Introducción

De acuerdo con el material que se ha presentado, destacan dos personajes importantes, el prestamista y el deudor, el primero se priva de sus recursos, mientras que el segundo hace uso de ellos, a cambio de una recompensa que llamamos interés, el cual es otorgado al prestamista, dicha cantidad le será entregada luego de haber transcurrido una cierta cantidad de tiempo el cual, es pactado por los involucrados y determinará la duración que tenga la operación. De esta forma se puede decir que existe una igualdad en cuanto a los derechos del deudor que es recibir recursos, así como éste último tiene la obligación de entregar los intereses acordados al término del plazo. Para modelar este fenómeno, se hace uso del modelo de interés compuesto, que matemáticamente es una ecuación que implica una igualdad, la cual consiste que un monto es igual la cantidad inicial que fue prestada más los intereses acordados. Al hacerlo queda establecida y garantizada la relación de las obligaciones y los derechos, de manera tal que, se garantiza equidad en la operación entre las partes involucradas.

Ecuación de valor

La ecuación que se va a estar usando para garantizar la igualdad que se acaba de describir, recibe el nombre de ecuación de valor, que permite garantizar la igualdad que relaciona los derechos del deudor al adquirir los recursos, y éste tiene la obligación de hacer el pago del capital inicial más los intereses, cada uno de ellos sabiendo el valor que adquieren en una misma fecha de valuación, dicha fecha es conocida como fecha focal.

Formalizando el concepto de ecuación de valor, será definido como «La representación matemática de una operación financiera o comercial que hace iguales los derechos y las obligaciones contraídos por las partes, valuados a la misma fecha» (Cánovas T., 2004, pág. 106).

Lo anterior, regularmente se formaliza a través de un contrato, donde queda asentados principalmente los valores de la ecuación, el capital inicial, la duración que va a tener el préstamo, los intereses que van a ser pagados, así como la forma, y la tasa de interés.

Reglas para su construcción

Los modelos que se han estado utilizando para este tipo de situaciones son ecuaciones de valor, cada una de ellas tienen en común las siguientes características:

• En el primer lado de la igualdad se escriben los derechos del prestamista y en el otro lado se anotan las obligaciones del deudor, siempre debe ser así, puede darse el caso en el que estén al revés, pero resulta indistinto, dependerá del cálculo que uno necesite obtener para encontrar el valor deseado.
• Los cálculos que se realicen siempre deben estar calculados en una misma fecha de valuación, una misma fecha focal.
• Las ecuaciones de valor, son usadas regularmente cuando se desea estar trabajando con pagos, que están indicados en fechas distintas y éstas a su vez están relacionadas con pagos que se realizarán en diferentes plazos, de allí surge la necesidad de fijar una fecha focal en la que se estarán valuando todas las operaciones que se vayan a realizar.

Su aplicación es muy frecuente, cuando se renegocian las deudas, esto ocurre cuando el deudor no le es posible terminar de pagar su deuda, en el tiempo acordado; y es en ése momento que se recurre al uso de una ecuación de valor.

Por citar un ejemplo: una persona va a depositar sus ahorros a un banco, y de acuerdo a los temas que se han estado revisando, ésta persona va a ganar un rendimiento, una cantidad extra de lo que acaba de depositar, generada por los intereses que el banco está obligado a pagar, por dejar sus ahorros un cierto periodo de tiempo. Dicha cantidad extra, es el producto de multiplicar su capital inicial por una tasa de interés cada cierto número de periodos. En este caso, aparece una cierta obligación del banco para su cliente que es la de pagar intereses, así como el cliente tiene que dejar de tener sus ahorros por una cierta cantidad de tiempo, de forma implícita, existe una relación costo-beneficio entre ambas partes.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Una persona desea adquirir a crédito un terreno con un valor de \$140 000. Según los cálculos que tiene considerados con sus ahorros tiene la cantidad de \$70 000, la cantidad que va a necesitar es de \$70 000. La persona firma un contrato en donde estipula que realizará pagos de la siguiente forma:

• Dar un enganche de \$70 000
• Hacer un pago por la cantidad de \$30 000, el 15 de abril de 2023
• Realizar otro pago de \$27 000 el día 15 de julio del mismo año.
• La fecha de valuación es el día 15 de enero de 2023, día en que inicia el contrato y es la fecha en la que comienza a hacer pagos comenzando por cubrir el enganche.

