Introducción

Hasta ahora, hemos estudiado la integral de Lebesgue para funciones definidas (en c.t.p.) de $\mathbb{R}^n$. Sin embargo, quizá como analogía con la integral de Riemann, es esperable que podamos definir la integral sobre conjuntos más generales, por ejemplo rectángulos o esferas. Esto es precisamente lo que estudiaremos en esta sección.

Definición y convenciones

Si queremos integrar una función $f$ sobre un conjunto $E$, una noción bastante natural es la siguiente:

Definición. Dada una función medible $f:\mathbb{R}^n\to [-\infty, \infty]$ y un conjunto medible $E\subseteq \mathbb{R}^n$, definimos la integral de $f$ sobre $E$ (cuando tenga sentido) como: $$\int_E f \ \mathrm{d}\lambda=\int f\cdot \chi_E \ \mathrm{d}\lambda.$$ Donde $\chi_E$ es la función característica de $E$.

Si una función $f$ solamente está definida en casi todo punto de $E$, es decir, $f:E\setminus N \to [-\infty,\infty]$ (con $\lambda(N)=0$), podemos convenir que
\begin{equation*}
f\cdot\chi_E(x)=
\begin{cases}
f(x) & \text{si } x\in E\\
0 & \text{si } x\notin E
\end{cases}
\end{equation*} Diremos que $f$ es medible sobre $E$ si la función definida en c.t.p. $f\cdot\chi_E$ es medible. Definimos la integral de $f$ sobre $E$ como antes (siempre que tenga sentido).

Definición. Diremos que $f$ es integrable sobre $E$, si $f\chi_E\in L^1(\mathbb{R}^n)$, y lo denotaremos como $f\in L^1(E)$.

Ejemplos y casos particulares

Ejemplo. Como un caso particular, tenemos la integral sobre todo $\mathbb{R}^n$: $$\int_{\mathbb{R}^n} f \ \mathrm{d}\lambda=\int f\chi_{\mathbb{R}^n} \ \mathrm{d}\lambda=\int f \ \mathrm{d}\lambda.$$

$\triangle$

Ejemplo. Sea \begin{equation*}
f(x) =
\begin{cases}
\frac{x}{|x|} & \text{ si } x \neq 0 \\
0 & \text{ si } x = 0.
\end{cases} \end{equation*} Entonces $$\int_{[2,3]}f \ \mathrm{d}\lambda = \int f\chi_{[2,3]} \ \mathrm{d}\lambda=\int \chi_{[2,3]} \ \mathrm{d}\lambda=\lambda([2,3])=1;$$

\begin{align*}
\int_{(-1,1)}f \ \mathrm{d}\lambda &= \int f\chi_{(-1,1)} \ \mathrm{d}\lambda= \int (-1)\chi_{(-1,0)} \ \mathrm{d}\lambda+\int (1)\chi_{(0,1)} \ \mathrm{d}\lambda\\
&=-\lambda((-1,0))+\lambda((0,1))=0.
\end{align*}

$\triangle$

Las integrales sobre intervalos son particularmente frecuentes, así que conviene establecer notación especial para estas. Tomaremos prestada la notación usual para integrales de Riemann sobre intervalos. Esto no es al azar, como veremos más adelante, la integral de Riemann sobre un intervalo es un caso particular de la integral de Lebesgue.

Notación. Denotaremos las integrales sobre un intervalo $I\subseteq \mathbb{R}$ con extremos $a<b$, como $$\int_a^bf \ \mathrm{d}\lambda=\int_a^bf(x) \ \mathrm{d}x.$$ Observa que el tipo de intervalo (abierto, semicerrado, etc.) es irrelevante pues los extremos de un intervalo son conjuntos de medida cero.

Para ilustrar, las integrales del ejemplo anterior se reescribirían como: $$\int_2^3f \ \mathrm{d}\lambda; \ \ \ \ \ \int_{-1}^1f \ \mathrm{d}\lambda.$$ Respectivamente.

