MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En la entrada pasada definimos los espacios $L^p$ y vimos algunas de sus propiedades. Probamos que son espacios normados y algunas desigualdades relacionadas. En esta entrada probaremos otra propiedad analítica muy fuerte: Son espacios de Banach.

A modo de recordatorio:

Definición. Decimos que un espacio vectorial normado $(V,\Vert \cdot \Vert )$ es de Banach si es completo respecto a la métrica inducida por la norma: $d(u,v)=\Vert u-v\Vert$.

Antes de continura, veamos un Lema que simplificará los desarrollos más adelante:

Lema. Supongamos que $\{f_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\subseteq L^p$ y $f_k\ge 0$ $\mathrm{\forall }k$. Entonces: $${\Vert \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k\Vert }_p\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\Vert f_k\Vert }_p.$$

Demostración. Sea $$F_N=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k.$$

Por la desigualdad de Minkowski: $${\Vert F_N\Vert }_p\le \sum _{k=1}^N{\Vert f_k\Vert }_p\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\Vert f_k\Vert }_p.$$

Entonces, por el teorema de la convergencia monótona y la continuidad de la función $x\to x^p$ se sigue:

$$\begin{array}{rl}{\Vert \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k\Vert }_p& ={\left({\int }_X{\left|\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k\right|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & ={\left({\int }_X{\left|\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{F}_N\right|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left({\int }_X{\left|F_N\right|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{\frac{1}{p}}\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert F_N\Vert }_p\\ & \le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\Vert f_k\Vert }_p\end{array}$$

Teorema (Riesz-Fischer). Sea $(X,\mathcal{M},\mu )$ un espacio de medida y $1\le p<\mathrm{\infty }$. Entonces $(L^p(X),{\Vert f\Vert }_p)$ es de Banach.

Demostración. Consideremos una sucesión de Cauchy $\{f_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ en $L^p$ (es decir, con la métrica $d(f,g)={\Vert f-g\Vert }_p$). Al ser de Cauchy, podemos encontrar recursivamente una subsucesión ${f_{k_r}}_{r=1}^{\mathrm{\infty }}$ tal que: $${\Vert f_{k_{r+1}}-f_{k_r}\Vert }_p<\frac{1}{2^r}\mathrm{\forall }r\in \mathbb{N}.$$

Basta probar que la subsucesión ${f_{k_r}}_{r=1}^{\mathrm{\infty }}$ converge en $L^p$ (recuerda que si una subsucesión de una sucesión de Cauchy converge, entonces toda la sucesión converge al mismo límite). Por simplicidad, reenumeremos los índices y supongamos que $\{f_{k_r}{\}}_{r=1}^{\mathrm{\infty }}=\{f_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$.

Definamos $$F=|f_1|+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}-f_j|.$$
Ésta es una función $\mathcal{M}$-medible al ser una serie de funciones medibles. Por el Lema anterior tenemos que:

$$\begin{array}{rl}{\Vert F\Vert }_p& \le {\Vert f_1\Vert }_p+{\Vert \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}-f_j|\Vert }_p\\ & \le {\Vert f_1\Vert }_p+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\Vert f_{j+1}-f_j\Vert }_p\\ & \le {\Vert f_1\Vert }_p+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^j}\\ & ={\Vert f_1\Vert }_p+1\\ & <\mathrm{\infty }\end{array}$$

De modo que $\int F^p\mathrm{d}\mu =\int |F{|}^p\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }$ es integrable, en particular $F^p<\mathrm{\infty }$ en c.t.p. O equivalentemente, que $F(x)<\mathrm{\infty }$ $\mathrm{\forall }x\in X\setminus N$ con $\mu (N)=0$.

Para cualquier $x\in X\setminus N$, $F(x)=|f_1(x)|+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}(x)-f_j(x)|$ converge $⟹$ $f_1(x)+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(f_{j+1}(x)-f_j(x))$ converge absolutamente. Como la $k$-ésima suma parcial de la serie (telescópica) anterior es:

$$f_1(x)+\sum _{j=1}^k(f_{j+1}(x)-f_j(x))=f_k(x)$$

Se sigue que $$f(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x)$$

Existe para $x\in X\setminus N$. Definiendo $f=0$ sobre $N$, es fácil ver que la función es $\mathcal{M}$-medible. Como para cada $x\in X\setminus N$ (en particular, en c.t.p. de $X$).

$$f(x)=f_1(x)+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(f_{j+1}(x)-f_j(x))$$ $$⟹|f(x)-f_k(x)|=|\sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}(f_{j+1}(x)-f_j(x))|\le \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}(x)-f_j(x)|$$

(Observa que este último estimado nos dice que para $x\in X\setminus N$, $|f(x)-f_k(x)|=\le \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}(x)-f_j(x)|⟶0$ cuando $k\to \mathrm{\infty }$ al tratarse de una serie convergente, es decir, que $f_k(x)⟶f(x)$ en c.t.p. $x\in X$. Debajo enunciamos este hecho como un corolario).

De manera que:

$$\begin{array}{rl}{\Vert f-f_k\Vert }_p& \le {\Vert \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}|f_{j+1}-f_j|\Vert }_p\\ & \le \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}{\Vert f_{j+1}-f_j\Vert }_p\\ & \le \sum _{j=k}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{k-1}}\\ & =\frac{1}{2^{k-1}}<\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Por un lado anterior, tenemos por un lado que $${\Vert f-f_k\Vert }_p<\mathrm{\infty }$$ $⟹$ $(f-f_k)\in L^p$. Luego $f=(f-f_k)+f_k\in L^p$. Además $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert f-f_k\Vert }_p=0$$ Así que $f_k⟶f$ en $L^p$.