Se desea saber ¿cuánto es lo que le falta por pagar para saldar la deuda el día 10 de agosto de 2023? y la tasa pactada es del \1.8% efectivo mensual.

El señor Luis, quiere comprar un paquete de viaje de vacaciones para su familia, con todo pagado, y lo piensa sacar a crédito, por lo que el día de hoy 10 de enero de 2022, con un valor es de \$160 mil pesos, hace el contrato aportando una cantidad de \$80 mil pesos, considera hacer otra aportación \$30 mil pesos el 10 de abril, otro pago de \$25 mil el 10 de agosto, y un último pago liquidando su deuda el 10 de diciembre. Se requiere saber ¿De cuánto es el último pago, si la agencia de viajes otorga el crédito con una tasa de interés del 1.9% efectiva mensual?

Más adelante…

Con las herramientas que hasta el momento se han abordado, ya se cuenta con el material suficiente para entrar con temas de mayor complejidad, ya que de cierta forma hace que utilicemos todas las metodologías se han estado desarrollando. Dicho teme es el de las anualidades, cuya importancia dentro de las matemáticas financieras es fundamental, toda vez que suelen ser muy utilizadas en muchas de las operaciones de crédito, económicas, dentro de las operaciones financieras o comerciales.

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Introducción

Existen diversos fenómenos naturales que se comportan con el paso del tiempo, de manera similar al modelo de interés compuesto, y justamente por esa razón es posible hacer uso para poder realizar diferentes análisis de cada uno de ellos. Algunos, por ejemplo, serían el crecimiento de alguna planta, de una población, el crecimiento de cultivos de una bacteria, etc. Sin embargo, no es la única rama del conocimiento en el que se puede aplicar, también diversas situaciones demográficas, por ejemplo, hacer mediciones, y esto es sólo por hacer mención de alguna otra área.

Por lo anterior, en esta sección se hará uso del modelo de interés compuesto para resolver algunos fenómenos de diferentes áreas como las ciencias naturales, la administración, le demografía, entre otras.

Aplicación en la economía

El modelo $M=K(1+i)^t$ es usado en economía para medir el cambio que registra un determinado fenómeno en el tiempo, haciendo uso de variaciones porcentuales de las cifras que lo describen. Es en esta área que el concepto de tasas equivalentes desempeña una función muy importante. Algunos ejemplo donde se aplica en la economía, sería en el calculo del crecimiento del Producto Interno Bruto (PIB), así como de la producción de diferentes sectores que la conforman, tales como; el agrícola, el industrial, el de servicios, etc.

Otra aplicación dentro de la economía, se tiene en el calculo del crecimiento de los precios mejor conocido como inflación que se abordara en un tema en especial, más adelante.

Aplicación en la administración

En la administración de empresas, el modelo de interés compuesto, tiene su uso para resolver problemas de índole económico, pero también para modelar situaciones como: el crecimiento de la producción, la evolución de las ventas, el incremento de salarios, la variación de los costos de producción, etc.

Ejercicios resueltos

Una empresa fabrica una cantidad de 30 millones pantalones al año. Durante el año de 1996, la producción y las ventas de la empresa alcanzó los \$16 millones y en el año 2001, vendió \$22 millones. De continuar así su crecimiento, se requiere saber cuánto se debe de incrementar la capacidad de la fábrica a fin de contar con los recursos suficientes para hacer frente a la demanda.

Aplicación en la demografía

Es utilizado para predecir el crecimiento de la población, sin embargo, esta algo limitado, dado que actualmente existen otros modelos que permiten medir de mejor forma en comparación al modelo de interés compuesto. Sin embargo, es posible hacer uso de éste, para obtener la tasa neta de crecimiento de una cierta población, para determinar su tamaño que podrá alcanzar en un futuro.

