Proposición: Toda sucesión acotada en $\mathbb{R}^N$ tiene alguna subsucesión convergente.

Demostración:

Sea $\big\{ \vec{x}_n \big\}_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión acotada en $\mathbb{R}^N$.

La imagen de la sucesión está contenida en una caja rectangular cerrada suficientemente grande.

Podemos dividir en dos cada lado de la caja y obtener un número finito de subcajas.

En al menos una de las subcajas está una infinidad de términos de la sucesión.

Podemos construir una «sucesión de cajas» anidadas $$C_1 \supseteq C_2 \supseteq \dots $$

Todos los lados tiende a «cero» en cuanto a su longitud, y siempre elijo la que contiene una infinidad de puntos.

La intersección de otra infinidad de cajas consiste de un punto $\vec{L} \in \mathbb{R}^n.$

La sucesión del teorema se obtiene eligiendo un término de la sucesión original en cada término de la sucesión de cajas $\big\{ \vec{x}_{n_k} \big\}_{k \in \mathbb{N}} \Longrightarrow \vec{L}.$ $_{\blacksquare}$

Proposición: La imagen de un compacto bajo una función continua es un conjunto compacto.

Demostración:

Sea $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \Longrightarrow \mathbb{R}^m$ continua en $A.$

Sea $B \subseteq A$ compacto.

$\big[$ por demostrar: $f(B)$ es compacto.$\big]$

Recordemos que $f(B) = \big\{ f(\vec{x}) \in \mathbb{R}^m \big| \vec{x} \in B \big\}$

Basta demostrar que $f(B)$ es cerrado y acotado.

1.$f(B)$ es acotado.

Supongamos que $f(B)$ no fuera acotado.

Para toda $M > 0$, existe algún $\vec{y} \in f(B)$ donde $\vec{y} = f(\vec{x}) , \; \vec{x} \in B$ tal que $\big\| \vec{y} \big\| > M$

Tomemos $M = n \in \mathbb{N}$ entonces $\vec{y} = \vec{y}_n = f(\vec{x}_n)$ para algún $\vec{x}_n \in B$

Tenemos una sucesión $\big\{ \vec{x}_n \big\}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq B$ pero $B$ está acotada entonces, $\big\{ \vec{x}_n \big\}_{n \in \mathbb{N}}$ es acotada entonces, tiene una subsucesión convergente. $$\big\{ \vec{x}_n \big\}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow \vec{L} \in B$$, con $B$ cerrado.

Pero $f$ es continua entonces, $\big\{ f(\vec{x}_{n_k})\big\}_{k \in \mathbb{N}} \longrightarrow f(\vec{L})$ $$\big\| f(\vec{x}_{n_k}) \big\| \longrightarrow \big\| f(\vec{L}) \big\| \in \mathbb{R}$$ fijo, finito. (CONTRADICCIÓN)

Por lo tanto $f(B)$ es acotada.

2.$f(B)$ es cerrado.

Basta demostrar que si $\vec{y}$ es punto de acumulación de $f(B)$ entonces, $\vec{y} \in f(B)$, es decir, existe $\vec{x} \in B$ tal que $\vec{y}= f(\vec{x})$

Para cada $N$ consideramos la $B_{\frac{1}{n}} (\vec{y}).$

Entonces, existe $\vec{y}_n \in f(B)$ tal que $\vec{y}_n \in B_{\frac{1}{n}}(\vec{y})$

Como $\vec{y}_n \in f(B) \Longrightarrow \exists \, \vec{x}_n \in B$ tal que $\vec{y}_n = f(\vec{x}_n)$ entonces $\vec{y}_n \in f(B).$

Formamos una sucesión acotada $\big\{ \vec{x}_n \big\}_{n \in \mathbb{N}}$ que tiene una subsucesión convergente.

$\big\{ \vec{x}_{n_k} \big\}_{k \in \mathbb{N}} \longrightarrow \vec{L} \in B$ porque $B$ es cerrado.

Como $f$ es continua $\big\{ f(\vec{x}_{n_k}) \big\}_{k \in \mathbb{N}} \longrightarrow f(\vec{L}) = \vec{y}$

Existe $\vec{x} = \vec{L} \in B $ tal que $ \vec{y} = f(\vec{x})$ $_{\blacksquare}$

Corolario: Si $f : K \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ es continua, y $K$ es compacto entonces, $f$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo en $K.$

Demostración:

Sea $f(K)$ compacto $\subseteq \mathbb{R} $, acotado y no vacío.

