En la entrada anterior vimos el concepto de norma Euclidiana. Tal vez te preguntes si todas las normas están inducidas por un producto interior; bueno, aquí te presentamos una norma que no está inducida por un producto interior, se llama norma infinito.
Definición
Sea $x \in \mathbb{R}^2$ tal que $x=(x_1, x_2)$, se define la norma infinito de la siguiente manera:
$$\|x\|_{\infty} = máx \big\{|x_1| , |x_2| \big\}$$
Observemos que definimos $\| \; \|_{\infty} : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R} $ para que resulte más comprensible, pero no solamente es válida para $n=2$ sino para cualquier $n$, en cuyo caso $$\|x\|_{\infty} = máx \big\{|x_1| , |x_2|, \dotsc , |x_n| \big\}$$
En la imagen que colocamos a continuación, puedes ver la circunferencia unitaria con $\| \; \|_{\infty}$
Observaciones:
Una métrica $d$ en un conjunto $A$ es una función $d: A$ x $A \longrightarrow \mathbb{R}$ tal que cumple cuatro propiedades:
a) $d(x,y) \geq 0$ para todo $x,y \in A$,
b) $d(x,y)=0 \iff x=y$,
c) $d(x,y)=d(y,x)$,
d) Se cumple la desigualdad del triángulo, es decir $d(x,y) + d(y,z) \geq d(x,z)$.
- Si en un espacio vectorial tenemos una norma $\|.\|: V \longrightarrow \mathbb{R}$, entonces podemos definir una métrica $d: V$x$V \longrightarrow \mathbb{R}$ como sigue: $d(x,y) = \| x-y \|$
- Con la norma infinito se define una métrica, la métrica uniforme, en particular en $\mathbb{R}^2$ podemos definir $d_{\infty}\big((x_1, x_2), (y_1,y_2) \big)= \text{máx} \{|x_1 – y_1|, |x_2 – y_2|\} $
- $\mathbb{R}^2$ puede pensarse como un espacio de funciones.
$$f : \{1, 2\} \longrightarrow \mathbb{R}$$
Al punto $(x_1, x_2)$ le corresponde la función $f$ cuya regla de correspondencia es
$f(1) = x_1$ y $f(2) =x_2$
Entonces $d_{\infty} (f, g) = máx \big\{ \big|f(1) \, – \, g(1) \big|, \big|f(2) \, – \, g(2) \big| \big\}$
En el siguiente enlace puedes observar un dibujo interactivo del ejemplo anterior.