MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Hasta ahora, hemos estado estudiando la integral de Lebesgue para funciones definidas (en c.t.p.) de ${\mathbb{R}}^n$. Sin embargo, quizá como analogía con la integral de Riemann, es esperable que podamos «integrar sobre conjuntos más generales», por ejemplo rectángulos o esferas. Esto es precisamente lo que estudiaremos en esta sección.

Integración sobre subconjuntos

Si queremos integrar una función $f$ sobre un conjunto $E$, lo natural es integrar sólamente la parte que nos interesa de $f$. De manera precisa:

Definición. Dada una función medible $f:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ y un conjunto medible $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$, definimos (cuando tenga sentido) la integral de $f$ sobre $E$ como: $${\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda =\int f{\chi }_E\mathrm{d}\lambda .$$ Donde ${\chi }_E$ es la función característica de $E$.

Ejemplo. Como un caso particular, tenemos la integral sobre todo ${\mathbb{R}}^n$: $${\int }_{{\mathbb{R}}^n}f\mathrm{d}\lambda =\int f{\chi }_{{\mathbb{R}}^n}\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda .$$

Observación. Si una función $f$ solamente está definida sobre c.t.p de $E$ (i.e., salvo un conjunto de medida cero), podemos convenir que:

$$f{\chi }_E(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{si }x\in E\\ 0& \text{si }x\notin E\end{array}$$

Diremos que $f$ es medible si la función (definida en c.t.p.) $f{\chi }_E$ es medible y definimos su integral como antes (siempre que tenga sentido).

Definición. Dada una función definida en c.t.p. de $E$, diremos que $f$ es integrable, si
$f{\chi }_E\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, y lo denotaremos por $f\in L^1(E)$.

Ejemplo. Si $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ $⟹$ $f\in L^1(E)$ para cualquier $E$ subconjunto medible, pues en general $|f{\chi }_E|\le |f|$ $⟹$ $\int |f{\chi }_E|\mathrm{d}\lambda \le \int |f|\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$. O más generalmente, si $f\in L^1(F)$ y $E\subseteq F$ $⟹$ $f\in L^1(E)$. El mismo argumento funciona.

El regreso es falso, por ejemplo la función constante $g\equiv 5$ no es $L^1({\mathbb{R}}^n)$ pues $\int g\mathrm{d}\lambda =\mathrm{\infty }$, sin embargo, para cualquier conjunto acotado $E$ ${\int }_{E}g\mathrm{d}\lambda =\int 5{\chi }_E\mathrm{d}\lambda =5\lambda (E)<\mathrm{\infty }$ (al ser la integral de una función simple).

Ejemplo. Sea $f(x)=\frac{x}{|x|}.$ si $x\ne 0$ y $f(0)=0$. Entonces $${\int }_{[2,3]}f\mathrm{d}\lambda =\int f{\chi }_{[2,3]}\mathrm{d}\lambda =\int {\chi }_{[2,3]}\mathrm{d}\lambda =\lambda ([2,3])=1;$$

$$\begin{array}{rl}{\int }_{[-10,-5)}f\mathrm{d}\lambda & =\int f{\chi }_{[-10,-5)}\mathrm{d}\lambda =\int (-1){\chi }_{[-10,-5)}\mathrm{d}\lambda \\ & =-\int {\chi }_{[-10,-5)}\mathrm{d}\lambda =-\lambda ([-10,-5))=-5;\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\int }_{(-1,1)}f\mathrm{d}\lambda & =\int f{\chi }_{(-1,1)}\mathrm{d}\lambda =\int (-1){\chi }_{(-1,0)}\mathrm{d}\lambda +\int (1){\chi }_{(0,1)}\mathrm{d}\lambda \\ & =-\lambda ((-1,0))+\lambda ((0,1))=0.\end{array}$$

Notación. Por lo general, denotaremos la integrales sobre un intervalo $I\subseteq \mathbb{R}$ con extremos $a<b$ como $${\int }_a^{b}f\mathrm{d}\lambda ={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$ Observa que el tipo de intervalo (abierto, semicerrado, etc.) es irrelevante pues los extremos de un intervalo son conjuntos de medida cero.

Para ilustrar, las integrales del ejemplo anterior se reescribirían como: ${\int }_2^{3}f\mathrm{d}\lambda$; ${\int }_{-10}^{-5}f\mathrm{d}\lambda$; ${\int }_{-1}^{1}f\mathrm{d}\lambda$ respectivamente.

Propiedades de la integral sobre subconjuntos

Las siguientes propiedades son todas consecuencias sencillas de la definición. Omitimos la demostración.