Ejemplo. La integral sobre cualquier conjunto de medida cero es cero. En efecto, si $f$ es medible sobre $E$ y $\lambda(E)=0$, tenemos que $f\chi_E=0$ en c.t.p. de $\mathbb{R}^n$ $\implies$ $\int_E f \ \mathrm{d}\lambda=\int f\chi_E \ \mathrm{d}\lambda=0$.

$\triangle$

Ejemplo. Si $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ $\implies$ $f\in L^1(E)$ para cualquier $E$ subconjunto medible, pues $|f\chi_E|\leq |f|$ $\implies$ $\int |f\chi_E| \ \mathrm{d}\lambda\leq \int |f| \ \mathrm{d}\lambda<\infty$.

Más generalmente, si $f\in L^1(F)$ y $E\subseteq F$ $\implies$ $f\in L^1(E)$, pues $|f\chi_E|\leq |f\chi_F|$.

El regreso es falso. Por ejemplo, la función constante $g\equiv 1$ cumple que $g\in L^1(E)$ para cualquier $E$ con medida finita pues $\int_E g \ \mathrm{d}\lambda=\int 1\chi_E \ \mathrm{d}\lambda=\lambda(E)<\infty$. Sin embargo, $g\notin L^1(\mathbb{R}^n)$, ya que $\int g \ \mathrm{d}\lambda=\infty$.

$\triangle$

Ejemplo. Cualquier función medible y acotada es integrable sobre un conjunto de medida finita: si $|f|\leq M$ sobre $E$, entonces $$\int_E |f| \ \mathrm{d}\lambda=\int |f\chi_E| \ \mathrm{d}\lambda\leq M \int \chi_E \ \mathrm{d}\lambda=M\lambda(E)<\infty.$$

$\triangle$

Propiedades de la integral sobre subconjuntos

Las siguientes propiedades son todas consecuencias sencillas de la definición y sus análogos para la integral en todo $\mathbb{R}^n$. Omitimos la demostración.

Proposición. Sean $A,B\in \mathcal{L}$ . Entonces:

1. Si $f,g\in L^1(A)$ y $a,b\in \mathbb{R}$, entonces $$\int_A af+bg \ \mathrm{d}\lambda=a\int_A f \ \mathrm{d}\lambda+b\int_A g \ \mathrm{d}\lambda.$$
2. Si $f=g$ en c.t.p. sobre $A$ y $f\in L^1(A)$ entonces $g\in L^1(A)$ con $$\int_A f \ \mathrm{d}\lambda=\int_A g \ \mathrm{d}\lambda.$$
3. Si $f\in L^1(A),L^1(B)$ y $\lambda(A\cap B)=0$ entonces $$\int_{A\cup B} f \ \mathrm{d}\lambda=\int_A f \ \mathrm{d}\lambda+\int_B f \ \mathrm{d}\lambda.$$
4. (Monotonía sobre funciones).) Si $f,g\in L^1(A)$ y $f\leq g$ entonces $$\int_A f \ \mathrm{d}\lambda \leq \int_A g \ \mathrm{d}\lambda.$$
5. (Monotonía sobre conjuntos). Si $f\in L^1(B)$ con $f\geq 0$ y $A\subseteq B$ entonces $f\in L^1(A)$ y $$\int_A f \ \mathrm{d}\lambda\leq \int_B f \ \mathrm{d}\lambda.$$
6. (Desigualdad del triángulo). $f\in L^1(A)$ $\iff$ $|f|\in L^1(A)$. Además $$ \left| \int_A f \ \mathrm{d}\lambda \right| \leq \int_A |f| \ \mathrm{d}\lambda.$$
7. (Convergencia monótona). Sea $0\leq f_1\leq f_2 \leq \dots$ una sucesión creciente de funciones medibles y no negativas sobre $A$. Entonce $\lim_{k\to \infty} f_k$ es medible con $$\lim_{k\to \infty} \int_A f_k \ \mathrm{d}\lambda=\int_A \lim f_k \ \mathrm{d}\lambda.$$
8. (Convergencia dominada). Sea $\{ f_k \}_{k=1}^{\infty} $ una sucesión de funciones medibles sobre $A$ tales que existe $g\in L^1(A)$ con: $$|f_k(x)|\leq g(x)$$ Para casi todo $x\in A$. Entonces $\lim f_k$ es integrable sobre $A$ con $$\lim_{k\to \infty} \int_A f_k \ \mathrm{d}\lambda=\int_A \lim f_k \ \mathrm{d}\lambda.$$

