Introducción

Una vez analizado los temas de Razón Cruzada e Involución, es hora de realizar unos ejercicios que se dejaran a continuación, todo con el objetivo de practicar y fortalecer el tema visto.

Ejercicios

1.- Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos distintos en una recta, analice las razones cruzadas $\{ABCB\}$, $\{ABCA\}$ y $\{ABCC\}$.

2.- Demuestre el Teorema de Desargües, referente a triángulos en perspectiva en propiedades de razón cruzada.

3.- Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos colineales, encuentre $D$ talque $\{BACD\}=\{ABCD\}$.

4.- Muestre que la razón cruzada de cuatro puntos en una recta, es igual a la razón cruzada de sus polares con respecto a cualquier circunferencia.

5.- Demuestre el Teorema de la Mariposa. Si se trazan dos cuerdas $EF$ y $CD$, por el punto medio $M$ de una cuerda, $AB$ de una circunferencia, y si $DE$ y $CF$ intersecan a $AB$ en $G$ y $H$ respectivamente, entonces $M$ es el punto medio de $GH$.

6.- Sean seis puntos colineales con un punto $O$ en una recta se corresponden en pares $A,A’,B,B’,C,C’$, y si $OA \bullet OA’ = OB \bullet OB’ =OC \bullet OC’ $, demuestra que $\{AA’BC\}= \{A’AB’C\}$.

7.- Demuestre que el conjugado del centro de una involución de puntos es el punto ideal de la base.

8.- Sean seis pares de puntos en involución $A,A’,B,B’,C$ y $C’$, y si $D$ y $D’$ son dos puntos en la recta tal que $\{A’B’C’D’\}=\{ABCD\}$, entonces $D$ y $D’$ también son un par conjugado de la involución.

9.- Sea un punto $X$ cualquiera fuera de una circunferencia, si se trazan tres rectas que la corten en los pares de puntos $A,A’,B,B’,C,C’$ respectivamente y si unimos estos puntos a cualquier otro punto de la circunferencia, por demostrar que el haz así obtenido está en involución.

10.- Demostrar el Teorema. Dado un cuadrángulo completo, sus tres pares de lados opuestos son intersecados por cualquier transversal que no pasa por un vértice en tres pares de puntos conjugados de una involución.

Más adelante…

La siguiente unidad abarca varios temas interesantes.

Entradas relacionadas

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• Entrada anterior del curso: Haces de líneas en Involución
• Siguiente entrada del curso: Construcciones con regla o compas

Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$

$$f(x, y) = \frac{y}{x} $$

Queremos saber:

• ¿En qué puntos $f$ tiene límite?
• ¿En qué puntos $f$ no tiene límite?
• ¿Cómo es la gráfica de $f$ ?

Analicemos diferentes cortes para poder responder estas preguntas.

1. Cortes paralelos al plano $yz$

$x = x_0$ constante.

$$f(x_0, y) = \dfrac{y}{x_0}$$

Corte especial para $x = 0$

para $x = x_0 = 0$

$$f(0, y) = 0$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $x_0$.

https://www.geogebra.org/classic/vaquauek

2. Cortes con el plano $x=1$

$z=f(1, y) = \dfrac{y}{1}$

https://www.geogebra.org/classic/mt9rgkzj

3. Cortes paralelos al plano $xz$

$y = y_0$ constante.

$$f(x, y_0) = \frac{y_0}{x}$$

Corte especial para $y=0$

para $y=y_0=0$

$$f(x, 0) =0$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $y_0$.

https://www.geogebra.org/classic/cmppwys

Sea $\alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ una curva parametrizada por longitu de arco. Y supongamos ${\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \neq \vec{0}.$

Sea $P =\alpha (s_0)$ y $Q = \alpha (s_1).$

Sea $m$ la mediatriz de $PQ$ y $n$ la recta normal a la curva en el punto $\alpha (s_0)$, la ecuación de $n$ es de la forma:

$$t \longrightarrow \overrightarrow{\alpha}(s_0) + t \, \overrightarrow{N}(s_0)$$

donde $\overrightarrow{N}(s_0) = \dfrac{{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) }{\big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \big\|}.$

Afirmación:

Cuando $s_1$ tiende a $s_0$ la recta $m$ se aproxima a la recta $n.$

$Q = \alpha (s_1) = (x(s_1), y(s_1))$

$P = \alpha (s_0) = (x(s_0), y(s_0))$

$R = $ punto medio $PQ = \Bigg(\dfrac{x(s_0)\, + \, x(s_1)}{2}, \dfrac{y(s_0)\, + \, y(s_1)}{2}\Bigg)$