Ejercicios resueltos

Supongamos que en el año 2000 la población de un país es de 89.5 millones de habitantes, registrando una tasa de crecimiento poblacional del 2.5% promedio anual para los últimos 10 años. El gobierno necesita saber, en qué momento la población llegará a ser de 140 millones de habitantes

Aplicación en las ciencias naturales

En este apartado se considera a las ciencias naturales, la botánica y la biología, así como otras ramas afines tales como la medicina, la agricultura, ganadería, etc. dónde el modelo de interés compuesto se aplica para resolver casos relacionados con el crecimiento de microorganismos, velocidad de reproducción de un virus o una bacteria, velocidad con la que crece una planta, tasa de reproducción de un ganado, productividad de las semillas, etc.

La aplicación es muy semejante a las áreas que ya se trabajaron, ya que todos los ejemplos y casos mencionados tiene en común, analizar el comportamiento de «algo» con el paso de cierto tiempo.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. El peso de un recién nacido es de 3.300 kg, midió 49 cm y tiene actualmente 25 días de nacido. Su peso al día de hoy es de 4.200 kg y mide 54 cm. De continuar creciendo en la misma proporción que tuvo durante sus primeros 27 días de haber nacido hasta cumplir los 18 años, ¿Cuánto pesaría y cuánto mediría?

Más adelante…

De toda operación financiera los derechos y obligaciones del acreedor como del deudor, deben ser iguales, a lo largo de la duración de la transacción. La idea de plantear ecuaciones es para garantizar que haya equidad entre ambas partes involucradas. En el siguiente tema se establecerá el concepto de ecuación de valor, y será el principal objeto de estudio.

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Introducción

La forma en que se acumula el dinero, tiene dos formas de abordarse, una de ellas es la que se define como tasa efectiva de interés, que tiene que ver con la siguiente expresión: $\frac{(M-K)}{K}.$

y la otra, que considera la proporción de los intereses devengados en relación con el monto, es decir, la tasa de descuento, la cual se denota por: $\frac{(M-K)}{M}.$

De dicha expresión se presenta un nuevo modelo, el de descuento compuesto.

Construcción del modelo de descuento compuesto

En temas anteriores se han abordado fenómenos de acumulación, cuando la tasa de interés incrementa un capital inicial después de haber transcurrido cierto tiempo. De dicho fenómeno se estableció la siguiente expresión:

$$M=K(1+i)^t.$$

Sí suponemos un sólo periodo, la expresión queda: $M=K(1+i).$

Despejando $i$ de dicha expresión, se obtiene: $i=\frac{M-K}{K}.$

En ésa última expresión, nos dice la proporción o el cambio que tendrá un capital, luego de haber transcurrido una unidad de tiempo. En esta sección se construirá un modelo que parte de una tasa o proporción que se aplicará al monto $M$, para obtener el capital invertido $K$, a dicha tasa será llamada tasa efectiva de descuento, misma que será denotada por la letra $d$ y representada por la siguiente expresión:

$$d=\frac{M-K}{M}.$$

Es importante señalar que la tasa de interés, se obtiene como la proporción de los intereses ganados en relación con el capital, mientras que una tasa de descuento parte de la proporción de los intereses en relación al monto.

La siguiente gráfica nos da una representación de éste fenómeno:

Partiendo de la ecuación $d=\frac{M-K}{M}$, se va a construir este nuevo modelo. De esta manera se tiene:

$$dM=M-K$$
$$dM-M=-K$$
$$-dM+M=K$$
$$K=M-dM.$$

Por último factorizando $M$, se obtiene:

$$K=M(1-d)$$

donde:
$K=$Capital inicial
$M=$Monto
$d=$Tasa de descuento
$D=Md=$Descuento total

Ésta nueva expresión permitirá calcular el capital inicial $K$, quitándole una proporción al monto $M$, ésa proporción es la que va a ser determinada por la tasa de descuento $d$. Otro dato importante que es necesario resaltar es el que el descuento obtenido $D$, se resta al monto para obtener el capital, expresado de la siguiente forma:

$$K=M-dM=M-D.$$

Las reglas con las que opera este modelo de tasa de descuento son las mismas que opera el modelo de interés compuesto, sobre todo en lo que se refiere a la temporalidad de las tasas y su relación con los periodos que involucran a la variable $t$.

