Por Mariana Perez
Dado el punto $P(r, \theta, z) $, en coordenadas cilíndricas, las ecuaciones que permiten hacer la transformación a coordenadas rectangulares son:
$$x = r \cos \theta$$ $$y = r \sin \theta$$ $$ z = z$$
Por lo que el punto $P$, en coordenadas rectangulares, queda dado por la expresión:
$$P = (x, y, z ) = ( r \cos \theta, r \sin \theta, z )$$
En el siguiente enlace puedes observar una animación del cambio de coordenadas.
Por Mariana Perez
La función $f : \mathbb{R}^2 \setminus \big\{ (x, y) \big| x \neq 0 \big\} \longrightarrow \mathbb{R}$
Dada por $f(x, y) = \frac{y}{x}$
$$f \, \circ \, T(r,\theta) = f \big( T(r, \theta) \big)$$
$$f \, \circ \, T (r, \theta) = f \big(r \cos \theta, r \sin \theta \big)$$
$$f \, \circ \, T (r, \theta) = \frac{ r \sin \theta}{ r \cos \theta}$$
$$f \, \circ \, T (r, \theta) = \tan \theta$$
https://www.geogebra.org/classic/exswze2h
${}$
En el otro ejemplo $g : \mathbb{R}^2 \setminus \big\{ (0, 0) \big\} \longrightarrow \mathbb{R}$ $$g(x, y) = \frac{2xy}{x^2+y^2}$$
$$g \, \circ \, T(r,\theta) = g \big( T (r, \theta) \big)$$
$$g \, \circ \, T (r, \theta) = g \big(r \cos \theta, r \sin \theta \big)$$
$$g \, \circ \, T (r, \theta) = \frac{ 2 r \cos \theta r \sin \theta}{ (r \cos \theta)^2+(r \sin \theta)^2}$$
$$g \, \circ \, T (r, \theta) = \frac{ 2 r^2 \cos \theta \sin \theta}{ r^2}$$
$$g \, \circ \, T (r, \theta) = \sin (2 \theta)$$
En el siguiente enlace puedes observar una animación del cambio de coordenadas.
Por Mariana Perez
Teorema: $F$ es cerrado $\iff \partial F \subseteq F$.
Teorema: $F$ es cerrado $\iff F = \overline{F \,}.$
Demostración:
[$\Leftarrow$] Supongamos que $F = \overline{F \,}$
[por demostrar: $F^c$ es abierto]
Sea $x \in F^c$. Sabemos que $\mathbb{R}^n =$ int $F \; \cup$ ext $F \cup \partial F$ y además sabemos que un punto no pude pertenecer a dos de estos conjuntos.
Entonces, tenemos que $x \notin F$ porque de estarlo $x \in F$. (CONTRADICCIÓN)
Además $x \notin \partial F$ porque si $x \in \partial F \Longrightarrow x \in \overline{F \,} = F$. (CONTRADICIÓN)
Por lo que la única posibilidad es que $x \in$ ext $F$.
Luego, existe una bola contenida en el $F^c$ entonces $x$ es punto interior de $F^c \Longrightarrow F^c$ es abierto.
[$\Rightarrow$] Supongamos que $F^c$ es abierto.
$\big[$ por demostrar: $F = \overline{F \,} \, \big]$
Sabemos que siempre ocurre que $F \subseteq \overline{F \,}$.
$\big[$por demostrar: $\overline{F \,} \subseteq F \big] $
Sea $x \in \overline{F \,} = F \cup \partial F.$
Caso 1) $x \in F$ $\checkmark$
Caso 2) $x \in \partial F$ $\big[ $por demostrar: $x \in F \big]$
Supongamos que $x \notin F$ entonces $x \in F^c$, como $F^c$ es abierto, existe una bola $B_r(x) \subseteq F^c$ entonces en esa bola no hay puntos de $F$. (CONTRADICCIÓN)
$\therefore x \in F$
$\therefore F = \overline{F \,}$ $_\blacksquare$
Proposición: Sea $\mathcal{A} \subseteq \mathbb{R}^n$ entonces $\partial \mathcal{A} = \partial \mathcal{A}^c$.
