Introducción

En esta entrada continuaremos nuestro estudio de las funciones medibles. Empezaremos repasando los conceptos de límite superior e inferior que serán de gran utilidad en nuestros desarrollos. Posteriormente veremos también que las funciones medibles son cerradas bajo una gran cantidad de operaciones aritméticas y de toma de límites.

Límite superior e inferior

Antes de continuar, conviene dar un breve recordatorio sobre los conceptos de límite superior e inferior de una sucesión que nos encontraremos a menudo en las siguientes entradas. A grandes rasgos, el límite inferior es el «menor punto de acumulación» que admite una sucesión; mientras que el límite superior es el «mayor punto de acumulación» que admite una sucesión. De manera precisa:

Definición. El límite inferior de una sucesión de numeros reales extendidos $\{ x_k \}_{k=1}^{\infty}$ se define como:
$$\limsup_{k\to \infty}x_k=\limsup x_k:=\lim_{k\to \infty} (\inf_{m\geq k}x_m)$$

El límite superior se define como:
$$\limsup_{k\to \infty}x_k=\limsup x_k:=\lim_{k\to \infty} (\sup_{m\geq k} x_m)$$

Observación. Ambos límites siempre existen (aunque son posiblemente infinitos) pues son límites de sucesiones monótonas crecientes y decrecientes respectivamente (a saber $\inf_{m\geq k}x_m$ y $\sup_{m\geq k}x_m$). Por esta misma razón podemos escribir: $$\limsup x_k=\inf_{j\geq 1}(\sup_{k\geq j}x_k); \ \ \ \ \ \liminf x_k=\sup_{j\geq 1}(\inf_{k\geq j}x_k).$$

Proposición. $\{ x_n\}_{n=1}^{\infty}$ converge a $x$ si y sólo si $\liminf_{k}x_k=\limsup_k x_k=x$.

Demostración. ($\impliedby$) Si $\liminf x_k=\limsup x_k = x $, entonces, por definición, las sucesiones:
$$y_k:= \inf_{m\geq k} x_m; \ \ \ \ \ z_k:= \sup_{m\geq k} x_m.$$ Convergen a $x$. Sin embargo, tenemos que:
$$y_m\leq x_m\leq z_m \ \ \ \forall m\in \mathbb{N}.$$

De donde $x_m\longrightarrow x$ cuando $m\longrightarrow \infty$. (Observa que este argumento es válido incluso cuando $x=\pm \infty$).

($\implies$) Supongamos que $\lim_{k\to \infty} x_k=x$.

Los casos $x=\pm \infty$ son sencillos. Los detalles se dejan como tarea moral. Así que supongamos que $-\infty<x<\infty$.

Por definición, dado $\varepsilon>0$ existe $N\in \mathbb{N}$ tal que: $$x-\varepsilon<x_m<x+\varepsilon \ \ \ \forall m\geq N$$

Definiendo las sucesiones $\{ y_k\}_{k=1}^{\infty} $ y $\{ z_k\}_{k=1}^{\infty} $ como en el inciso anterior, al tomar ínfimos, la condición anterior implica que:
$$x-\varepsilon\leq y_N$$ Como la sucesión $\{ y_k\}_{k=1}^{\infty} $ es monótona creciente, y por definición $y_m\leq x_m \leq x+\varepsilon$ $\forall m\geq N$, podemos concluir que:
$$x-\varepsilon\leq y_N\leq y_m < x+\varepsilon \ \ \ \forall m\geq N.$$

Como lo anterior se cumple para cualquier $\varepsilon>0$, concluimos que $y_m\longrightarrow x$ cuando $m\longrightarrow \infty$. Por un argumento similar podemos ver que $z_m\longrightarrow x$ cuando $m\longrightarrow \infty$ que es lo mismo que: $\liminf_{k}x_k=\limsup_k x_k=x$.

$\square$

Más propiedades de funciones medibles

Antes de enunciar el resultado principal de esta entrada, conviene establecer algo de notación que estaremos usando a menudo.

Notación. Si tenemos una sucesión de funciones $\{ f_k \}_{k=1}^{\infty}$, denotaremos a su límite puntual (si existe) como $\lim f_k=\lim_{k\to \infty }f_k$, que recordemos, tiene como regla $(\lim f_k) (x)=\lim_{k\to \infty} f_k(x)$ (el límite actúa punto a punto). Adoptaremos convenciones similares para $\sup$, $\inf$, $\limsup$, $\liminf$, etc. Cuando no genere mayor problema, para aligerar la notación omitiremos los subíndices $\{ k\to \infty\}$ y similares.