Para construir el modelo generalizado para $t$ períodos, es necesario usar las siguientes expresiones:

$M=K(1+i)^t$, $M=K(1+i)$, $K=M(1-d).$

Despejando $M$ de la última expresión, se tiene: $M=K(1-d)^{-1}$
Como las expresiones:

$$M=K(1-d)^{-1}=K(1+i)=K(1-d)^{-1}=K(1+i)$$

$$(1-d)^{-1}=(1+i).$$

Luego, se eleva a la potencia $t$ ambos miembros de la igualdad, para obtener:
$(1+i)^t=(1-d)^{-t}.$
Multiplicando por $K$ toda la expresión: $K(1+i)^t=K(1-d)^{-t}=M.$
Donde se obtiene justamente la expresión generalizada que se estaba buscando, la cual es:

$$M=K(1-d)^{-t}.$$

Las reglas que debe cumplir, son las mismas que se establecieron para el modelo de interés compuesto.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Una persona adquirió una deuda hace tiempo, garantizando su pago firmando un pagaré, y el día de hoy desea liquidar. El acreedor le maneja una tasa de descuento por pago anticipado del 8.5% efectivo anual, calcular el valor presente de dicho pagaré, el cual tiene un valor de \$10,000 y cuya fecha de vencimiento es dentro de 9 meses.

Acumulación y valor presente

Para establecer la relación que hay entre una tasa de interés y una tasa de descuento, se partirá de las siguientes expresiones:

$M=K(1+i)=K(1-d)^{-1}$

dividiendo entre $K$ se tiene: $(1+i)=(1-d)^{-1}$

luego elevando a la potencia $-1$ resulta: $(1-d)=\frac{1}{1+i}$

despejando $d$ se tiene: $d=1-\frac{1}{1+i}$
buscamos un común denominador, con el que se obtiene:
\begin{align*}
d&=\frac{1+i-1}{1+i}\\
&d=\frac{i}{1+i}\\
\end{align*}

Observe que $v=\frac{1}{1+i}$ luego entonces se tiene:
$d=iv.$
Expresión que nos indica que la tasa de descuento es también vista como el valor presente de la tasa de interés.

Ejercicio. Una persona desea invertir $\$100$ a una tasa del $6.5\%$ efectiva anual. Calcular el monto, calcular el valor presente de ésos intereses y comprobar que la tasa resultante es la tasa de descuento.

Ejercicio. Usando el mismo ejemplo, calcular para dos años.

Tasas nominales de descuento

Recordando un poco lo que se ha estado trabajando, una tasa efectiva de descuento por periodo se aplica al monto, luego de haber transcurrido cierto número de periodos $t$, con la finalidad de obtener el capital inicial $K$. Para ésta sección se trabajará con una tasa nominal de descuento denotada por $d^{(m)}$, la cual se caracteriza por ser dividida entre $m$, lo que implica que se descuenta $m$ veces al año, con la misma intención para obtener el capital inicial $K$.

Como se puede apreciar, el comportamiento de las tasas de descuento es análogo al de las tasas nominales de interés, con la diferencia que ésta es descontable $m$ al año. Por lo anterior, se va a estar usando el siguiente modelo:

$$K=M\left(1-\frac{d^{(m)}}{m}\right)^m.$$

En la siguiente gráfica se muestra el comportamiento de ésta expresión.

Es importante señalar que, cuando las tasas nominales de descuento, adquieren los siguientes valores:

$d^{(0)}$= no está definido
$d^{(1)}$= es una tasa de descuento efectiva anual
$d^{(\infty)}$=$\delta$ se trata de una tasa de descuento instantánea

Análogamente aplica lo anterior para las tasas de interés.

La relación que tiene las tasas efectivas de descuento con las tasas nominales de descuento, se describen a través de la siguiente expresión:

$$K=M(1-d)^t=M\left(1-\frac{d^{(m)}}{m}\right)^{mt}.$$

Ejercicios resueltos

Calcule el valor presente de un pagaré con un valor de \$8000 y vencimiento dentro de 3 años 3 meses, entrando en vigencia el día de hoy, con una tasa nominal de descuento pagadera semestralmente del 10%, para el primer año, y del 12% nominal de descuento convertible mensualmente que aplicara para el segundo año, y del 7% nominal de descuento pagadero diariamente para el resto del plazo.