Demostración:
Sea $x \in \partial \mathcal{A}$ $$\iff \forall r > 0 \; B_r(x) \cap \mathcal{A} \neq \emptyset$$ y también $$B_r(x) \cap \mathcal{A}^c \neq \emptyset$$ $$\forall x \in \partial \mathcal{A}^c \; \; _{\blacksquare}$$
Observación:
1) int $\mathcal{A}$ es abierto.
Demostración:
int $\mathcal{A}$ es abierto $\iff$ int ( int $\mathcal{A}$) ) = int $\mathcal{A}$.
Sabemos que int ( int $\mathcal{A}$) ) $\subseteq$ int $\mathcal{A}$. $\checkmark$
$\big[$ por demostrar: int $\mathcal{A}$ $\subseteq$ int $\big($ int $\big($ $\mathcal{A} \big) \big) \big]$
Sea $\mathcal{B} =$ int $\mathcal{A}$
$\big[$ por demostrar: $\mathcal{B} \subseteq$ int $\mathcal{B} \big]$
Sea $b \in \mathcal{B} =$ int $\mathcal{A}$
entonces $\exists B_r (b) \subseteq \mathcal{A}$.
Sea $x \in B_r (b)$
entonces $\exists \, B_{{r }’} (x) \subseteq B_r (b) \subseteq \mathcal{A}$.
Luego $x$ es punto interior de $\mathcal{A}$, por lo que $x \in \mathcal{B}$. Entonces $b$ es punto interior de $\mathcal{B}$ $$\therefore \mathcal{B} \subseteq \text{int} \mathcal{B}.\; \; _\blacksquare$$
2) $\overline{F \,}$ es cerrado.
Demostración:
Sea $E = \overline{F \,}$
$\big[$ por demostrar: $E$ es cerrado $\big]$
$\big[$ por demostrar: $E = \overline{E \,}$ $\big]$
$\big[$ por demostrar: $\partial E \subseteq E$ $\big]$
Sea $x \in \partial E$
$\forall \; r > 0$ $B_r (x) \cap E \neq \emptyset $ y $B_r (x) \cap E^c \neq \emptyset $.
$\big[$ por demostrar: $x \in E$ $\big]$
Si no fuera así, $x \in E^c =$ ext $F$ ya que $\mathbb{R}^n =$ int $F \cup \partial F \cup$ ext $F$. Pero int $F \cup \partial F = \overline{F \,}$, por lo que $\mathbb{R}^n = \overline{F \,} \; \cup$ ext $F$, lo que es lo mismo que $\mathbb{R}^n = E \; \cup$ ext $F$.
Luego, $\exists \, B_r (x)$ en la cual todos los puntos están en $F^c$. Allí no hay ningún punto de $E$, ya que $E = F \cup \partial F$.
Si hubiera un $w \in \partial F$, $w \in B_r (x)$ entonces $\exists \; r’ > 0$ tal que $B_{{r}’} (w) \subset B_r (x) \subset F^c$.
Por lo que $w$ no puede ser punto frontera de $F$ pues tiene una vecindad contenida en $F^c$. Luego $B_r (x) \cap E = \emptyset$. (CONTRADICCIÓN)
Entonces para cualquier $\mathcal{A} \subseteq \mathbb{R}^n$ se tiene que int $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{A} \subseteq \overline{\mathcal{A} \,}$. $_{\blacksquare}$
Proposición: $\emptyset$ es abierto y cerrado.
Demostración:
int $\emptyset \subseteq \emptyset \Longrightarrow$ int $\emptyset = \emptyset.$
$$\therefore \emptyset \text{ es abierto}$$
Además, $\partial \emptyset = \emptyset$ y también $\emptyset = \emptyset \; \cup \partial \emptyset = \overline{\emptyset}.$ $$\therefore \emptyset \text{ es cerrado. } \; _{\blacksquare}$$
Observación: $\mathbb{R}^n$ es abierto y cerrado.
Proposición: Sea $\mathcal{T}$ la familia de todos los abiertos de $\mathbb{R}^n$ tiene tres propiedades especiales:
1) $\emptyset \in \mathcal{T}$, $\mathbb{R}^n \in \mathcal{T},$
2) la unión arbitraria de abiertos es abierta,
3) la intersección finita de abiertos es abierta.