Vector de dirección de $m $ ortogonal a $PQ$

$$PQ = \Big( – \, y(s_1)\, – \, y(s_0), x(s_1)\, – \, x(s_0) \Big)$$

La ecuación de $m$ es

$$ \Bigg( x \, – \, \dfrac{x(s_0)\, + \, x(s_1)}{2}, y \, – \, \dfrac{y(s_0)\, + \, y(s_1)}{2}\Bigg) \cdot \Bigg( x(s_1) \, – \, x(s_0), y(s_1) \, – \, y(s_0) \Bigg) = 0$$

Fijamos $s_0$ y dividimos todo entre $s_1 \, – \, s_0$

$$ \Bigg( x \, – \, \dfrac{x(s_0)\, + \ x(s_1)}{2}, y \, – \, \dfrac{y(s_0)\, + \, y(s_1)}{2}\Bigg) \cdot \Bigg( \dfrac{x(s_1) \, – \, x(s_0)}{s_1 \, – \, s_0}, \dfrac{y(s_1) \, – \, y(s_0)}{s_1 \, – \, s_0} \Bigg) = 0$$

Haciendo $s_1 \longrightarrow s_0$

$$\big(x \, – \, x(s_0), y \, – \, y(s_0) \big) \cdot \big(x'(s_0), y'(s_0) \big) = 0$$

donde esta última es la ecuación de $n.$

(1) Restringimos la búsqueda del centro de la circunferencia osculatriz a puntos en la recta normal a la curva en el punto $P = \alpha (s_0).$

Ecuación paramétrica de dicha recta

$$\big\{ \big(x(s_0), y(s_0) \big) + t \big( \, – \, y’ (s_0) , x’ (s_0) \big) \big| t \in \mathbb{R} \big\}$$

Buscamos un valor de $t$ en especial. $t^*$ tal que está en la intersección de las dos rectas normales y es de la forma

$$\big(x(s_0), y(s_0) \big) + t^* \big( \, – \, y’ (s_0) , x’ (s_0) \big) = \big(x(s_1), y(s_1) \big) + t^* \big( \, – \, y’ (s_1) , x’ (s_1) \big)$$

Veamos que pasa cuando $Q \rightarrow P$ es decir, cuando $s_1 \rightarrow s_0$

$ \big(x(s_0), y(s_0) \big) = P$ fijo.

$\big( \, – \, y’ (s_0) , x’ (s_0) \big)$ fijo.

solo varía $t$

¿Qué podemos decir de $t^*$ cuando $s_1 \rightarrow s_0$

Para responder a esta pregunta usamos la ecuación anterior para tener una expresión más «amigable» de $t^*.$

Tratamos de despejar $t^*$ en función de $s_0$ y $s_1.$

(2) Despejar $t^*$

$$ t^* \big( \, – \, y’ (s_0) , x’ (s_0) \big) \, – \, t^* \big( \, – \, y’ (s_1) , x’ (s_1) \big) = \big(x(s_1), y(s_1) \big) \, – \, \big( x(s_0), y(s_0) \big) $$

$$ t^* \Bigg(\dfrac{y’ (s_1) \, – \, y’ (s_0)}{s_1 \, – \, s_0}\Bigg) , \Bigg( \dfrac{(x’ (s_0) \, – \, x’ (s_1)}{s_1 \, – \, s_0}\Bigg) = \dfrac{(x(s_1) \, – \, x(s_0))}{s_1 \, – \, s_0} \, – \, \dfrac{(y(s_1) \, – \, y(s_0))}{s_1 \, – \, s_0} $$

Tomando el límite cuando $s_1 \longrightarrow s_0$, obtenemos que:

$\hat{t} ({y}^{\prime \prime} (s_0), – \, {x}^{\prime \prime} (s_0)) = \big(x’ (s_0), {y \, }’ (s_0) \big)$

Multiplicando por $ \big( {x}^{\prime} (s_0), {y}^{\prime} (s_0) \big)$

$$ \hat{t} \big(x’ (s_0) {y}^{\prime \prime} (s_0) \, – \, {y}^{\prime} (s_0) {x}^{\prime \prime} (s_0) \big) = 1$$

Por lo tanto

$$ \hat{t} = \dfrac{1}{ \big( x’ (s_0) {y}^{\prime \prime} (s_0) \, – \, {y}^{\prime} (s_0) {x}^{\prime \prime} (s_0) \big) }$$

es el radio de la circunferencia osculatriz.

Sin pérdida de generalidad; si la curva está parametrizada de tal forma que ${\alpha}^{\prime \prime} (s_0) = \big({x}^{\prime \prime} (s_0), {y}^{\prime \prime} (s_0) \big) = \mathcal{K}(s_0) \big(\, – \, {y}^{\prime} (s_0) , {x}^{\prime} (s_0) \big)$ con $\mathcal{K} (s_0) > 0.$

En tal caso, $\big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \big\| = \mathcal{K} (s_0)$ es la curvatura.

