Introducción
En la sección de Compacidad en espacios métricos hablamos de un conjunto en el espacio $\ell_{\infty}:$ El conjunto dado por $\overline{B}(\mathcal{0},1)$ (donde $\mathcal{0}$ es la sucesión que en todos los términos vale 0). Tiene la propiedad de ser cerrado y acotado en $\ell_{\infty}$ pero no es compacto. Esto se probó mostrando que no era posible cubrirlo con una cantidad finita de bolas abiertas, cuyo radio era «muy pequeño», lo suficiente para no tener más de un elemento $e_i$ dentro (donde $e_i$ es la sucesión que toma a $1$ como valor en la entrada $i$ y $0$ en el resto). Se vio que era posible elegir un radio así porque los elementos $e_i$ estaban «alejados» entre sí.
Aparentemente no basta con tener nuestros elementos atrapados en un entorno para asegurar que no estén lejos unos de otros. En esta sección vamos a ver qué condiciones impiden que así suceda. Primero necesitaremos estos resultados:
Teorema. Cualesquiera dos normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes.
Demostración:
Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$ y $\{v_1, \, v_2,…,v_n\}$ una base para $V.$ Primero definiremos una norma $\textcolor{magenta}{\norm{\cdot}^*}$ en $V$ para luego demostrar que cualquier otra norma en $V$ es equivalente a esta:
Sea $v \in V.$ Entonces $v = \sum_{i=1}^{n}x_i v_i$ para algunos (únicos) escalares $x_i \in \mathbb{R}, \, i=1,…,n.$ Definimos
$$\textcolor{magenta}{\norm{v}^*}:= \textcolor{magenta}{\sum_{i=1}^{n}|x_i|}$$
Nota que este valor coincide con la norma 1 en $\mathbb{R}^n$ del vector $(x_1,…,x_n).$ $\textcolor{orange}{\text{Dejaremos como ejercicio probar que }} \textcolor{magenta}{\norm{v}^*}$ $\textcolor{orange}{\text{ es una norma en $V$ y que la transformación}}$
$T: (\mathbb{R}^n, \norm{\cdot}_1) \to (V,\textcolor{magenta}{\norm{v}^*}) \,$ definida como $T(x_1,…,x_n)= \sum_{i=1}^{n}x_i v_i$ $\textcolor{orange}{\text{es una isometría entre estos espacios}}$ y por tanto, $T$ es una equivalencia (ejercicio 4 en Tarea moral de Más conceptos de continuidad).
Considera la esfera unitaria $S_V= \{v \in V \, | \, \textcolor{magenta}{\norm{v}^*} =1\}.$ Nota que es la imagen de $T$ en la esfera unitaria en $\mathbb{R}^n$ dada por $\mathbb{S}^{n-1}:= \{x \in \mathbb{R}^n \, | \, \norm{x}_1=1\}.$ $\textcolor{orange}{\text{Dejaremos como ejercicio probar que }}$ $\mathbb{S}^{n-1}$ es cerrado y acotado en $\mathbb{R}^n$ con la métrica usual y por tanto, compacto en ese espacio. En Más conceptos de continuidad vimos que $\norm{\cdot}_1$ y $\norm{\cdot}_2$ son equivalentes en $\mathbb{R}^n.$ Eso significa que ambos espacios métricos tienen los mismos abiertos (una cubierta abierta en $\norm{\cdot}_1$ lo es en $\norm{\cdot}_2$ y viceversa), por lo tanto $\mathbb{S}^{n-1}$ también es compacto en $(\mathbb{R}^n, \norm{\cdot}_1).$
Por la continuidad de $T$ se sigue que $T(\mathbb{S}^{n-1})= S_V$ es compacto en $(V,\textcolor{magenta}{\norm{v}^*}).$
Sea $\textcolor{RoyalBlue}{\norm{\cdot}}$ cualquier otra norma en $V.$ Vamos a probar que las normas $\textcolor{RoyalBlue}{\norm{\cdot}}$ y $\textcolor{magenta}{\norm{v}^*}$ son equivalentes.