Existe el supremo, el ínfimo, y $f(K)$ es cerrado.

Sea $a = ínf \, f(K) \Rightarrow a \in f(K) \Rightarrow \exists \, \alpha \in K $ tal que $ f(\alpha) = a .$

$b = sup \, f(K) \Rightarrow b \in f(K) \Rightarrow \exists \, \beta \in K $ tal que $ f(\beta) = b .$

Luego, $a = f(\alpha) \leq f(\vec{x}) \leq f(\beta) = b$ , $\forall \, \vec{x} \in K.$ $_{\blacksquare}$

Sea $K \subseteq \mathbb{R}^n$, $K$ es compacto si y solo si $K$ es cerrado y acotado.

(*) Compacto $\Longrightarrow $ cerrado y acotado. (proposición anterior).

Ahora probamos (**) Cerrado y acotado $\Longrightarrow $ compacto.

Siguiendo el texto de Spivak, la demostración consistirá de los siguientes pasos:

(1) El intervalo cerrado $[a, b] \in \mathbb{R} $ es compacto.

(2) Si $x \in \mathbb{R}^n , \, B\subseteq \mathbb{R}^m , \, B$ compacto; entonces $ \{x\} \times B $ es compacto.

(3) Más aún: Para toda cubierta abierta de $\{x\} \times B$ existe un abierto $U\subseteq \mathbb{R}^n$ tal que $x \in U$ y $U \times B$ es cubierto por un número finito de elementos de la cubierta dada.

(4) Si $A \subset \mathbb{R}^n$ y $B \subset \mathbb{R}^m$ son compactos entonces $A \times B \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ es compacto.

(5) Si $A_1, A_2, \dots , A_k $ son compactos, entonces $A_1 \times A_2 \times \dots , A_k$ es compacto.

(6) Todo conjunto cerrado y acotado en $\mathbb{R}^n$ es compacto.

Demostración:

(1) $[a, b] \subset \mathbb{R} $ es compacto. (con la topología usual)

$\big[$ por demostrar: para toda cubierta abierta $\big\{U_{\lambda} \big\}_{\lambda \in \Lambda}$ de $[a, b]$ existe una subcubierta finita $\big]$

Sea $\mathcal{O} = \big\{ U_{\lambda} \big\}_{\lambda \in \Lambda}$ una cubierta abierta de $[a, b].$

Sea $A = \big\{ x \in [a, b] \mid [a, x] $ es cubierto por un número finito de elementos de $\mathcal{O} \big\}$

$\big[$ por demostrar: $A = [a, b]$ $\big]$

$\big[$ por demostrar: $b \in A$ $\big]$

Sea $\alpha = sup A$

¿Cómo sabemos que existe $\alpha$?

$A$ es acotado.

$A \neq \emptyset $ pues $a \in A$, $[ a, a] \{a\}$, $a \in U_{\lambda}$ para alguna $\lambda \in \Lambda$

$\big[$ por demostrar: $\alpha = b$ y $A$ es cerrado $\big]$

Observación: $\alpha > a $

$a \in U_{\lambda}$ para algún $\lambda$, como $U_{\lambda}$ es abierto entonces existe $( a-\epsilon, a + \epsilon) \subseteq U_{\lambda}$

Tomamos $x =\frac{a+\epsilon}{2}$

$[ a, x] \subseteq ( a-\epsilon, a + \epsilon) \subseteq U_{\lambda} $

$[ a, x]$ se puede cubrir con un número finito de elementos de $\mathcal{O}.$

$x \in A$

$x > a$

$\alpha = sup A \geq x > a$

$\therefore \alpha \in (a, b] $

Afirmación: Si $x \in (a, \alpha)$ entonces $x \in A.$

Razón: $\alpha$ es el supremo de $A.$

CASO 1: $\alpha \in A$, $[ a, \alpha] \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_n \Rightarrow [ a, x] \subseteq [ a, \alpha]$

CASO 2: $\alpha \neq A \Rightarrow \forall \, \epsilon > 0 , \exists \, \tilde{x} \in A $ tal que $\alpha – \epsilon < \tilde{x} \leq \alpha + \epsilon$

En particular, para $\epsilon = \frac{ \alpha – x }{2}$ $$ x < \tilde{x} \leq \alpha$$

$$[ a, x] \subseteq [ a, \tilde{x}] \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots , U_m$$

$\therefore x \in A$

Afirmación: $\alpha \in A$

Supongamos que $\alpha \notin A$

Regresamos al CASO 2.