Corolario. Si una sucesión $f_k⟶f$ en $L^p$, entonces existe una subsucesión $f_{k_r}$ tal que $$\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_{k_r}(x)=f(x)$$
En c.t.p. $x\in X$.

El corolario anterior podría sugerir alguna relación entre la convergencia en $L^p$ y la convergencia en casi todo punto. Sin embargo, como veremos en los siguientes ejemplos, esto no es así:

Ejemplo. Consideremos $(\mathbb{R},\mathcal{L},\lambda )$ los reales con la medida de Lebesgue. Definamos:

$$f_k=k^2{\chi }_{(0,\frac{1}{k})}.$$

Afirmamos que esta sucesión de funciones converge en c.t.p. pero no converge en $L^p$.

En primer lugar, notemos que $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$:

$${\int }_{\mathbb{R}}|f_k{|}^p\mathrm{d}\lambda ={\int }_{\mathbb{R}}|k^2{\chi }_{(0,\frac{1}{k})}{|}^p\mathrm{d}\lambda =k^{2p}{\int }_0^{\frac{1}{k}}1\mathrm{d}\lambda =k^{2p}\left(\frac{1}{k}\right)=k^{2p-1}<\mathrm{\infty }.$$

Por lo que $f_k\in L^p$ con:

$${\Vert f_k\Vert }_p={\left({\int }_{\mathbb{R}}|f_k{|}^p\mathrm{d}\lambda \right)}^{\frac{1}{p}}=k^{2-\frac{1}{p}}<\mathrm{\infty }.$$

• Por un lado, es claro que $f_k⟶0$ puntualmente cuando $k\to \mathrm{\infty }$ (en particular converge en c.t.p. a 0).
• Si $f_k$ converge en $L^p$, su límite necesariamente debde ser 0 (en c.t.p.) por el corolario anterior, sin embargo, ${\Vert f-0\Vert }_p={\Vert f\Vert }_p=k^{2-\frac{1}{p}}⟶\mathrm{\infty }$ cuando $k\to \mathrm{\infty }$, de modo que la sucesión NO converge a ningún límite con la norma $L^p$.

Ejemplo. Consideremos ahora la medida de Lebesgue restringida en el intervalo $[0,1]$, ${\lambda }_{|[0,1]}$. Para cada $k\in \mathbb{N}$ definamos: $$f_{2^k+j}=k{\chi }_{[\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}]},j=0,1,\dots ,2^k-1.$$

[Figura]

Entonces para cada $p\in [1,\mathrm{\infty })$ $${\Vert f_{2^k+j}\Vert }_p={\left({\int }_0^1{k}^p{\chi }_{[\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}]}\mathrm{d}\lambda \right)}^{\frac{1}{p}}={\left(k^p\left(\frac{1}{2^k}\right)\right)}^{\frac{1}{p}}=k\cdot 2^{-\frac{k}{p}}⟶0.$$
Cuando $k⟶\mathrm{\infty }$.

• Entonces, tenemos por un lado que $f_{2^k+j}\in L^p$ $\mathrm{\forall }p\in [1,\mathrm{\infty })$ y además $f_{2^k+j}⟶0$ en $L^p$.
• Sin embargo, para cualquier $x\in [0,1]$, la sucesión ${f_m(x)}_{m=1}^{\mathrm{\infty }}$ diverge, pues para cualquier $N>0$, podemos encontrar $m=2^k+j>N$ tal que $x\in [\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}]$ $⟹$ $f_{2^k+j}(x)=k$ pero también algún $m^{\prime }=2^k+i$ tal que $x\notin [\frac{i}{2^k},\frac{i+1}{2^k}]$ $⟹$ $f_{2^k+j}(x)=0$, por lo que $$\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{f}_j=\mathrm{\infty }\ne 0=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{f}_j.$$ Así que la sucesión NO converge en casi todo punto.

Ejemplo. Una sucesión en $L^{p_1}\cap L^{p_2}$ puede converger en $L^{p_1}$ pero no en $L^{p_2}$. Consideremos nuevamente $(\mathbb{R},\mathcal{L},\lambda )$ y definamos:

$$f_k=k^{-1}{\chi }_{(k,2k)}.$$

De manera que $${\Vert f_k\Vert }_p={({\int }_{\mathbb{R}}(k^{-1}{\chi }_{(k,2k)}{)}^p)}^{\frac{1}{p}}=k^{-1}(k{)}^{\frac{1}{p}}=k^{-1+\frac{1}{p}}.$$

Por tanto $f_k\in L^p$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y para todo $p\in [1,\mathrm{\infty })$. Sin embargo

• $f_k⟶0$ en $L^p$ si $1<p<\mathrm{\infty }$, pues ${\Vert f_k\Vert }_p=k^{-1+\frac{1}{p}}⟶0$.
• ${\Vert f_k\Vert }_1=1$ $\mathrm{\forall }k$, por lo que $f_k$ no converge a 0 en $L^1$.

Más adelante…

Introduciremos el espacio $L^{\mathrm{\infty }}$. Un espacio importante que se puede pensar como «un caso límite de los espacios $L^p$».

Tarea moral…