Proposición. Sea $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$. Sean $f,g:X\to \mathbb{R}$ funciones $\mathcal{M}$-medibles; $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$. Entonces:

1. Si $\phi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es Borel-medible, entonces $\phi\circ f$ es $\mathcal{M}$-medible.
2. Si $f\neq 0$, entonces $\frac{1}{f}$ es $\mathcal{M}$-medible.
3. Dado $0<p<\infty$, entonces $|f|^p$ es $\mathcal{M}$-medible.
4. $f+g$ es $\mathcal{M}$-medible.
5. $\alpha f$ es $\mathcal{M}$-medible.
6. $fg$ es $\mathcal{M}$-medible.
7. Si $f_k:X\to [-\infty,\infty]$ es una sucesión de funciones $\mathcal{M}$-medibles entonces cada una de las siguientes funciones es $\mathcal{M}$-medible. (en el caso de la última, condicionada a que esté bien definida).

\begin{align*}
\sup_k f_k&, \ &\inf_k f_k, \\
\limsup_{k\to \infty} f_k&, \ &\liminf_{k\to \infty} f_k, \\
\lim_{k\to \infty} f_k&
\end{align*}

Demostración.

1. Si $E\subseteq{R}$ es de Borel, entonces $\phi^{-1}(E)$ es de Borel ($\phi$ es Borel-medible), luego $(\phi \circ f)^{-1}(E)=f^{-1}(\phi^{-1}(E))\in \mathcal{M}$ ($f$ es $\mathcal{M}$-medible).
2. Definamos
   \begin{equation*}
   h(x)=
   \begin{cases}
   \frac{1}{x} & \text{si } x\neq 0 \\
   0 & \text{si } x =0
   \end{cases}
   \end{equation*}
   Es fácil verificar directamente que $h$ es Borel-medible. Como $f\neq 0$, $h\circ f=\frac{1}{f}$. Del inciso 1 se sigue que $\frac{1}{f}=h\circ f$ es $\mathcal{M}$-medible.
3. Como la función $P(x)=|x|^p$ es continua, en automático es Borel-medible. Luego, por el inciso 1, $|f|^p=P\circ f$ es $\mathcal{M}$-medible.
4. Notemos que $f(x)+g(x)<t$ $\iff$ $f(x)<t-g(x)$ $\iff$ existe $r\in \mathbb{Q}$ tal que $f(x)<r<t-g(x)$. Luego, $$\{ x \ | \ f(x)+g(x)<t \}=\bigcup_{r\in \mathbb{Q}}f^{-1}((-\infty,r))\cap g^{-1}((-\infty,t-r)).$$ Como $f,g$ son $\mathcal{M}$-medibles y $\mathcal{M}$ es $\sigma$-álgebra, se sigue que dicho conjunto pertenece a $\mathcal{M}$.
5. La función $h(x)=\alpha x$ es continua y por tanto Borel-medible. Luego, por el inciso 1, $\alpha f=h\circ f$ es $\mathcal{M}$-medible.
6. Combinando los incisos 3-5 se sigue que la función $$fg=\frac{1}{4}(f+g)^2-\frac{1}{4}(f-g)^2$$ es $\mathcal{M}$-medible.
7. Es fácil ver que $$\{x \ | \ \sup_k f_k(x)\leq t \}=\bigcap_k \{ x\ | \ f_k(x)\leq t \}. $$ Éste último conjunto pertenece a $\mathcal{M}$ (pues las $f_k$ son $\mathcal{M}$-medibles y $\mathcal{M}$ es $\sigma$-álgebra). Se sigue que $\sup f_k$ es $\mathcal{M}$-medible. Similarmente, como $$\{x \ | \ \inf_k f_k(x)\geq t \}=\bigcap_k \{ x\ | \ f_k(x)\geq t \}.$$ Se sigue que $\inf f_k$ es $\mathcal{M}$-medible.
   Por lo anterior, para cada $j\in \mathbb{N}$ la función $\sup_{k\geq j}f_k$ es $\mathcal{M}$-medible, de donde la función $$\limsup f_k =\inf_{j\geq 1}(\sup_{k\geq j} f_k).$$ Es $\mathcal{M}$-medible. Análogamente se ve que $\liminf f_k$ es $\mathcal{M}$-medible.
   Si $\lim f_k(x)$ está definida en cada punto, entonces $$\lim_{k\to \infty}f=\limsup f_k =\liminf f_k.$$ Es $\mathcal{M}$-medible.

