MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Anteriormente definimos los espacios $L^p$ para $p\in [1,\mathrm{\infty })$, definimos su norma y estudiamos algunas de sus propiedades analíticas más importantes. En esta entrada estudiaremos el concepto de supremo esencial y el espacio $L^{\mathrm{\infty }}$. Bajo ciertas condiciones, este último espacio se puede pensar como «un caso límite» de los espacios $L^p$, y como veremos, comparten varias de sus propiedades. También le daremos significado a nuestra convención de que el dual de Hölder de 1 sea $\mathrm{\infty }$.

Durante toda la entrada $(X,\mathcal{M},\mu )$ denotará un espacio de medida arbitrario.

Definición. Sea $f$ una función $\mathcal{M}$-medible (posiblemente definida en $\mu$-c.t.p. de $X$). Decimos que $f$ es esencialmente acotada si existe $M\in \mathbb{R}$ con $0\le M<\mathrm{\infty }$ tal que $$|f(x)|\le M$$ Para $\mu$-c.t.p. de $X$. O equivalentemente $$\mu (\{x||f(x)|>M\})=0.$$

Al igual que hicimos con los espacios $L^p$, identificaremos a las funciones que son iguales en $\mu$-c.t.p. de $X$, es decir, a lo largo de esta entrada cuando hablemos de alguna función $f$, nos referiremos implícitamente a la clase de equivalencia de funciones $\mathcal{M}$ medibles e iguales en c.t.p. a $f$.

Definición. El espacio $L^{\mathrm{\infty }}(X,\mathcal{M},\mu )$ es la colección de (clases de equivalencia) de funciones $\mathcal{M}$-medibles y esencialmente acotadas en $X$, equipado con la norma:
$${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}=inf\{M\in \mathbb{R}||f(x)|\le M\text{ en }\mu -c.t.p.\}.$$ Al número ${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ le llamaremos el supremo esencial de $f$.

Cuando el espacio sobre el que estemos trabajando sea claro, denotaremos a $L^{\mathrm{\infty }}(X,\mathcal{M},\mu )$ como $L^{\mathrm{\infty }}(X)$ o simplemente como $L^{\mathrm{\infty }}$.

No es trivial que ${\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }}$ es una norma sobre $L^{\mathrm{\infty }}$. Antes de probarlo, veamos una propiedad útil de ${\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }}$:

Proposición. Si $f\in L^{\mathrm{\infty }}$ $⟹$ $|f(x)|\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ en $\mu$-c.t.p. $x\in X$.

Demostración. Por definición de ínfimo, podemos encontrar una sucesión $\{M_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ tal que $$M_k⟶{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}$$ Y $$|f(x)|\le M_k$$ Para todo $x\in X\setminus N_k$ con $\mu (N_k)=0$.

Ahora, definiendo $$N=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{N}_k$$ Para todo $x\in X\setminus N$ tenemos que $$|f(x)|\le M_k\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$$ $$⟹|f(x)|\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Teorema. $(L^{\mathrm{\infty }}(X,\mathcal{M},\mu ),{\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }})$ es un espacio normado.

Demostración. Es inmediato de la definición que ${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}\ge 0$ y ${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}=0$ $⟺$ $|f(x)|\le 0$ en c.t.p. $x\in X$ $⟺$ $f=0$ (como clase de equivalencia).

Dadas $f,g\in L^{\mathrm{\infty }}$, por la proposición anterior $$|f(x)|\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }};|g(x)|\le {\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}$$ En $\mu$-c.t.p. $x\in X$. Por la desigualdad del triángulo se sigue entonces que $$|f(x)+g(x)|\le |f(x)|+|g(x)|\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}+{\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}$$
En $\mu$-c.t.p. $x\in X$ $$⟹{\Vert f+g\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}+{\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Como habíamos adelantado, el espacio $L^{\mathrm{\infty }}$ comparte varias propiedades con los espacios $L^p$ para $p\in [1,\mathrm{\infty })$. Veamos algunas de ellas.

Teorema (Desigualdad de Hölder). Sean $f\in L^p(X,\mathcal{M},\mu )$ y $g\in L^q(X,\mathcal{M},\mu )$ con $p,q\in [1,\mathrm{\infty }]$ conjugados de Hölder (es decir, tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ si $p,q>1$ ó $p=1,q=\mathrm{\infty }$ ó $p=\mathrm{\infty },q=1$). Entonces $fg\in L^1$ y además: $$\int |fg|\mathrm{d}\mu \le {\Vert f\Vert }_p{\Vert f\Vert }_q$$

Demostración. El caso $p,q\in [1,\mathrm{\infty })$ ya lo probamos anteriormente. Basta suponer que $f\in L^1$ y $g\in L^{\mathrm{\infty }}$, de modo que $|g|\le {\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ en c.t.p. $⟹$ $|fg|\le |f|{\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ en c.t.p. Por lo que: $$\int |fg|\mathrm{d}\mu \le (\int |f|\mathrm{d}\mu ){\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}={\Vert f\Vert }_1{\Vert g\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Proposición. $(L^{\mathrm{\infty }}(X,\mathcal{M},\mu ),{\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }})$ es un espacio de Banach.

Demostración. Sea ${f_k}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ una sucesión de Cauchy en $L^{\mathrm{\infty }}$. Redefiniendo cada una de las funciones $f_k$ en un conjunto de medida cero apropiado (¿Cuál?), podemos asumir sin pérdida de generalidad que:

• $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$ y $\mathrm{\forall }x\in X$ $$|f_k(x)|\le {\Vert f_k\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$
• $\mathrm{\forall }k,j\in \mathbb{N}$ y $\mathrm{\forall }x\in X$ $$|f_k(x)-f_j(x)|\le {\Vert f_k-f_j\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Como para cada $x\in X$ $$|f_k(x)-f_j(x)|\le {\Vert f_k-f_j\Vert }_{\mathrm{\infty }}$$ En particular la sucesión ${f_k(x)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ es de Cauchy (en $\mathbb{R}$) por lo que converge a un límite $f(x)$.