Relación entre las tasas de interés y tasas de descuento

El fenómeno que se ha estudiado, es la forma en que un capital inicial se va transformando con el paso del tiempo a una cierta tasa de interés, de esta forma fue desarrollado el modelo $M=K(1+i)^t$, del cual se desprende el modelo para calcular la tasa de interés: $I=\frac{M-K}{K}.$

Cuando la relación se toma con el monto en vez del capital, se obtiene el concepto de tasa de descuento, el cual es denotado por: $d=\frac{M-K}{M}$, del cual se obtiene el modelo análogo pero con tasa de descuento, el cual es representado por: $M=K(1-d)^{-t}.$

Como se puede observar, los modelos que se han estado usando, parten todos del modelo original, ahora se va a estudiar la relación que existe entre las tasas de interés y las tasas de descuento.

Partiendo de las siguientes expresiones:

$M=K(1+i)^t=K(1-d)^{-t}.$

Ahora representado, pero con tasas nominales:

$M=K\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{mt}=K\left(1-\frac{d^{(m)}}{m}\right)^{-mt}.$

Por lo expuesto anteriormente, se puede construir la siguiente tabla:

Más adelante…

Se abordarán la aplicación de éstos modelos a otras disciplinas, se mostrará cómo los modelos que se han trabajado, también pueden describir fenómenos naturales, biológicos, demográficos, etc.

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Introducción

En muchos lugares del mundo ocurre el siguiente fenómeno: el día de hoy puedo comprar 10 productos, sin embargo, dentro de un año, por ejemplo, sólo me alcanza para comprar sólo 9 de esos mismo productos, esto se debe a diversas causas, sin embargo; el hecho innegable es que con el mismo dinero que se tenía un año atrás, al año siguiente con la misma cantidad ya no alcanza a comprar los mismos productos. A esto es a lo que se le conoce como inflación. Al incrementarse los precios de bienes y servicios, trae como consecuencia que ya no se puede adquirir las mismas cantidades de antes con los mismos recursos económicos, dicha situación se puede exhibe el cómo de cierta forma el dinero pierde valor, justamente ésta es la primera consecuencia que tiene el fenómeno de la inflación, la pérdida del poder adquisitivo o poder de compra de las personas.

Inflación

El concepto de inflación tiene una estrecha relación con el modelo de interés compuesto que se ha estado trabajando, y esto se debe a que, por un lado, se tiene a un inversionista que decide poner su dinero en un banco, para que éste luego de un tiempo pactado, le pague una determinada cantidad de intereses, de rendimientos, sin embargo; si dentro del país en que se lleva a cabo dicha operación, hubo algún fenómeno de inflación, por consiguiente, en cierta forma, no va a poder ganar los intereses generados, en otras palabras, al capital que le otorguen junto con los intereses o rendimientos, hay que quitarle cierto porcentaje que corresponde a la inflación, que se calcula con una tasa de inflación. En los casos que se han estado estudiando, hay un supuesto que no se ha considerado, el cual es que todos los cálculos que se han realizado, se han obtenido del supuesto de una tasa de inflación igual a cero.

En nuestro país, ésa tasa de inflación es un crecimiento generalizado de los precios, se calcula a partir de una «canasta» de bienes y servicios, que representan el consumo de los habitantes. Dentro de estos bienes y servicios, están contenidos alimentos, artículos electrodomésticos, autos, y en los servicios se consideran por ejemplo el transporte, consumo de luz, servicios de salud, educación, actividades de esparcimiento, etc. La institución encargada de realizar y llevar el control de ésta tasa de referencia, es el Banco de México y las calcula los días 15 y último del mes. A la variación porcentual de ésta tasa se le conoce también como índice de precios al consumidor o tasa de inflación. Por lo anterior, es importante señalar que dicha tasa se establece como un porcentaje que aplica durante un cierto periodo de tiempo.

De manera general, esto es una primera impresión que se tiene acerca del comportamiento de la tasa de inflación y algunos ejemplo del porqué afecta nuestro modelo de interés compuesto, así como la forma de resolver las necesidades económicas de cada persona, al disminuir su poder de compra o poder adquisitivo.

Relación de inflación y tasas reales de interés

Se define como tasa de interés real al costo real de un préstamo al descontar la inflación. De tal manera, si tenemos una inflación alta implica que la tasa de interés que se obtiene por realizar un préstamo disminuye. Eso perjudica a las personas que prestan dichos recursos, aunque beneficia a las personas a quienes fueron beneficiadas por dichos créditos.

