MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Los espacios $L^p$ son posiblemente los espacios normados más importantes que surgen en la teoría de la medida e integración de Lebesgue. Estos generalizan la idea de funciones integrables, y nos permiten medir el «tamaño» de funciones de maneras más flexibles y potentes, además, tienen propiedades súmamente interesantes en el contexto del análisis funcional. En esta entrada definiremos el concepto de espacio $L^p$ y estudiaremos algunas de sus propiedades básicas.

Aprovechando las nociones introducidas anteriormente, definiremos los espacios $L^p$ con toda generalidad sobre espacios de medida abstracta. Para esta sección $(X,\mathcal{M},\mu )$ denotará un espacio de medida. Si te es más fácil, puedes pensar a $(X,\mathcal{M},\mu )$ como el espacio modelo $({\mathbb{R}}^n,{\mathcal{L}}_n,\lambda )$.

Motivación

Si bien la integral es una forma natural de medir la «masa de una función», es fácil llegar a la conclusión de que no necesariamente es la única manera de hacerlo. Consideremos la función $f(x)=\frac{1}{x}$ definida en $[1,\mathrm{\infty })$. Por un lado es fácil estimar (ver la figura): $${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}\mathrm{d}x\ge \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}=\mathrm{\infty }.$$ Sin embargo, si en lugar de considerar a la función consideramos a sus potencias, por ejemplo 2, ya habíamos calculado que $${\int }_1^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{x}\right)}^2<\mathrm{\infty }.$$ Es decir, aprovechando la «contracción» que nos ofrece la función $f(x)=x^2$ para $x<1$, podemos darle un sentido alternativo de «masa» a la función que nos da un valor mucho más manejable.

Esta es precisamente la idea detrás de espacio $L^p$: Considerar la integral de las potencias de funciones.

Además de ser una forma alternativa de medir la «masa de una función», ésta noción nos da ejemplos de espacios normados con una estructura muy interesante. Por razones «algebraicas» que serán claras más adelante, la expresión $${\Vert f\Vert }_p={\left({\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}.$$

Exhibe propiedades que son «casi» las de una norma, salvo que ${\Vert f\Vert }_p=0$ $⟺$ $f=0$, pues en realidad tenemos: $${\Vert f\Vert }_p=0⟺{\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu =0⟺|f{|}^p=0c.t.p.⟺f=0c.t.p.$$

Por ésta razón, conviene considerar a dos funciones «iguales» si son iguales en c.t.p. Más formalmente, dada una función medible $f$, podemos considerar $[f]$ la clase de equivalencia de funciones medibles que son iguales en c.t.p. a $f$: $g\in [f]$ $⟺$ $g=f$ en c.t.p. Cualquier propiedad definida en términos de la integral debe ser preservada dentro de dicha clase de equivalencia (insensibilidad de la integral), por esta razón, a partir de ahora identificaremos $f$ con $[f]$, es decir, cada que nos refiramos a una función medible $f$, implícitamente estaremos considerando a $[f]$.

Definición. Sea $f:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ $\mathcal{M}$-medible y $1\le p<\mathrm{\infty }$. Decimos que (la clase de equivalencia) $f\in L^p(X,\mathcal{M},\mu )$ si $${\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }.$$
De manera abreviada usaremos la notación $f\in L^p(X)$ o simplemente $f\in L^p$ (siempre que sea claro en que espacio estemos trabajando).

Observación. La definición anterior tiene sentido. Anteriormente probamos que la función $|f{|}^p$ es medible y al ser no negativa tiene una integral bien definida. Además, esto es cierto para cualquier elemento de la clase de equivalencia $[f]$.

Ejemplo. $L^1$ preserva su significado: Es el espacio de las funciones integrables (solo que ahora identificamos funciones iguales en c.t.p.).

Proposición. La función ${\Vert \cdot \Vert }_p:L^p(X,\mathcal{M},\mu )$ dada por:

$${\Vert f\Vert }_p={\left({\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}.$$ Es una norma.

Es inmediato ver que

• $0\le {\Vert f\Vert }_p<\mathrm{\infty }$.
• ${\Vert cf\Vert }_p=|c|{\Vert f\Vert }_p$ si $c\in \mathbb{R}$.
• ${\Vert f\Vert }_p=0$ $⟺$ $f=0$ (es decir $[f]=[0]$) como mencionamos anteriormente.

Probar la desigualdad del triángulo (que en este contexto recibe el nombre de la desigualdad de Minkowski) requiere más trabajo.

Lema (desigualdad de Young). Sean $1<p,q<\mathrm{\infty }$ tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Entonces para cualesquiera $a,b>0$: $$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{a^q}{q}.$$

Demostración. La función $x\to e^x$ es convexa (su segunda derivada es $e^x>0$), de donde:

$$ab=e^{\ln a+\ln b}=e^{\frac{1}{p}\ln a^p+\frac{1}{q}\ln b^q}\le \frac{1}{p}{e}^{\ln a^p}+\frac{1}{q}{e}^{\ln a^q}=\frac{a^p}{p}+\frac{a^q}{q}.$$

Teorema (desigualdad de Hölder). Sean $1\le p,q<\mathrm{\infty }$ con $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Si $f\in L^p$ y $g\in L^q$, entonces $fg\in L^1$ y además: $${\int }_X|fg|\mathrm{d}\mu \le {\Vert f\Vert }_p{\Vert g\Vert }_q.$$