Sea $v = \sum_{i=1}^{n}x_i v_i.$ Por propiedades de la norma se sigue:
\begin{align*}
\textcolor{RoyalBlue}{\norm{\sum_{i=1}^{n}x_i v_i}} &\leq \sum_{i=1}^{n}|x_i|\textcolor{RoyalBlue}{\norm{v_i}}\\
&\leq \underset{1 \leq i \leq n}{max} \, \textcolor{RoyalBlue}{\norm{v_i}}\textcolor{magenta}{\sum_{i=1}^{n}|x_i|}\\
\end{align*}
Haciendo $c := \underset{1 \leq i \leq n}{max} \, \textcolor{RoyalBlue}{\norm{v_i}}$ concluimos que para cualquier $v \in V,$
\begin{align}
\textcolor{RoyalBlue}{\norm{v}} \leq c \textcolor{magenta}{\norm{v}^*}
\end{align}
Nota que podemos pensar en $\textcolor{RoyalBlue}{\norm{\cdot}}$ como una función continua en el espacio $(V,\textcolor{magenta}{\norm{v}^*})$ al espacio $\mathbb{R}.$ De hecho es lipschitz continua, pues por lo que acabamos de probar, para cada $u, v \in V$ se satisface:
$$|\textcolor{RoyalBlue}{\norm{v}} -\textcolor{RoyalBlue}{\norm{u}}| \leq \textcolor{RoyalBlue}{\norm{v -u}} \leq c \textcolor{magenta}{\norm{v -u}^*}$$
y como $S_V$ es compacto en $(V,\textcolor{magenta}{\norm{v}^*})$ se sigue que $\textcolor{RoyalBlue}{\norm{\cdot}}$ alcanza su mínimo $c_2$ en $S_V.$ Nota que para cualquier $v \in S_V,$ $c \leq \textcolor{RoyalBlue}{\norm{v}}$ y que $c_2 >0,$ pues si el mínimo se alcanza en $v_0 \in S_V$ entonces $c_2=0 \iff \textcolor{RoyalBlue}{\norm{v_0}}=0 \iff v_0 =0 \iff \textcolor{magenta}{\norm{v_0}^*} =0$ entonces $v_0$ no pertenece a $S_V,$ lo cual es una contradicción.
Sea $v \neq 0 \in V.$ Entonces $\frac{v}{\textcolor{magenta}{\norm{v}^*}} \in S_V$ entonces
\begin{align}
\nonumber c_2 &\leq \textcolor{RoyalBlue}{\norm{\frac{v}{\textcolor{magenta}{\norm{v}^*}}}}\\
\nonumber \Rightarrow c_2 \textcolor{magenta}{\norm{v}^*} &\leq \textcolor{RoyalBlue}{\norm{v}} \\
\Rightarrow \textcolor{magenta}{\norm{v}^*} &\leq \frac{1}{c_2} \textcolor{RoyalBlue}{\norm{v}}.
\end{align}
De 1 y 2 concluimos que cualquier norma en $V$ es equivalente a $\textcolor{magenta}{\norm{v}^*}.$ Por lo tanto, cualesquiera dos normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes.
Ahora estamos listos para mostrar la prueba de una afirmación presentada al final de Espacios métricos completos.
Corolario. Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach.
Demostración:
Sea $V$ un espacio de dimensión finita $n$ con norma $\textcolor{RoyalBlue}{\norm{\cdot}}.$ Ya que $(\mathbb{R}^n,\norm{\cdot}_2)$ es completo, de acuerdo con lo visto en Espacios métricos completos bastará mostrar que existe una equivalencia entre ambos espacios.
La prueba anterior muestra que existe una equivalencia entre $(V, \textcolor{magenta}{\norm{v}^*})$ y $(\mathbb{R}^n,\norm{\cdot}_1).$ También que todas las normas en $\mathbb{R}^n$ son equivalentes, por lo que, en particular $(\mathbb{R}^n,\norm{\cdot}_1)$ es de Banach (pues $\norm{\cdot}_1$ es equivalente a $\norm{\cdot}_2)$. Luego $(V, \textcolor{magenta}{\norm{v}^*})$ es de Banach y al ser $\textcolor{magenta}{\norm{v}^*}$ equivalente a $\textcolor{RoyalBlue}{\norm{\cdot}}$ se sigue que $(V, \textcolor{RoyalBlue}{\norm{\cdot}})$ es de Banach.