Proposición. Sean $A,B\in \mathcal{L}$ . Entonces:

1. Si $f,g\in L^1(A)$ y $a,b\in \mathbb{R}$, entonces $${\int }_{A}af+bg\mathrm{d}\lambda =a{\int }_{A}f\mathrm{d}\lambda +b{\int }_{A}g\mathrm{d}\lambda .$$
2. Si $f=g$ en c.t.p. sobre $A$ y $f\in L^1(A)$ entonces $g\in L^1(A)$ con $${\int }_{A}f\mathrm{d}\lambda ={\int }_{A}g\mathrm{d}\lambda .$$
3. Si $f\in L^1(A),L^1(B)$ y $\lambda (A\cap B)=0$ entonces $${\int }_{A\cup B}f\mathrm{d}\lambda ={\int }_{A}f\mathrm{d}\lambda +{\int }_{B}f\mathrm{d}\lambda .$$
4. (Monotonía sobre funciones).) Si $f,g\in L^1(A)$ y $f\le g$ entonces $${\int }_{A}f\mathrm{d}\lambda \le {\int }_{A}g\mathrm{d}\lambda .$$
5. (Monotonía sobre conjuntos). Si $f\in L^1(B)$ con $f\ge 0$ y $A\subseteq B$ entonces $f\in L^1(A)$ y $${\int }_{A}f\mathrm{d}\lambda \le {\int }_{B}f\mathrm{d}\lambda .$$
6. (Convergencia monótona). Sea $0\le f_1\le f_2\le \dots$ una sucesión creciente de funciones medibles y no negativas sobre $A$. Entonce $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k$ es medible con $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_A{f}_k\mathrm{d}\lambda ={\int }_{A}lim{f}_k\mathrm{d}\lambda .$$
7. (Convergencia dominada). Sea ${f_k}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ una sucesión de funciones medibles sobre $A$ tales que existe $0\le g\in L^1(A)$ tal que: $$|f_k(x)|\le g(x)$$
   para casi todo $x\in A$. Entonces $lim{f}_k$ es medible con $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_A{f}_k\mathrm{d}\lambda ={\int }_{A}lim{f}_k\mathrm{d}\lambda .$$

Proposición (Aditividad numerable de la integral). Sean $E_1,E_2,\dots$ conjuntos medibles disjuntos y $E=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_k$. Sea $f:E\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ medible sobre $E$. Supongamos adicionalmente que ocurre alguna de las dos siguientes:

• $f\ge 0$.
• $f\in L^1(E)$.

Entonces $${\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{E_k}f\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Para el caso 1.:

$$\begin{array}{rl}{\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda & =\int f{\chi }_E\mathrm{d}\lambda \\ & =\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda \\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int f{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda \\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{E_k}f\mathrm{d}\lambda \end{array}$$

En la segunda igualdad usamos ${\chi }_E=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\chi }_{E_k}$, consecuencia de que los $E_k$ son ajenos. La tercera igualdad es debido a (una consecuencia de) el teorema de la convergencia monótona.

Para el caso 2. Notemos primero que, similarmente al caso anterior: $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int |f|{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda =\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|f|{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda =\int |f|{\chi }_E\mathrm{d}\lambda ={\int }_E|f|\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }.$$

Por una de las consecuencias del teorema de la convergencia dominada, se sigue entonces:

$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{E_k}f\mathrm{d}\lambda =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int f{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda =\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda ={\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda .$$
Como queríamos probar.

Continuidad absoluta

Veamos ahora un resultado «de continuidad» para funciones en $L^1$. En general nos dice que «la integral sobre conjuntos pequeños es pequeña» o alternativamente, que una función $L^1$ no puede acumular su «masa» sobre conjuntos arbitrariamente pequeños.

\textbf{Teorema (Continuidad absoluta respecto al dominio).} Sea $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ y $\epsilon >0$. Entonces existe $\delta >0$ tal que si $E\in \mathcal{L}$ es medible con $\lambda (E)<\delta$ entonces $$\left|{\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda \right|<\epsilon .$$

Demostración. Supongamos primero que $f\ge 0$. Por definición, existe una función simple $s\in S$ tal que $0\le s\le f$ y $$\int s\mathrm{d}\lambda >\int f\mathrm{d}\lambda -\frac{\epsilon }{2}.$$

Como $s$ es simple, en particular es acotada (sólo toma una cantidad finita de valores), así que existe $C>0$ tal que $$s(x)\le C\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^n.$$

Luego:

$$\begin{array}{rl}{\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda & ={\int }_{E}s\mathrm{d}\lambda +{\int }_E(f-s)\mathrm{d}\lambda \\ & \le {\int }_{E}C\mathrm{d}\lambda +{\int }_{{\mathbb{R}}^n}(f-s)\mathrm{d}\lambda \\ & \le {\int }_{E}C\mathrm{d}\lambda +{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f\mathrm{d}\lambda –{\int }_{{\mathbb{R}}^n}s\mathrm{d}\lambda \\ & <C\lambda (E)+\frac{\epsilon }{2}.\end{array}$$

Así que si tomamos cualquier $E$ con $\lambda (E)<\frac{\epsilon }{2C}=\delta$ se cumple lo buscado.

El caso general se sigue del caso no negativo aplicado a $|f|$ y la desigualdad del triángulo:

$$\left|{\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda \right|=|\int f{\chi }_E\mathrm{d}\lambda |\le \int |f|{\chi }_E\mathrm{d}\lambda ={\int }_E|f|\mathrm{d}\lambda .$$

Más adelante…

Veremos la relación que existe entre la integral de Riemann y la integral de Lebesgue. Veremos que la integral de Lebesgue es una generalización de la integral de Riemann. Esto nos permitirá usar todas las herramientas conocidas de la integral de Riemann (cuando apliquen) como el teorema fundamental del cálculo para evaluar integrales.

Tarea moral