$\square$

Como una consecuencia inmediata del último inciso tenemos que:

Corolario. Si $f,g:X\to [-\infty,\infty]$ son funciones $\mathcal{M}$-medibles, entonces $\max (f,g)$ y $\min(f,g)$ son $\mathcal{M}$-medibles.

$\square$

La siguiente definición aparecerá a menudo así que es conveniente recordarla.

Definición. Dado $a\in[-\infty,\infty]$, definimos la parte positiva y negativa de $a$ como:

\begin{equation*}
a_+=
\begin{cases}
a & \text{si } a\geq 0\\
0 & \text{si } a <0
\end{cases} \ \ \ \ ; \\
\ \ \ \ a_-=
\begin{cases}
0 & \text{si } a\geq 0 \\
-a & \text{si } a <0
\end{cases} \\
\end{equation*}

Respectivamente.

Corolario. Si $f:X\to [-\infty,\infty]$ es $\mathcal{M}$-medible, entonces la parte positiva y negativa de $f$, $f_+$ y $f_-$ son también $\mathcal{M}$-medibles.

Demostración. Simplemente notemos que $f_+(x)=\max(f(x),0)$ y $f_-(x)=\max (-f(x),0)$ y apliquemos el corolario anterior.

$\square$

Más adelante

Estudiaremos la definición de función simple: las funciones medibles «más sencillas». Veremos cómo es que aproximan a las demás funciones medibles (lo que a futuro será vital para definir la integral de Lebesgue) y definiremos su integral.

Tarea moral…

• Sea $\{x_k \}_{k=1}^{\infty}$ una sucesión de numeros extendidos. Prueba que existen subsucesiones $\{ x_{k_j}\}_{j=1}^{\infty}$ y $\{ x_{k_l} \}_{l=1}^{\infty}$ que convergen a $\limsup x_k$ y $\liminf x_k$ respectivamente. Demuestra que $\limsup x_k$ y $\liminf x_k$ son el mayor y menor número respectivamente para los que podemos encontrar subsucesiones convergentes.
• Supongamos que para cada $s\in \mathbb{R}$, $f_s:X\to [-\infty,\infty]$ es una función $\mathcal{M}$-medible dada. Supongamos además que para cada $x\in \mathbb{R}$, $\lim_{s\to \infty}f_s(x)=f(x)$ existe. Prueba que $f:X\to [-\infty,\infty]$ es una función $\mathcal{M}$-medible.
• Verifica que la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por \begin{equation*} f(x)=\begin{cases}
  \frac{1}{x} & \text{ si } x\neq 0 \\
  0 & \text{ si } x=0.
  \end{cases}\end{equation*} Es Borel medible.
• Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función diferenciable. Demuestra que $f’$ es una función Borel-medible. [SUGERENCIA: $f’$ no necesariamente es continua, pero puede ser vista como límite de funciones continuas].
• Para cada entero positivo $k$, sea $f_k:[0,1]\to [0,\infty]$ una función $\mathcal{L}_{[0,1]}$-medible no negativa. Supongamos que la sucesión $\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$ converge puntualmente a $0$. Prueba que para cada $\varepsilon>0$, existe un conjunto medible $E\subseteq [0,1]$ tal que $\lambda(E)<\varepsilon$ y $\{f_k\}_{k=1}^{\infty}$ converge uniformemente a $0$ en $[0,1]\setminus E$. [SUGERENCIA: Prueba que para cada entero positivo $m$, podemos encontrar $N>0$ tal que $\lambda(\{x\in [0,1] \ | \ f_n(x)>\frac{1}{m} \ \ \forall n\geq N \})\leq \frac{\varepsilon}{2^m}$]. Este ejercicio es un caso particular de un resultado más general: el teorema de Egorov.

Introducción

En las siguientes entradas, comenzaremos a desarrollar de lleno la noción de integral de Lebesgue. Es entonces natural pensar en los conjuntos en donde una función $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ es «aproximadamente constante», es decir, para un $a\in \mathbb{R}$ arbitrario, conjuntos de la forma $$E=\{x\in \mathbb{R}^n \ | \ a\leq f(x)<a+\varepsilon \}.$$

De forma intuitiva, la contribución del conjunto $E$ a la integral debería ser aproximadamente $a\lambda(E)$. Para que esto tenga sentido, es necesaro que el conjunto $E$ sea medible. Si lo anterior se satisface para cualquier $a\in \mathbb{R}$ y $\varepsilon>0$ diremos (provisionalmente) que la función es medible.