Corolario. Sea $V$ un espacio vectorial normado. Todo subespacio vectorial de dimensión finita de $V$ es cerrado en $V.$
Demostración:
Sea $W$ subespacio vectorial de $V$ de dimensión finita. Por el resultado anterior, $W$ es completo. En Espacios métricos completos vimos que si un subespacio métrico es completo entonces es cerrado en el espacio que lo contiene, por lo tanto, $W$ es cerrado en $V.$
Lema de Riesz. Sea $V$ un espacio vectorial normado (de cualquier dimensión) y $W$ un subespacio vectorial de $V$ tal que $W$ es cerrado y $W \neq V.$ Entonces para cada $\delta \in (0,1)$ existe $v_{\delta} \in V$ tal que $\norm{v_{\delta}}=1$ y $\norm{v_{\delta}-w}\geq \delta$ para toda $w \in W.$
Demostración:
Como $W \neq V$ podemos tomar $v \in V \setminus W.$ Como $W$ es cerrado, existe $\varepsilon >0$ tal que $B(v, \varepsilon) \subset V \setminus W,$ en consecuencia $0 < r := \underset{w \in W}{inf} \, \norm{v-w}.$
Sea $\delta \in (0,1),$ nota que $r < \frac{r}{\delta}.$ Como $r$ es ínfimo, existe $w_0 \in W$ tal que $r \leq \textcolor{RoyalBlue}{\norm{v -w_0} \leq \frac{r}{\delta}}.$
Sea
$$v_{\delta} = \frac{v -w_0}{\norm{v -w_0}}$$
Entonces $\norm{v_{\delta}}=1.$ Probemos ahora que para cada $w \in W,$ $\norm{v_{\delta} -w}\geq \delta.$
\begin{align*}
\norm{v_{\delta}-w} &= \norm{\frac{v -w_0}{\norm{v -w_0}} -w} \\
&= \norm{\frac{v -w_0}{\norm{v -w_0}} -\frac{\norm{v -w_0}w}{\norm{v -w_0}}} \\
&= \frac{1}{\norm{v -w_0}} \norm{v -\textcolor{magenta}{w_0 -\norm{v -w_0}w}}
\end{align*}
Dado que $\textcolor{magenta}{w_0 -\norm{v -w_0}w}$ es combinación lineal de elementos en $W,$ se sigue que $\textcolor{magenta}{w_0 -\norm{v -w_0}w}$ pertenece a $W.$ En consecuencia
\begin{align*}
\norm{v -\textcolor{magenta}{w_0 -\norm{v -w_0}w}} &\geq r\\
\Rightarrow \frac{1}{\norm{v -w_0}} \norm{v -\textcolor{magenta}{w_0 -\norm{v -w_0}w}} &\geq \textcolor{RoyalBlue}{\frac{1}{\norm{v -w_0}}} r\\
\Rightarrow \norm{v_{\delta}-w} &\geq \textcolor{RoyalBlue}{\frac{\delta}{r}}r\\
\Rightarrow \norm{v_{\delta}-w} &\geq \delta
\end{align*}
que es lo que queríamos probar.
Teorema de Riesz. Sea $V$ un espacio vectorial normado. La esfera unitaria $S_V= \{v \in V \, | \, \norm{v} =1\}$ es compacta si y solo si, $V$ es de dimensión finita.
Demostración:
Supongamos por el contrario que $V$ es de dimensión infinita. Partimos de que $S_V$ es compacto. En Compacidad en espacios métricos vimos que toda sucesión de un compacto tiene una subsucesión convergente. Nuestra contradicción será una sucesión que no tiene esta propiedad:
Sea $W_1 := \langle w_1 \rangle$ el espacio generado por un vector $w_1 \in S_V$ Entonces $W_1$ es subespacio propio de $V$ (pues $V$ es de dimensión infinita) y por los dos últimos resultados de arriba, $W_1$ es cerrado y para $\delta = \frac{1}{2}$ existe $w_2 \in S_V$ tal que $\norm{w_2 -w} \geq \frac{1}{2}$ para cada $w \in W_1.$
Sea $W_2 := \langle w_1, w_2 \rangle$ el espacio generado por los vectores $w_1$ y $w_2.$ Entonces $W_2$ es subespacio propio de $V$ (pues $V$ es de dimensión infinita) y por los dos últimos resultados de arriba, $W_2$ es cerrado y para $\delta = \frac{1}{2}$ existe $w_3 \in S_V$ tal que $\norm{w_3 -w} \geq \frac{1}{2}$ para cada $w \in W_2.$
.