Sabemos que $ \alpha \in [ a, b]$

$$ \alpha \in U_{\mu} \text{ para alguna } \mu \in \Lambda$$

$$ \tilde{x} < \alpha , \; \; \tilde{x} \in A$$

Entonces $[ a, \tilde{x}] \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_n \Longrightarrow [ \tilde{x}, \alpha] \subseteq U_{\mu}$ $$[ a, \alpha] \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_n \cup U_{\mu}$$ $$\therefore \alpha \in A$$

$\big[$ por demostrar: $\alpha = b$ $\big]$

Supongamos que $ \alpha \neq b$, entonces

$ \alpha \in U_{\mu} $ para alguna $U_{\mu} \in \mathcal{O}$ entonces, existe $x’ \in ( \alpha, b) $ con $ x’ \in U_{\mu}$

entonces como $\alpha \in A$

$[ a, \alpha] \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_n$

$[ \alpha, x’] \subseteq U_{\mu}$

$[ \alpha, x’] \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_n \cup U_{\mu}$

por lo que $x’ > \alpha = sup A$ y $x’ \in A$ (CONTRADICCIÓN)

entonces, $ \alpha = b$ pero como $ \alpha \in A$ entonces $b \in A$

$[ a, b] = U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_n$

$\therefore [ a, b]$ es compacto.

(2) Si $x \in \mathbb{R}^n , \, B\subseteq \mathbb{R}^m , \, B$ compacto;

entonces $ \{x\} \times B $ es compacto.

$\{x\} \times B \subseteq \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$

Sea $\mathcal{O} =\big\{ U_{\lambda} \big\}_{\lambda \in \Lambda}$ una cubierta abierta de $\{x\} \times B.$

$U_{\lambda} \subseteq \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ abierto.

Plan: construir una cubierta abierta de $B \subseteq \mathbb{R}^m $ para usar que $B$ es compacto.

Sea $y \in B$

$(x, y) \in \{x\} \times B$

$(x, y) \in U_{\lambda}$ para algún $U_{\lambda} \in \mathcal{O}$

Consideramos $U_{\lambda} \cap H_x $ donde $ H_x \subseteq \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m $ y $ ( a, b) \in H_x \iff a = x \; $; $H_x$ es un hiperplano.

$U_{\lambda} \cap H_x = \{x\} \times V_{\lambda} $ para algún $ V_{\lambda} \subseteq \mathbb{R}^m$

Entonces $U_{\lambda}$ es abierto en $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ entonces $U_{\lambda}$ es abierto en $\mathbb{R}^m$

$\big\{ V_{\lambda} \big\}_{\lambda \in \Lambda}$ es una cubierta abierta de $B \subset \mathbb{R}^m$ pero $B$ es compacto, entonces existe un número finito tal que $$B \subseteq V_1 \cup V_2 \cup \dots \cup V_s$$ $$\{x\} \times B \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_s$$

Entonces $\{x\} \times B$ es compacto.

(3) Más aún: Para cada cubierta abierta de $\{x\} \times B$ existe un abierto $U\subseteq \mathbb{R}^n$ tal que $U \times B$ se puede cubrir con un número finito de los elementos de la cubierta abierta.

$$\mathcal{O} = \big\{ U_{\lambda} \big\}_{\lambda \in \Lambda}$$

Hipótesis:

* Cada $U_{\lambda} \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ es abierto.

* $\{x\} \times B \subseteq \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda}$

Sabemos que $\{x\} \times B$ es compacto, entonces existe $U_1, U_2, \dots , U_s \in \mathcal{O}$ tales que $$ \{x\} \times B \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_s $$

Para cada $y \in B$ el punto $(x, y) \in U_i $ para alguna $i.$

Entonces $(x, y) \in A_y \times B_y \subseteq U_i $ para cada caja abierta, $ A_y \times B_y \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m $ con $ A_y \subset \mathbb{R}^n $ y $ B_y \subset \mathbb{R}^m.$

$\big\{ B_y \big\}_{y \in B}$ es una cubierta abierta de $B$ compacto entonces, existe una subcubierta finita.

Así, todo $(x,y) \in A_i \times B_i$ para algún $i = 1, 2, \dots, n$

Sea $U = A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_r $ abierto.