Antes de continuar, será muy útil permitir que $f$ tome los valores «extendidos» $\infty$ y $-\infty$. Podemos pensar que $f(x)=\infty$ significa que $f$ «es arbitrariamente grande en $x$» mientras que $f(x)=-\infty$ significa que $f$ es «arbitrariamente negativa en $x$».

La ventaja principal de esta notación es que nos permite trabajar con límites (posiblemente infinitos) de una manera unificada. Por ejemplo, si $\{ f_k \}_{k=1}^{\infty}$ es una sucesión de funciones tales que $\lim_k f_k(x)$ existe para todo $x\neq 0$ y $f_k(0)=k$ para todo $k$, conviene pensar que la sucesión $\{ f_k \}_{k=1}^{\infty}$ converge puntualmente a una función $f$ con $f(0)=\infty$. A la hora de integrar, esto a veces nos permitirá lidiar con singularidades sencillas de sucesiones de funciones.

Para ello, hace falta extender nuestra noción de números reales y su aritmética a $-\infty$ e $\infty$.

Reales extendidos

Definición. Definimos el sistema de numeros reales extendidos: $$[-\infty,\infty]:=\mathbb{R}\cup\{ -\infty \}\cup \{\infty \}.$$

(De manera formal $\infty,-\infty$ son solamente símbolos, pero conviene pensarlos con su significado usual de cantidades arbitrariamente grandes y arbitrariamente negativas respectivamente. La diferencia es que ahora los pensamos como números sobre los que podemos definir operaciones aritméticas explícitas).

Trabajaremos con las siguientes convenciones (todas éstas son naturales y están formuladas para ser compatibles con las nociones clásicas de límites infinitos): Para cualesquiera $x\in \mathbb{R}$, $0<a\leq \infty$, $-\infty\leq b <0$ convenimos:

\begin{align*}
-\infty < x &< \infty, \\
x + \infty &= \infty, \\
\infty + \infty &= \infty, \\
a\cdot \infty &= \infty, \\
b\cdot \infty &= -\infty.
\end{align*}

Y similarmente

\begin{align*}
x – \infty &= -\infty, \\
-\infty – \infty &= -\infty, \\
a\cdot -\infty &= -\infty, \\
b\cdot -\infty &= \infty.
\end{align*}

Las expresiones $0\cdot \pm \infty$ y $\infty – \infty$ permanecen indefinidas (aunque ocasionalmente, conviene definir la primera como cero).

Dado $A$ un subconjunto de números reales extendidos, convenimos:

• $\sup A:=\infty$ si $\infty\in A$.
• $\sup A= -\infty$ si $A={ -\infty }$.
• $\sup A:= \sup (A\setminus { -\infty})$ si $\infty \notin A$ y $A\neq \{ -\infty\}$ (es decir, el supremo usual de un conjunto de números reales, posiblemente $\infty$ si el conjunto es no acotado).

Las convenciones para $\inf A$ son análogas.

Los límites se trabajan de forma idéntica. Dada una sucesión $\{ a_k\}_{k=1}^{\infty}$ de números reales extendidos:

• Decimos que $\lim_{k\to \infty}a_k=a$, $a\in \mathbb{R}$, si $a_k\in \mathbb{R}$ salvo una cantidad finita de $k$ y $\lim_{k\to \infty}a_k=a$ en el sentido usual (omitiendo los valores extendidos de la sucesión).
• Como es usual, decimos que $\lim_{k\to \infty}a_k=\pm \infty$ si $\forall M\in \mathbb{R}$ positivo $\exists N\in \mathbb{N}$ tal que $\pm x_m>M$ $\forall m\geq N$.

Las convenciones para límites de funciones $\lim_{x\to a }f(x)$ son análogas.

Como consecuencia de nuestras convenciones, es inmediato verificar que los límites extendidos heredan las propiedades de sus contrapartes reales, por ejemplo las referentes a sumas y productos de límites.

El siguiente caso es particularmente frecuente. También es una muestra de las ventajas de adoptar la notación de números reales extendidos.

Observación. Toda sucesión monótona (creciente o decreciente) de números extendidos tiene un límite.