$\square$

Proposición (Aditividad numerable de la integral). Sean $E_1,E_2,\dots$ conjuntos medibles disjuntos y $E=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k$. Sea $f:E\to [-\infty,\infty]$ medible sobre $E$. Supongamos adicionalmente que ocurre alguna de las dos siguientes:

• $f\geq 0$.
• $f\in L^1(E)$.

Entonces $$\int_E f \ \mathrm{d}\lambda=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{E_k} f \ \mathrm{d}\lambda.$$

Demostración. Para el primer caso:

\begin{align*}
\int_E f \ \mathrm{d}\lambda &= \int f\chi_E \ \mathrm{d}\lambda \\
&= \int \sum_{k=1}^{\infty} f\chi_{E_k} \ \mathrm{d}\lambda \\
&= \sum_{k=1}^{\infty} \int f\chi_{E_k} \ \mathrm{d}\lambda\\
&= \sum_{k=1}^{\infty} \int_{E_k} f \ \mathrm{d}\lambda
\end{align*}

En la segunda igualdad usamos $\chi_E=\sum_{k=1}^{\infty} \chi_{E_k}$, consecuencia de que los $E_k$ son ajenos. La tercera igualdad es debido a que la integral conmuta con sumas de funciones positivas.

Para el segundo caso, notemos que, similarmente al caso anterior: $$\sum_{k=1}^{\infty} \int |f|\chi_{E_k} \ \mathrm{d}\lambda=\int \sum_{k=1}^{\infty} |f|\chi_{E_k} \ \mathrm{d}\lambda=\int |f|\chi_{E} \ \mathrm{d}\lambda=\int_E |f| \ \mathrm{d}\lambda<\infty.$$

Lo que garantiza que podemos intercambiar sumas con integrales:

$$\sum_{k=1}^{\infty} \int_{E_k} f \ \mathrm{d}\lambda=\sum_{k=1}^{\infty} \int f\chi_{E_k} \ \mathrm{d}\lambda=\int \sum_{k=1}^{\infty} f\chi_{E_k} \ \mathrm{d}\lambda=\int_E f \ \mathrm{d}\lambda.$$
Como queríamos probar.

$\square$

Continuidad absoluta

Veamos ahora un resultado «de continuidad» para la integral de funciones en $L^1$. En cierto modo nos dice que «la integral sobre conjuntos pequeños es uniformemente pequeña», o alternativamente, que una función integrable no puede acumular su «masa» sobre conjuntos arbitrariamente pequeños.

Teorema (Continuidad absoluta respecto al dominio). Sea $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ y $\varepsilon>0$. Entonces existe $\delta>0$ tal que si $E\in \mathcal{L}$ es medible con $\lambda(E)<\delta$ entonces $$\left| \int_E f \ \mathrm{d}\lambda \right|<\varepsilon.$$

Demostración. Supongamos primero que $f\geq 0$. Por definición, existe una función simple $s\in S$ tal que $0\leq s \leq f$ y $$\int s \ \mathrm{d}\lambda > \int f \ \mathrm{d}\lambda-\frac{\varepsilon}{2}.$$

Como $s$ es simple, en particular es acotada (sólo toma una cantidad finita de valores), así que existe $C>0$ tal que $$s(x)\leq C \ \ \ \forall x\in \mathbb{R}^n.$$