$ U \times B \subset U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_s$

Sea $(x,y) \in U \times B $ entonces $x \in A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_r$

$$ \Longrightarrow (x, y) \in A_i \times B_i \subseteq U_i $$ $$\Longrightarrow (x, y) \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_s$$

(4) Si $A \subset \mathbb{R}^n$ y $B \subset \mathbb{R}^m$ son compactos entonces $A \times B \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$ es compacto.

$\big[$ por demostrar: $A \times B$ es compacto. $\big]$

Demos una cubierta abierta de $A \times B.$

Para cada $\vec{x} \in A$ existe una abierto $U_x \subset \mathbb{R}^n$ tal que $$ U_x \times B$$ puede ser cubierto con un número finito de elementos de la cubierta de $A \times B$, esto es por el inciso (2).

Entonces $\big\{ U_x \big\}_{x \in A}$ es una cubierta abierta de $A$, pero como A es compacto entonces, existe una subcubierta finita de $A.$

Es decir, existen $U_1, U_2, \dots, U_k$, abiertos, subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ tales que $A \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_k$

$$ A\times B \subseteq \big( U_1 \times B \big) \cup \big( U_2 \times B \big) \cup \dots \cup \big( U_k \times B \big)$$

Sea $\big\{ W_{\lambda} \big\}_{\lambda \in \Lambda}$

$U_1 \subset W_{{\lambda}_{1,1}} \cup W_{{\lambda}_{1,2}} \cup \dots \cup W_{{\lambda}_{1,n}}$

$U_2 \subset W_{{\lambda}_{2,1}} \cup W_{{\lambda}_{2,2}} \cup \dots \cup W_{{\lambda}_{2,n}}$

$\vdots$

$U_k \subset W_{{\lambda}_{k,1}} \cup W_{{\lambda}_{k,2}} \cup \dots \cup W_{{\lambda}_{k,n}}$

$A \times B \subseteq \bigcup W_{i,n_i}$ unión finita de abiertos.

$$W_{i,n_i} \in \big\{ W_{\lambda} \big\}$$

$$\therefore A \times B \text{ es compacto}$$

(5) Sea $A_k = \big[ a_k, b_k \big]$ compacto.

En particular $\big[ a_1, b_1 \big] \times \big[ a_2, b_2 \big] \times \dots \times \big[ a_n, b_n \big]$ es compacto.

(6) Sea $K$ un conjunto cerrado y acotado en $\mathbb{R}^n.$

Sea $\mathcal{O}$ una cubierta abierta $\big\{ U_{\lambda} \big\}_{\lambda \in \Lambda}$ de $K.$

$\big[$ por demostrar: existe una subcubierta finita $\big\{ U_1, U_2, \dots, U_m \big\}$ tal que $K\subset U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_m\, $ $\big]$

Existe una caja $\mathcal{C} = \big[ a_1, b_1 \big] \times \dots \times \big[ a_n, b_n \big]$ rectangular que contiene a $K.$

Sea $\tilde{\mathcal{O}} = \mathcal{O} \cup \big\{ \mathbb{R}^n \setminus K \big\}$

Como la caja es cerrada, $\mathbb{R}^n \setminus K$ es abierto, por lo que $\tilde{\mathcal{O}}$ es una cubierta abierta de la caja $\mathcal{C}$; pero $\mathcal{C}$ es compacta, entonces existe una subcubierta finita de $\tilde{\mathcal{O}}$

$U_1, U_2 , \dots , U_m$ y quizas $\mathbb{R}^n \setminus K$ que cubre a $\mathcal{C}$, entonces $\mathcal{C} \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_m \cup \big( \mathbb{R}^n \setminus K \big)$

• Si $\big( \mathbb{R}^n \setminus K \big)$ no es necesaria, ya acabamos, pues $$K \subseteq \mathcal{C} \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_m$$ por lo que $\big\{ U_1, U_2 , \dots , U_m \big\}$ sería subcubierta de $\mathcal{O}$ que cubre a $K.$
• Sin embargo, esta no es el caso.

También $K \subseteq U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_m.$

Sea $x \in K \subseteq \mathcal{C}$ entonces $x \in U_i$ para algún $i=1, 2, \dots, m$ o $x \in \mathbb{R}^n \setminus K$, este último no se da.

Entonces $x \in U_1 \cup U_2 \cup \dots \cup U_m.$

Por todo lo anterior, se concluye que para $K \subseteq \mathbb{R}^n$, $K$ es compacto si y solo si $K$ es cerrado y acotado.

Motivación: para funciones $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ un teorema importante es que dada $f \big|_{[a, b]} \longrightarrow \mathbb{R}$, y $f$ continua, entonces $f$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo.