Demostración. La desigualdad es inmediata si $f=0$ o $g=0$ así que supongamos que $f,g\ne 0$. Por la desigualdad de Young tenemos que:

$${\int }_X\left(\frac{|f|}{{\Vert f\Vert }_p}\right)\left(\frac{|g|}{{\Vert g\Vert }_q}\right)\mathrm{d}\mu \le {\int }_X\frac{1}{p}{\left(\frac{|f|}{{\Vert f\Vert }_p}\right)}^p\mathrm{d}\mu +{\int }_X\frac{1}{q}{\left(\frac{|g|}{{\Vert g\Vert }_q}\right)}^q\mathrm{d}\mu =\frac{{\Vert f\Vert }_p^p}{p{\Vert f\Vert }_p^p}+\frac{{\Vert g\Vert }_q^q}{q{\Vert g\Vert }_q^q}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$$
$$⟹{\int }_X|fg|\mathrm{d}\mu \le {\Vert f\Vert }_p{\Vert g\Vert }_q$$

Definición. Dado $1<p<\mathrm{\infty }$, el conjugado de Hölder de p es el número $q$ tal que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ($q=\frac{p}{p-1}$). Para $p=1$ convenimos $q=\mathrm{\infty }$ y para $p=\mathrm{\infty }$ convenimos $q=1$. Más adelante se verá la razón de esta convención.

Ejercicio. Sean $0\le a_1,a_2,\dots ,a_n$ y $0\le b_1,b_2,\dots ,b_n$ números no negativos. Sean $p,q\in (1,\mathrm{\infty })$ tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Demuestra que:
$$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\le {\left(\sum _{k=1}^n{a}^p\right)}^{\frac{1}{p}}\cdot {\left(\sum _{k=1}^n{b}^q\right)}^{\frac{1}{q}}.$$

Solución. Sea $X=1,2,\dots ,n$ con la medida de conteo $\mu$. Consideremos las funciones $f,g:X\to [0,\mathrm{\infty }]$ dadas por $f(j)=a_j$ y $g(j)=b_j$ para $j=1,2,\dots ,n$. Notemos que: $${\Vert f\Vert }_p={\left({\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}={(\sum _{k=1}^n|f(k){|}^p)}^{\frac{1}{p}}={\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^p\right)}^{\frac{1}{p}}<\mathrm{\infty }.$$ Y similarmente $${\Vert g\Vert }_q={\left({\int }_X|g{|}^q\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{q}}={(\sum _{k=1}^n|g(k){|}^q)}^{\frac{1}{q}}={\left(\sum _{k=1}^n{b}_k^q\right)}^{\frac{1}{q}}<\mathrm{\infty }.$$ Además $${\int }_X|fg|\mathrm{d}\mu =\sum _{k=1}^n|f(k)g(k)|=\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k.$$ Se sigue entonces de la desigualdad de Hölder que $$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k={\int }_X|fg|\mathrm{d}\mu \le {\Vert f\Vert }_p{\Vert g\Vert }_q={\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^p\right)}^{\frac{1}{p}}\cdot {\left(\sum _{k=1}^n{b}_k^q\right)}^{\frac{1}{q}}$$
Como queríamos probar.

Teorema (Desigualdad de Minkowski). Sean $f,g\in L^p$ con $1\le p<\mathrm{\infty }$. Entonces $f+g\in L^p$ y $${\Vert f\Vert }_p\le {\Vert f+g\Vert }_p+{\Vert g\Vert }_p$$

Demostración. Para $p=1$, es una consecuencia de la desigualdad del triángulo convencional. Así que supongamos $p\ne 1$.

Primero notemos que $|f+g|,|f|+|g|\in L^p$ pues: $$|f+g{|}^p\le (|f|+|g|{)}^p\le (2max|f|,|g|{)}^p\le 2^p(max|f|,|g|{)}^p\le 2^p(|f{|}^p+|g{|}^p).$$

Más aún, como $|f+g|\in L^p$, entonces $|f+g{|}^{p-1}\in L^q$ donde $q=\frac{p}{p-1}$ es el conjugado de Hölder de $p$ pues: $${\int }_X(|f+q{|}^{p-1}{)}^q\mathrm{d}\mu ={\int }_X|f+q{|}^p\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }.$$
Se sigue entonces:

$$\begin{array}{rl}{\Vert f+g\Vert }_p^p& ={\int }_X|f+g{|}^p\mathrm{d}\mu \\ & \le {\int }_X|f+g{|}^{p-1}(|f|+|g|)\mathrm{d}\mu \\ & ={\int }_X|f+g{|}^{p-1}|f|\mathrm{d}\mu +{\int }_X|f+g{|}^{p-1}|g|\mathrm{d}\mu \\ & \le {({\int }_X|f+g{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{p-1}{p}}{\Vert f\Vert }_p+\le {({\int }_X|f+g{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{p-1}{p}}{\Vert g\Vert }_p\\ & ={\Vert f+g\Vert }_p^{p-1}({\Vert f\Vert }_p+{\Vert g\Vert }_p)\end{array}$$

De donde

$$⟹{\Vert f+g\Vert }_p\le {\Vert f\Vert }_p+{\Vert g\Vert }_p.$$

Más adelante…

Veremos otra propiedad anlítica fundamental de los espacios $L^p$: son espacios de Banach.

Tarea moral