$\Biggr|\begin{matrix} {x}^{\prime} (s_0) & {x}^{\prime \prime} (s_0) \\ {y}^{\prime} (s_0) & {y}^{\prime \prime} (s_0) \end{matrix} \Biggr| = {x}^{\prime} {y}^{\prime \prime} \, – \ {y}^{\prime} {x}^{\prime \prime} = \dfrac{1}{\mathcal{K}}$

Sean:

$ \alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$

$ \beta : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$

dos curvas tales que:

$\alpha (t_0) = \beta (t_0) = \vec{x_0}$;

${\alpha}’ (t_0) \neq \vec{0}$ y

${\beta}’ (t_0) \neq \vec{0}.$

Definimos el ángulo entre las curvas como el ángulo entre los vectores tangentes ${\alpha}’ (t_0)$ y ${\beta}’ (t_0)$

$$ \cos \theta = \dfrac{{\alpha}’ (t_0) \cdot {\beta}’ (t_0)}{ \|{\alpha}’ (t_0)\| \|{\beta}’ (t_0)\|}$$

En el siguiente enlace puedes observar un ejemplo.

https://www.geogebra.org/classic/dwafdmgt

Longitud de arco

Sea $ \alpha : [a, b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ continua.

Para cada partición del $[a, b]$, $t_0 = a < t_1 < t_2 < \dots < t_n = b$, podemos calcular los puntos $\alpha (t_i).$

Más aún, podemos calcular las longitudes de los segmentos de recta que unen puntos consecutivos de la partición y sumarlos, $$\sum\limits_{i = 1}^n \| \alpha (t_i) – \alpha (t_{i – 1}) \| = \mathcal{L} (C) $$

$\mathcal{L} (C)$ es la longitud de una trayectoria poligonal inscrita en una curva $C.$

Definimos la longitud de arco de $\alpha$ desde $\vec{p} = \alpha (a)$ hasta $\vec{q} = \alpha (b)$ como el supremo del conjunto de números

$$\left\{ \sum\limits_{i = 1}^n \| \alpha (t_i) – \alpha (t_{i – 1}) \|; t_0 = a < t_1 < t_2 < \dots < t_n = b\right\}$$

$$\mathcal{L}(\alpha) := sup \{ \mathcal{L}(C) \}$$

Observación:

ésta definición se extiende a espacios métricos $(\mathcal{X}, d)$, con

$ \alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{X}$

$$ \mathcal{L}(C)= \sum\limits_{i = 1}^n d \left( \alpha (t_{i-1}), \alpha (t_i) \right)$$

$$\mathcal{L}(\alpha) := sup \{ \mathcal{L}(C) \}$$

Curvas parametrizadas

Sea $$ \alpha (t) = (x(t), y(t), z(t))$$ una curva, donde $t$ es el tiempo y $(x(t), y(t), z(t))$ la posición en el espacio.

Es decir, para cada $t$ tenemos que:

$$t \longrightarrow (x(t), y(t), z(t))$$

Y la curva representa el camino que describe.

La derivada de $\alpha (t)$ está dada por:

$$ {\alpha}’ (t) = ({x}'(t), {y}'(t), {z}'(t))$$

$${\alpha}’ (t) = \lim_{\Delta t \to \infty} \dfrac{(\alpha (t_0 \, – \, \Delta t) \, – \, \alpha (t_0))}{\Delta t} $$

Y representa la velocidad instantánea.

La rapidez es $\|{\alpha}’ (t) \|.$

Además, la aceleración instantánea está dada por $${\alpha}^{\prime \prime} (t)$$

Movimiento rectilíneo uniforme

Dado el punto $\vec{p_0} (x_0, y_0, z_0)$ que representa la posición inicial.

El vector velocidad constante, está dado por $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3).$

Por lo que, la curva que representa el camino que se describe es: $$ \alpha (t) = \vec{p_0} + \vec{v}(t)$$ $$ \alpha (t) = (x_0, y_0, z_0) +t(v_1, v_2, v_3)$$ $$ \alpha (t) = (x_0 + t v_1, y_0 + t v_2, z_0 + t v_3)$$

La ecuación de la recta tangente es: $$\beta (t) = \alpha (t_0) + t {\alpha}’ (t_0)$$

Existe una recta tangente si ${\alpha}’ (t_0) \neq \vec{0}$.

Si ${\alpha}’ (t_0) = \vec{0}$, estamos diciendo que la velocidad es $0$, es decir, no se mueve, y por tanto $\alpha (t) = \vec{p_0}$ para toda $t.$

Los puntos donde ${\alpha}’ (t_0) = 0$ son excepcionales.

https://www.geogebra.org/classic/spwzzvcr