Es común que en cualquier país, en algún momento, los precios de las mercancías , bienes o servicios se incrementen por diferentes razones, lo cual implica que ya no podemos podemos adquirir las mismas cantidades de ganancias con el mismo dinero; por decirlo de alguna forma, el dinero pierde su valor. Cabe hacer mención que no es el propósito de este material desarrollar las diferentes causas por las cuales sucede dicho fenómeno. Pero es pertinente hacer mención de como se comporta un tasa de inflación cualquiera y su relación con la tasa real de interés.

A continuación se desarrolla el modelo para obtener una tasa de inflación cualquiera, que se denotara como $f$, el valor del dinero como $V_r$ , un periodo de observación quedará expresado de la siguiente forma:

$V_r =V(1-d)$

Donde $V$ representa el valor nominal del dinero y $d$ se calcula, recordando que $d=iv$, como:

$d=f\frac{1}{1+f}=\frac{f}{1+f}$

Si se sustituye el valor de $d$ en la ecuación $V_r$ se tiene:

$V_r = V(1-\frac{f}{1+f})=V(\frac{1}{1+f})$

Lo cual se convierte en:

$$V_r =\frac{V}{1+f}$$

El procedimiento para encontrar el valor del dinero, cuando se tiene el efecto de la inflación se aplica también, para calcular la tasa de interés real que un inversionista o ahorrador está obteniendo.

Supongamos que nos encontramos a principios del año 2022, y que en el año 2021 se tuvo una tasa de inflación del 9.4%. En dicho año un prestamista obtuvo una tasa de interés efectiva anual del 18.4%. Lo anterior implica que los precios y servicios aumentaron un 9.4%, luego entonces el dinero del prestamista perdió su valor y disminuyo su poder adquisitivo a causa de la inflación. Por lo anterior la tasa real de interés que ganó el prestamista no es 18.4%, es menor. De forma intuitiva se puede inferir que la tasa real que gano el prestamista es la que resulta de restar la tasa nominal, con la tasa de inflación:

$$18.4\% – 9.4\% =9.0\%$$

Lo cual es la diferencia aritmética, sin embargo, dicho resultado no es el correcto. La tasa real se calcula siguiendo un razonamiento similar al que se acaba de mencionar para la tasa de inflación.

Sea $f$ la tasa de inflación, $i$ la tasa nominal de interés, $g$ la tasa real. Consideraremos a las 3 tasas efectivas por periodo.

Supongamos que el prestamista presto un capital de un peso, entonces el modelo quedaría como sigue:

$M= 1.00(1+0.184)=1.184$

Tomando en cuenta los datos del ejemplo anterior, donde se maneja una tasa del 9.4% correspondiente a la inflación, entonces el monto real $M_r$ es de:

$M_r =\frac{1.184}{1+0.094}=1.0822$

Dicha cantidad que se acaba de obtener es la tasa real de interés y se denotara como $i$, la cual corresponde al 8.22%, porcentaje que se puede obtener a partir de la definición de tasa efectiva de interés, que esta dada por:

$$i_r =\frac{M_r -K}{K}=\frac{1.0822-1.00}{1.00}=0.0822$$

Ejercicios resueltos

Suponiendo que la inflación de México fue del 8.4%, lo cual significa que los precios se elevaron 8.4% del 1 enero al 31 de diciembre del ése año, veamos los siguientes ejercicios:

La canasta de bienes y servicios al consumidor a nivel nacional, al día 30 de mayo, adquirió un precio de $\$2547$, y luego de haber transcurrido 15 días obtuvo un precio de $\$2597$.

Otro ejemplo, si se tiene un capital de $\$300$ al día 30 de Mayo, y la inflación al 15 de junio es de $d=0.0980748\%$, el valor real del dinero sería obtenida realizando el siguiente cálculo:

Más adelante

Se hará uso de este concepto para poder obtener la tasa real de interés, la cual es interpretada como la tasa de interés que nos dice el verdadero rendimiento que se tuvo en una inversión, porque como ya se vio en este tema, la inflación afecta de forma general los rendimientos que una inversión puede dar, ya que al final de la operación hay que realizar alguna resta entre los montos obtenidos para obtener éste resultado, situación que será analizada a detalle más adelante.

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