La generalización es, si $f$ es continua, $f : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}; f \big|_K$ con $ K $ compacto, entonces $f$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo.

Definición: Sea $K \subseteq \mathbb{R}^n$.

Decimos que una familia de abiertos $\big\{ A_{\lambda} \big\}_{\lambda \in \Lambda}$ es una cubierta abierta de $K$ si $$K \subseteq \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$$

Decimos que $K$ es compacto si toda cubierta abierta de $K$ tiene una subcubierta finita. Existe $\{ A_1, A_2, …, A_n\} $ con $ A_i \in \big\{ A_{\lambda} \big\}_{\lambda \in \Lambda}.$ $$K \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^n A_i$$

Proposición: Todo conjunto compacto es cerrado y acotado.

Demostración:

Sea $K$ un conjunto compacto.

$\big[$ (a) por demostrar: $K$ es cerrado, es decir $K = \overline{K} = K \cup \partial K \big]$

Basta demostrar que $ \partial K \subseteq K. $

Supongamos que existe $\vec{L} \in \partial K $ tal que $\vec{L} \neq K. $

Como $\vec{L} \in \partial K $ en toda vecindad perforada de $\vec{L} $ existen elementos de $K.$

Consideremos la siguiente cubierta abierta de $K.$

$A_1 = \big\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n \big| \, \|\vec{x} \, – \, \vec{L} \| > 1 \big\}$

$A_2 = \big\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n \big| \, \|\vec{x} \, – \, \vec{L} \| > \frac{1}{2} \big\}$

$\vdots$

$A_i = \big\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n \big| \, \|\vec{x} \, – \, \vec{L} \| > \frac{1}{i} \big\}$

$\{A_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ es una cubierta abierta de $K.$

$$K \subseteq \bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} A_i = \mathbb{R}^n \setminus \{ \vec{L}\}$$

y cada $A_i$ es abierto, por que son exteriores de un círculo.

Como $K$ es compacto existe una subcubierta finita y $K \subseteq A_{i_1} \cup A_{i_2} \cup \dots \cup A_{i_m}.$

Sea $N = máx \big\{ i_1, i_2, \dots, i_m \big\}$ por lo que $K \subseteq A_N.$

Entonces $\vec{L}$ seria un punto aislado. (CONTRADICCIÓN; pues $\vec{L}$ está en $\partial K$)

$\therefore$ $K$ es cerrado.

$\big[$ (b) por demostrar: $K$ es acotado. $\big]$

Plan: proponer una cubierta de $K$ que sea conveniente para lo que queremos demostrar.

Sea $A_m = \big\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n \big| \| x\| < m \big\}$ abiertos.

Entonces $ \bigcup\limits_{m \in \mathbb{N}} A_m = \mathbb{R}^n $ y $ K \subseteq \bigcup\limits_{m \in \mathbb{N}} A_m.$

Pero como $K$ es compacto, existe una subcubierta finita tal que $ K \subseteq A_{i_1} \cup A_{i_2} \cup \dots \cup A_{i_r}.$

Sea $M = máx \big\{ i_1, i_2, \dots, i_r \big\}.$

Luego $K \subseteq A_M = \big\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n \big| \, \| \vec{x} \| < M \big\}$

$\therefore K $ está acotado. $_{\blacksquare}$

https://www.geogebra.org/classic/sawfrk66

Consideremos la transformación de coordenadas polares $$T : (0, \infty ) \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^2 \setminus \big\{ (0, 0) \big\}$$ $$(r, \theta) \longrightarrow (x, y) = (r \cos \theta, r \sin \theta)$$

En el dominio quitamos $r = 0$ porque ahí la función no es inyectiva. Sin embargo, con este dominio, sigue sin ser inyectiva.

Vamos a ver opciones de dominio.

$A \subseteq \mathbb{R}^2$ tales que $T \big|_A$ sea inyectiva.

¿Qué hace la función inversa?