La función $f(x)$ está definida en cada punto y es medible al ser límite de funciones medibles. Veamos que de hecho $f_k⟶f$ en $L^{\mathrm{\infty }}$.

Como la sucesión $f_k$ es de Cauchy, en particular es acotada, por lo que $\mathrm{\exists }M>0$ tal que $${\Vert f_k\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le M$$ Para todo $k$. En particular $|f_k(x)|\le {\Vert f_k\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le M$ Para todo $k\in \mathbb{N}$ y para todo $x\in X$ $$⟹|f(x)|=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}|f_k(x)|\le M$$ $\mathrm{\forall }x\in X$ por lo que $f$ es (esencialmente) acotada: $f\in L^{\mathrm{\infty }}$.

Dado $\epsilon >0$, podemos encontrar un entero $N$ tal que $\mathrm{\forall }k,j>N$: $${\Vert f_k-f_j\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\epsilon$$ $$⟹|f_k(x)-f_j(x)|\le {\Vert f_k-f_j\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in X.$$ Fijando $k>N$ y haciendo tender $j\to \mathrm{\infty }$ concluimos: $$|f_k(x)-f(x)|\le \epsilon ,\mathrm{\forall }x\in X$$ $$⟹{\Vert f_k-f\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \epsilon .$$ Como lo anterior se satisface para cualquier $\epsilon >0$ concluimos que $f_k⟶f$ en $L^{\mathrm{\infty }}$.

El teorema a continuación es otra de las razones para justificar la notación ${\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }}$. Por conveniencia, dada una función $\mathcal{M}$ medible $f$ y $p\in [1,\mathrm{\infty }]$ definamos:

$${\Vert f\Vert }_p=\{\begin{array}{ll}{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}& \text{si }f\in L^p\\ \mathrm{\infty }& \text{si }f\notin L^p\end{array}$$

Teorema. Sea $f\in L^r(X,\mathcal{M},\mu )$ para algún $r<\mathrm{\infty }$. Entonces $$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert f\Vert }_p={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}$$

Nota. Aquí hay dos afirmaciones; que el límite existe y que es igual a ${\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}$.

Demostración. Primero tomemos $t$ tal que: $$0\le t<{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$ Por definición de la norma ${\Vert \cdot \Vert }_{\mathrm{\infty }}$, el conjunto $$A=x\in X||f(x)|\ge t$$ Tiene medida positiva $$\mu (A)>0.$$ Ahora:

$$\begin{array}{rl}{\Vert f\Vert }_p& ={\left({\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & \ge {\left({\int }_A|f{|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & \ge {\left({\int }_A{t}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & =(t^p\mu (A){)}^{\frac{1}{p}}\\ & =t(\mu (A){)}^{\frac{1}{p}}.\end{array}$$

Tenemos dos casos:

1. Si $0<\mu (A)<\mathrm{\infty }$ $⟹$ $\mu (A{)}^{\frac{1}{p}}⟶1$ cuando $p⟶\mathrm{\infty }$.
2. Si $\mu (A)=\mathrm{\infty }$ $⟹$ $\mu (A{)}^{\frac{1}{p}}=\mathrm{\infty }.$

Sin embargo, en ambos casos $$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{\Vert f\Vert }_p\ge t.$$

Como $t$ era arbitrario, podemos concluir que $$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{\Vert f\Vert }_p\ge {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Para la desigualdad opuesta, necesitaremos la hipótesis de que $f\in L^r$. Si $f=0$ (en c.t.p.) la desigualdad es inmediata así que supongamos que $f\ne 0$ (en c.t.p.).

Tenemos entonces $${\Vert f\Vert }_p^p={\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu ={\int }_X|f{|}^r|f{|}^{p-r}\mathrm{d}\mu \le {\Vert f\Vert }_p{\int }_X|f{|}^r\mathrm{d}\mu ={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{p-r}{\Vert f\Vert }_r^r.$$
$$⟹{\Vert f\Vert }_p\le {\Vert f\Vert }_r^{\frac{r}{p}}{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{\frac{p-r}{p}}={\Vert f\Vert }_r^{\frac{r}{p}}{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{1-\frac{r}{p}}.$$
Como ${\Vert f\Vert }_r<\mathrm{\infty }$, entonces ${\Vert f\Vert }_p^{\frac{r}{p}}<\mathrm{\infty }$. Además ${\Vert f\Vert }_r^{\frac{r}{p}}⟶1$ cuando $p⟶\mathrm{\infty }$. Así pues, tomando $lim sup$ en el estimado de arriba:

$$\begin{array}{rl}\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\Vert f\Vert }_p& \le \underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\Vert f\Vert }_r^{\frac{r}{p}}{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{1-\frac{r}{p}}\\ & \le \left(\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\Vert f\Vert }_r^{\frac{r}{p}}\right)\left(\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}^{1-\frac{r}{p}}\right)\\ & =(1)\cdot ({\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }})\\ & ={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}\end{array}$$

Juntando los dos estimados establecidos hasta ahora tenemos que:

$$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\Vert f\Vert }_p\le {\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{\Vert f\Vert }_p$$
Es decir, $$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert f\Vert }_p={\Vert f\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

Más adelante…

Estudiaremos de varias formas la relación que existe entre $L^p$ y $L^q$ cuando $p\ne q$.

Tarea moral…