Luego:

\begin{align*}
\int_E f \ \mathrm{d}\lambda &= \int_E s \ \mathrm{d}\lambda + \int_E (f-s) \ \mathrm{d}\lambda \\
&\leq \int_E C \ \mathrm{d}\lambda+\int_{\mathbb{R}
^n} (f-s) \ \mathrm{d}\lambda \\
&\leq \int_E C \ \mathrm{d}\lambda+\int_{\mathbb{R}
^n} f \ \mathrm{d}\lambda – \int_{\mathbb{R}
^n} s \ \mathrm{d}\lambda \\
&< C\lambda(E)+\frac{\varepsilon}{2}.
\end{align*}

Así que, si tomamos cualquier $E$ con $\lambda(E)< \frac{\varepsilon}{2C}=\delta$, se cumple lo buscado.

El caso general se sigue del caso no negativo aplicado a $|f|$ y la desigualdad del triángulo.

$\square$

Más adelante…

Veremos la relación que existe entre la integral de Riemann y la integral de Lebesgue. Veremos que la integral de Lebesgue es una generalización de la integral de Riemann. Esto nos permitirá usar todas las herramientas conocidas de la integral de Riemann (cuando apliquen) como el teorema fundamental del cálculo para evaluar integrales.

Tarea moral

• Sea $f$ una función definida (en c.t.p.) sobre $E$: $f:E\setminus N\to [-\infty,\infty]$ (con $\lambda(N)=0$). Demuestra que las siguientes son equivalentes:
  • $f$ es medible sobre $E$.
  • Para cada $t\in [-\infty, \infty]$, $f^{-1}([-\infty,t])\cap E\in \mathcal{L}$.
  • $f^{-1}(\pm\infty)\in \mathcal{L}$ y para cualquier $B\in \mathcal{B}$ conjunto de Borel, $f^{-1}(B)\cap E\in \mathcal{L}$.
  • $f$ es $\mathcal{L}_{E\setminus N}$-medible, donde $\mathcal{L}_{E\setminus N}$ denota la restricción sobre $E\setminus N$ de la $\sigma$-álgebra de conjuntos Lebesgue-medibles.
• Verifica las propiedades de las integrales sobre subconjuntos de la primera proposición.
• Sea $E$ un conjunto medible. Sea $f$ una función medible sobre $E$. Supongamos que existe $M>0$ tal que $\{x\in E \ | \ f(x)>M \}$ es nulo.
  • Prueba que si $\lambda(E)<\infty$, entonces $f\in L^1(E)$.
  • ¿Se cumple lo anterior si $\lambda(E)=\infty$?
• (teorema de Convergencia acotada). Sea $E$ un conjunto medible con $\lambda(E)<\infty$. Sea $\{ f_k \}_{k=1}^{\infty} $ una sucesión de funciones medibles sobre $E$ tales que existe $0\leq M <\infty$ con: $$|f_k(x)|\leq M$$ Para casi todo $x\in E$. Demuestra que $\lim f_k$ es integrable sobre $E$ con $$\lim_{k\to \infty} \int_E f_k \ \mathrm{d}\lambda=\int_E \lim f_k \ \mathrm{d}\lambda.$$ [SUGERENCIA: Esto es consecuencia del teorema de la convergencia dominada. ¿Qué función domina a la sucesión?].
• Sea $f\in L^1(\mathbb{R})$. Definamos $$F(x)=\int_0^x f(t) \ \mathrm{d}t.$$ Con la convención: $\int_b^a f(t) \ \mathrm{d}t=-\int_a^b f(t) \ \mathrm{d}t$ si $a<b$. Demuestra que $F$ es una función continua. ¿Es $F$ una función diferenciable?
• Sea $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$. Demuestra que para cualquier $\varepsilon>0$, existe $R$ suficientemente grande tal que $$\left| \int_{\mathbb{R}^n\setminus B_R(0)} f \ \mathrm{d}\lambda \right|<\varepsilon.$$ Donde $B_R(0)$ denota la bola de radio $R$ con centro en el orígen.