Luego, $(X, \mathcal{T})$ es un espacio topológico si $\mathcal{T}$ tiene estas tres propiedades.
$(\mathbb{R}^n, \mathcal{T})$ es un espacio topológico.
Esto pasa para cualquier espacio métrico $(X, d)$ y la que hemos definido sería la topología inducida por la métrica. $(X, \mathcal{T}_d )$
Demostración:
1) se cumple. $\checkmark$
2) Sea $\{\mathcal{A}_i \}_{i \in I} $ una familia de abiertos.
$\mathcal{A}_i \in \mathcal{T} \; \; \forall i \in I$. Además $\mathcal{A}_i \subseteq \mathbb{R}^n \; \; \forall i \in I.$
$\big[$ por demostrar: $\bigcup\limits_{i \in I}\mathcal{A}_i$ es abierta $\big]$
$\big[$ por demostrar: $\bigcup\limits_{i \in I}\mathcal{A}_i \in \mathcal{T} \big]$
Sea $x \in \bigcup\limits_{i \in I}\mathcal{A}_i \iff x \in \mathcal{A}_i$ para algún $i \in I$ pero como $\mathcal{A}_i$ es abierto, $\exists \, B_r (x) \subseteq \mathcal{A}_i \subseteq \bigcup\limits_{j \in I}\mathcal{A}_j$
3) Sean $\mathcal{A}_1, \; \mathcal{A}_2,\; \dotsc,\; \mathcal{A}_n \in \mathcal{T}$ abiertos.
$\big[$ por demostrar: $\bigcap\limits_{i=1}^{n} \mathcal{A}_i \in \mathcal{T}$ es abierta $\big]$
Sea $x \in \mathcal{A}_1\bigcap\limits \mathcal{A}_2 \bigcap\limits \dotsc \bigcap\limits \mathcal{A}_n$.
Dado que $x \in \mathcal{A}_1$ y como $\mathcal{A}_1$ es abierto, $\exists \; r_1\; >\; 0$ tal que $B_{r_1}(x) \subseteq \mathcal{A}_1.$
De igual manera $x \in \mathcal{A}_2$ y como $\mathcal{A}_2$ es abierto, $\exists \; r_2\; >\; 0$ tal que $B_{r_2}(x) \subseteq \mathcal{A}_2.$
Y así sucesivamente hasta el último conjunto, de modo que, como
$x \in \mathcal{A}_n$ y como $\mathcal{A}_n$ es abierto, $\exists \; r_n\; >\; 0$ tal que $B_{r_n}(x) \subseteq \mathcal{A}_n.$
Sea $\varepsilon = \text{mín} \{r_1, r_2, \dotsc, r_n\}$ tenemos que para $\varepsilon > 0, \; B_{\varepsilon} (x) \subseteq \mathcal{A}_i \; \; \forall \; i=1, 2, \dotsc , n$, por lo que $B_{\varepsilon} (x) \subseteq \bigcap\limits_{i=1}^{n} \mathcal{A}_i.$ $_{\blacksquare}$
$\mathcal{T}$ recibe el nombre de Topología.
Tarea moral
Usando las leyes de De Morgan, muestra que los cerrados tienen estas tres propiedades:
- 1) $\emptyset \in \mathcal{T}$, $\mathbb{R}^n \in \mathcal{T},$
- 2) la unión finita de cerrados es cerrada,
- 3) la intersección arbitraria de cerrados es cerrada.
Por Mariana Perez
Definiciones: Sea $\big( X, d \big)$ un espacio métrico; en nuestro curso consideramos el espacio métrico$\big( \mathbb{R}^n, \| \; \|_2 \big)$:
Decimos que un punto $x$ es un punto de adherencia de un conjunto $A$ si cualquier vecindad (bola abierta) suya contiene al menos un punto de $A$. $$\forall \; r > 0, B_r (x) \cap A \neq \emptyset$$
El conjunto de puntos de acumulación de $A$ se denota por $A^{\prime}$.
Decimos que $x$ es un punto de acumulación de un conjunto $A$ si para todo $r > 0$ la bola perforada con centro en $x$ y radio $r$ contiene elementos de $A$. $$\mathring{B}_r (x) \cap A \neq \emptyset$$
El conjunto de los puntos de adherencia de $A$ se denota por $\big[ A \big]$.
