuaciones de las rectas que contienen a las diagonales son:
Recta I:
Recta II:
Comenzamos analizando el caso «fácil»:
CASO «punto en la Recta I»: si
entonces
por lo tanto
Ejemplo:
CASO «punto en la Recta II»: si
entonces
por lo que
Ejemplo:
Análogamente se estudia el CASO III
y el CASO IV, cuando
Ejemplo:
Ahora, analizamos el caso «menos fácil»:
CASO «punto en la Región I»: si
Afirmación:
Sea
Consideramos 4 posibilidades, dadas por la ubicación del punto en algunas de las cuatro partes en las que queda dividido el plano, según las rectas
Veamos que sucede cuando el punto está en las regiones «I» y «IV». Los dos casos restantes son análogos.
Cuando
Observación: como
Luego
Por lo tanto,
Cuando
Ahora
Luego
por lo que
Hemos propuesto
Afirmación:
Por último probamos que satisface la desigualdad del triángulo, es decir que se cumple que:
Sean
Entonces
Por demostrar
Si el máximo es
Si el máximo es
Por lo anterior queda probado que