.
.
Sea $W_k := \langle w_1, w_2,…,w_k \rangle$ el espacio generado por los vectores $w_1, w_2,….,w_k.$ Entonces $W_k$ es subespacio propio de $V$ (pues $V$ es de dimensión infinita) y por los dos últimos resultados de arriba, $W_k$ es cerrado y para $\delta = \frac{1}{2}$ existe $w_{k+1} \in S_V$ tal que $\norm{w_{k+1} -w} \geq \frac{1}{2}$ para cada $w \in W_k.$
De esta construcción se tiene que $(w_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es una sucesión de elementos de $S_V.$ Para cualesquiera dos elementos distintos de la sucesión $w_l, w_m$ supón sin pérdida de generalidad que $l < m$ entonces $w_l \in W_l \subset W_{m-1} \subsetneq W_m$ por lo que $\norm{w_l -w_m} \geq \frac{1}{2}$ en consecuencia no existe ninguna subsucesión de Cauchy para $(w_n)$ por lo que no hay tampoco una subsucesión convergente, lo que contradice que $S_V$ es compacto, por lo tanto $V$ es de dimensión finita. El regreso queda como ejercicio, (nota que $S_V$ es cerrado y acotado en $V$ y que lo puedes llevar a $(\mathbb{R}^n, \norm{\cdot}_2$ donde por Heine Borel sabemos que es compacto).
La misma argumentación prueba la siguiente:
Proposición. La bola cerrada $\overline{B}(0,1) = \{v \in V \, | \, \norm{v} \leq 1\}$ es compacta si y solo si $V$ es de dimensión finita. Lo mismo ocurre para cualquier bola cerrada en $V.$ Esto quedará como ejercicio.
De manera más general, se cumple:
Proposición. Sea $V$ un espacio vectorial normado de dimensión finita. Entonces $A \subset V$ es compacto en $V$ si y solo si $A$ es cerrado y acotado en $V.$
Demostración: Queda como ejercicio.
Más adelante…
Cuando hablamos de un espacio vectorial normado de dimensión finita $n$ podemos considerar una base de elementos $\{v_1, v_2,…,v_n\}$ todos de norma uno. La distancia entre cualesquiera dos de ellos siempre será mayor que cero y, de hecho, mayor que un $r \in \mathbb{R}.$ Ya que todos los elementos de la base están «lejos» del resto, cada uno necesitará su bolita para ser cubierto, pero al ser la base un conjunto finito, bastará una cantidad finita de bolitas para lograrlo. En dimensión infinita no ocurre así: tal como vimos, el Lema de Riesz permite seleccionar infinitos elementos en la esfera, alejados entre sí. Si queremos cubrir con bolitas «más pequeñas» que esa distancia necesitaremos una bolita para cada elemento, solo en eso ya se nos va una cantidad infinita de bolitas. Podemos ver que no podemos seleccionar cubiertas finitas para este tipo de cubiertas abiertas.
En esta entrada aprendimos que ser cerrado y acotado no basta para garantizar la compacidad en espacios de dimensión finita, lo siguiente será analizar específicamente cuando no falla lo que estamos intentando hacer (cubrir con finitas bolas chiquititas). Un conjunto donde sí se pueda hacer eso se denominará totalmente acotado. ¿Será suficiente para tener la compacidad?
Tarea moral
- Resuelve la parte de la prueba que quedó pendiente en el primer teorema.
- Demuestra el regreso del teorema de Riesz.
- Prueba que si $V$ es un espacio vectorial normado, entonces una bola cerrada en $V$ es compacta si y solo si $V$ es de dimensión finita.
- Sea $V$ un espacio vectorial normado de dimensión finita. Prueba que $A \subset V$ es compacto en $V$ si y solo si $A$ es cerrado y acotado en $V.$
Bibliografía
- Carothers, N.L., Real Analysis. New York: Cambridge University Press, 2000. Págs: 124 y 125.
- Clapp, M., Análisis Matemático. Ciudad de México: Editorial Papirhos, IM-UNAM, 2013. Pág: 92.
- Kreyszig, E., Introductory functional analysis with applications. USA: John Wiley & Sons. Inc, 1978. Págs: 78-80.
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