Observación 1: Todo punto de acumulación de $A$ es un punto de adherencia de $A$.
Sea $x$ punto de acumulación de $A$, entonces $\forall \; r > 0 $ se tiene que $$\mathring{B}_r (x) \cap A \neq \emptyset \Longrightarrow B_r (x) \cap A \neq \emptyset$$
En consecuencia $A^{\prime} \subseteq \big[ A \big] \; _\blacksquare$.
Observación 2: Si $a$ es un punto aislado de $A$, $a$ es punto de adherencia de $A$ que NO es punto de acumulación de $A$.
¿Cuál es la diferencia entre $\overline{A}$ y $\big[ A \big]$?
Por Mariana Perez
Recordemos, en $\mathbb{R}$, sea $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de números reales, es decir una función $$x : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}.$$
Notación: $$x (1) = x_1$$ $$x (2) = x_2$$ $$x (3) = x_3$$ $$\vdots$$
Geométricamente, puntos en la recta $\mathbb{R}$.
Ejemplo: sucesión $\big\{ \frac{1}{n} \big\}$ para $n \in \mathbb{N}$.
https://www.geogebra.org/m/gwet39b2
En $\mathbb{R}^2$; una sucesión de puntos en $\mathbb{R}^2$ es una función $$\vec{x} : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}^2$$
Notación: $$\vec{x}(1) = \overrightarrow{x_1} = (x_1, y_1)$$ $$\vec{x}(2) = \overrightarrow{x_2} = (x_2, y_2)$$ $$\vec{x}(3) = \overrightarrow{x_3} = (x_3, y_3)$$ $$\vdots$$
Geométricamente, vectores en el plano.
https://www.geogebra.org/classic/jyzgsg63
Decimos que un número $L \in \mathbb{R}$ es el límite de la sucesión $\{x_n\}_{n \, \in \mathbb{N}}$, si $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}$ tal que para toda $n > N$ se cumple que $\big|x_n – L \big| < \epsilon$.
Decimos que $\overrightarrow{L} \in \mathbb{R}^2$ es el límite de la sucesión $\Big\{\overrightarrow{x_n}\Big\}_{n \, \in \mathbb{N}}$, si $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall n > N$ se cumple que $\Big\| \overrightarrow{x_n} – \overrightarrow{L} \Big\| < \epsilon.$
Teorema: Si una sucesión tiene dos límites $\overrightarrow{L_1}$ y $\overrightarrow{L_2}$ entonces $\overrightarrow{L_1} = \overrightarrow{L_2}.$
Demostración:
Sea $\Big\{\overrightarrow{x_n} \Big\}_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión en $\mathbb{R}^2$ supongamos que tiene dos límites $\overrightarrow{L_1} \neq \overrightarrow{L_2}.$
Sea $\epsilon_0 = \frac{\overrightarrow{L_1}-\overrightarrow{L_2}}{2}$.
Como $\overrightarrow{L_1}$ es límite entonces a partir de un momento $N_1$ todos los $\overrightarrow{x_n} \in B_{\epsilon_0} \Big( \overrightarrow{L_1} \Big).$
De igual modo, $\overrightarrow{L_2}$ es límite entonces a partir de un momento $N_2$ todos los $\overrightarrow{x_n} \in B_{\epsilon_0} \Big( \overrightarrow{L_2} \Big).$ (CONTRADICCIÓN) ya que todas las bolas son ajenas.