$A = (0, \infty) \times (0, 2\pi)$

La imagen de $A$ bajo $T$ es $B = \mathbb{R}^2 \setminus \big\{ (x, 0) \big| x \geq 0 \big\}$

¿Cuál es la regla de correspondencia de $T^{-1}: B \subset \mathbb{R}^2 \longrightarrow A \subset \mathbb{R}^2 \; $?

$$ (x, y) \longrightarrow (r, \theta)$$ $$ r = \sqrt{ x^2 + y^2 }$$

$\theta = \left \{ \begin{array}{lcc} \arccos \frac{x}{\sqrt{x^+y^2}} & si & y > 0 \; con \; \arccos: (-1, 1) \rightarrow (0, \pi) \\ \\ \arctan \left( \frac{y}{x} \right) & si & x < 0 \; con \; \arctan : (-\infty, \infty) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \\ \\ \arccos \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & si & y < 0 \; con \; \arccos: (-1, 1) \rightarrow (\pi, 2\pi) \end{array} \right.$

$\theta = f (x, y)$

El conjunto $B$ es abierto. Veamos que pasa si tomamos un punto en la frontera de $B$. Por ejemplo el punto $(1, 0)$. Podemos calcular límites.

$$\big\{ (x_n, y_n) \big\}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (1, 0)$$

$x_n = 1; y_n = \frac{1}{n}$

¿Existe el límite de $\big\{ \theta (x_n, y_n) \big\}_{n \in \mathbb{N}}$ ?

El $\lim_{n \rightarrow \infty} \theta( x_n, y_n) = 0.$

$\big\{ T^{-1} (x_n, y_n) \big\}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (1,0)$

$u_n = 1; v_n = \frac{-1}{n}$

¿Existe el límite de $\big\{ \theta (u_n, v_n) \big\}_{n \in \mathbb{N}}$ ?

El $\lim_{n \rightarrow \infty} \theta( u_n, v_n) = 2\pi.$

Luego no existe el $\lim_{(x,y) \rightarrow (1, 0)} T^{-1} (x, y)$

Otra opción: $A = (0, \infty) \times (-\pi, \pi)$

https://www.geogebra.org/classic/knrkr3yb

La imagen de $A$ bajo $T$ es $B = \mathbb{R}^2 \setminus \big\{ (x, 0) \big| x \leq 0 \big\} $ entonces $\theta$ queda de la siguiente manera:

$\theta = \left \{ \begin{array}{lcc} \arccos \frac{x}{\sqrt{x^+y^2}} & si & y > 0 \; con \; \arccos: (-1, 1) \rightarrow (0, \pi) \\ \\ \arctan \left( \frac{y}{x} \right) & si & x > 0 \; con \; \arctan : (-\infty, \infty) \rightarrow (\frac{- \pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \\ \\ \arccos \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & si & y < 0 \; con \; \arccos: (-1, 1) \rightarrow (-\pi, 0) \end{array} \right.$

ahora existe $\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 0)} T^{-1} (x, y)$, nótese que además ahora el punto $(1, 0)$ está en $B$, más aún $T^{-1}(1,0) = (1,0)$. Sin embargo, ahora el punto $(-1, 0)$ no está en $B$. Al elegir perdemos algunos puntos.

Otra opción es definir $B = \mathbb{R}^2 \setminus \big\{ (0, y) \big| y \geq 0 \big\}$ y $A = (0, \infty) \times (\frac{-3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

También puede ser $B = \mathbb{R}^2 \setminus \big\{ (0, y) | y \leq 0 \big\}$ y $A = (0, \infty) \times (\frac{- \pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$

https://www.geogebra.org/classic/h2wjamfs

Otra opción diferente es:

Dada $f : (0, \infty) \longrightarrow \mathbb{R}$ consideramos la gráfica de $\theta = f(r)$

$A = \big\{ (r, \theta) \big| r > 0, f(r) – \pi < \theta < f(r) + \pi \big\}$

$f(r) = r ; \; \; r = \theta $ es una espiral.

$T|_A$ es inyectiva.

$$T (r_1, \theta_1) = T (r_2, \theta_2)$$

$$r_1 = r_2$$

y $\theta$ queda bien definida.

https://www.geogebra.org/classic/havzdrbv

Ejemplo

$A = \big\{ (r, \theta) \big| r>0, \, r \, – \, \pi < \theta < r + \pi \big\}$

En la circunferencia de radio $\pi.$

$$x^2+y^2=\pi^2$$

En la circunferencia de radio $2\pi.$

$$x^2+y^2=(2\pi)^2$$

Dado el punto $P(r, \theta, \phi)$ en coordenadas esféricas, las ecuaciones que permiten realizar la transformación a coordenadas rectangulares son las siguientes:

$$ x = r \sin \phi \cos \theta$$ $$ y = r \sin \phi \sin \theta$$ $$ z = r \cos \phi$$

En el siguiente enlace puedes observar una animación de la transformación de coordenadas cartesianas a esféricas.

https://www.geogebra.org/classic/jjtaftqe