$$\therefore \; \overrightarrow{L_1} = \overrightarrow{L_2} \; _{\blacksquare}$$
Teorema: Sea $\Big\{ \Big( \overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \Big\}_{n\, \in \mathbb{N}}$ una sucesión de puntos en $\mathbb{R}^2$. Esta sucesión converge a un punto $\Big( \overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big)$ si y sólo si los límites de las coordenadas convergen. Es decir, $$\Big\{\overrightarrow{x_n} \Big\}_{n\, \in \mathbb{N}} \longrightarrow \overrightarrow{L}$$ $$\Big\{\overrightarrow{y_n} \Big\}_{n\, \in \mathbb{N}} \longrightarrow \overrightarrow{M}$$
Demostración:
[$\Rightarrow$] Si $\Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \longrightarrow \Big(\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big)$ entonces $$\overrightarrow{x_n} \longrightarrow \overrightarrow{L}$$ $$\overrightarrow{y_n} \longrightarrow \overrightarrow{M}$$
$\big[$ por demostrar: $\big\{\overrightarrow{x_n}\big\} \longrightarrow \overrightarrow{L} \; \big]$
Sea $\epsilon > 0.$
$\exists \, N > 0$ tal que $n \geq N \Rightarrow \Big|\overrightarrow{x_n} – \overrightarrow{L} \Big| < \epsilon$.
Como $\Big\{ \Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \Big\} \longrightarrow \Big(\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big)$ para $\epsilon > 0$ dada existe $n \geq Ñ \Rightarrow \Big\| \Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \, – \, \Big( \overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big) \Big\| < \epsilon$ entonces $$\sqrt{ \Big( \overrightarrow{x_n} – \overrightarrow{L} \Big)^2 + \Big( \overrightarrow{y_n} – \overrightarrow{M} \Big)^2 \, } < \epsilon$$ $$\Big| \overrightarrow{x_n} \, – \, \overrightarrow{L} \Big| \leq \sqrt{\Big(\overrightarrow{x_n} \, – \, \overrightarrow{L} \Big)^2+ \Big(\overrightarrow{y_n} \, – \, \overrightarrow{M}\Big)^2 \, } < \epsilon$$ $$\Rightarrow \Big|\overrightarrow{x_n} \, – \, \overrightarrow{L} \Big| < \epsilon$$
Entonces $N =$ Ñ sirve.
Análogamente la sucesión de $\Big\{\overrightarrow{y_n} \Big\}_{n \, \in \mathbb{N}} \longrightarrow \overrightarrow{M}$.
[$\Leftarrow$] Si las sucesiones $\Big\{\overrightarrow{x_n} \Big\} \Longrightarrow \overrightarrow{L}$ y $\Big\{\overrightarrow{y_n}\Big\} \Longrightarrow \overrightarrow{M}$ entonces la sucesión $\Big\{ \Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \Big\}_{n\, \in \mathbb{N}} \longrightarrow \Big(\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big)$.
Sea $\epsilon > 0$
$\big[$ por demostrar: existe $N$ tal que si $n > N$ entonces $\Big\| \Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n}\Big) \, – \, \Big(\overrightarrow{L}, \overrightarrow{M} \Big) \Big\| < \epsilon \big]$
Dada la circunferencia $\big(x-L\big)^2+\big(y-M\big)^2=\epsilon^2$, queremos saber cuales son las coordenadas del cuadrado con lados paralelos a los ejes coordenados que está inscrito en la circunferencia.
Como $\Big\{\overrightarrow{x_n}\Big\} \longrightarrow \overrightarrow{L}$ para $\delta = \frac{\epsilon}{\sqrt{2}}$ existe $N_1$ tal que $n \geq N_1 \rightarrow \Big|\overrightarrow{x_n} \, – \, \overrightarrow{L} \Big| < \delta$…..$(1)$
Como $\Big\{\overrightarrow{y_n} \Big\} \Longrightarrow \overrightarrow{M}$ para $\delta = \frac{\epsilon}{\sqrt{2}}$ existe $N_2$ tal que $n \geq N_2 \rightarrow \Big|\overrightarrow{y_n} \, – \, \overrightarrow{M}\Big| < \delta$…..$(2)$
Por $(1)$ y $(2)$, para $n \geq máx \big\{N_1, N_2 \big\}$ tenemos que $$\Big|\overrightarrow{x_n} \, – \, \overrightarrow{L}\Big| < \delta \wedge \Big|\overrightarrow{y_n} \, – \, \overrightarrow{M}\Big| < \delta \Longrightarrow \Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big) \text{ está en el cuadrado con vértices} \Big(\overrightarrow{L}\pm \delta , \overrightarrow{M} \pm \delta \Big)$$
Entonces $\Big(\overrightarrow{x_n}, \overrightarrow{y_n} \Big)$ está en el círculo.$_{\blacksquare}$