Demostración. En efecto, sea $a_1\leq a_2\leq a_3\leq \dots$ una sucesión monótona creciente de números extendidos. Si la sucesión es acotada y no todos los términos son $-\infty$, se reduce al caso real en el que sabemos que la sucesión converge (y de hecho, converge a su supremo). Si $a_k=-\infty $ para todo $k$, claramente $\lim_{k\to \infty} a_k=-\infty$. Si la sucesión no es acotada entonces $\lim_{k\to \infty} a_k=\infty$. El caso decreciente es similar.

$\square$

Ejemplo. Considera la sucesión de funciones $f_k=k\chi_{[-\frac{1}{k},\frac{1}{k}]}$ (donde $\chi_A$ representa la función característica del conjunto $A$: $\chi_A(x)=1$ si $x\in A$ y $\chi_A(x)=0$ en otro caso). Para cualquier $x\neq 0$, eventualmente $f_k(x)=0$, así que $\lim_{k\to \infty} f_k(x)=0$. Como $f_k(0)=k$ para todo $k$, naturalmente $\lim_{k\to \infty} f_k(0)=\infty$. Concluimos que la sucesión converge puntualmente (en el sentido extendido) a la función

\begin{equation*}
f(x)=
\begin{cases}
0 & \text{si } x \neq 0 \\
\infty & \text{si } x=0 \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
\end{cases}
\end{equation*}

$\triangle$

Funciones medibles

Ya podemos dar una definición bastante general de función medible sobre conjuntos arbitrarios con alguna $\sigma$-álgebra asociada.

Definición. Sea $f:X\to[-\infty,\infty]$ donde $X$ es un conjunto. Dada $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$, decimos que $f$ es $\mathcal{M}$-medible si $\forall t\in [-\infty, \infty]$, el conjunto $$\{ x \ | \ f(x)\leq t\}=f^{-1}([-\infty,t])\in \mathcal{M}.$$

Es conveniente pensar en las funciones medibles como aquellas que «tienen la suficiente estructura como para ser integradas». Si bien definimos el concepto de función medible con toda generalidad (que es necesario para desarrollar nociones de integración sobre espacios «muy generales»), casi siempre trabajaremos con los siguientes dos casos:

• Si $X=\mathbb{R}^n$ y $\mathcal{M}=\mathcal{L}$ diremos que la función es Lebesgue-medible o simplemente medible.
• Si $X=\mathbb{R}^n$ y $\mathcal{M}=\mathcal{B}$ diremos que la función es Borel-medible.

Observación. Como $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{L}$, toda función Borel-medible es Lebesgue-medible.

Equivalencias

Como veremos a continuación, existen varias definiciones equivalentes de función medible. Nos moveremos entre ellas con frecuencia.

Proposición. Sea $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$ y $f:X\to [-\infty,\infty]$. Entonces $f$ es $\mathcal{M}$-medible si y sólo si cualquiera de las siguientes condiciones se satisface:

1. $f^{-1}([-\infty,t])\in \mathcal{M}$ para todo $t\in[-\infty,\infty]$.
2. $f^{-1}([-\infty,t))\in \mathcal{M}$ para todo $t\in(-\infty,\infty]$.
3. $f^{-1}([t,\infty])\in \mathcal{M}$ para todo $t\in[-\infty,\infty]$.
4. $f^{-1}((t,\infty])\in \mathcal{M}$ para todo $t\in[-\infty,\infty)$.
5. $f^{-1}({ \pm \infty } )\in \mathcal{M}$ y $f^{-1}(E)\in \mathcal{M}$ para cualquier conjunto de Borel $E\subseteq\mathbb{R}$.

Demostración. Las equivalencias 1$\iff $4 y 2$\iff $3 son inmediatas al tomar complementos.

Notemos que $f(x)<t$ si y sólo si existe algún número racional $r\in \mathbb{Q}$ tal que $f(x)\leq r <t$, de donde $$f^{-1}([-\infty,t))=\bigcup_{r\in \mathbb{Q},r<t}f^{-1}([-\infty,r]).$$ Por la cerradura bajo uniones numerables en $\mathcal{M}$, se sigue la implicación 1$\implies$2.

Análogamente podemos ver que $$f^{-1}([-\infty,t])=\bigcap_{r\in \mathbb{Q},r>t}f^{-1}([-\infty,r)).$$
Lo que demuestra similarmente que 2$\implies$1. Esto concluye las equivalencias 1 $\iff$ 2 $\iff$ 3 $\iff$ 4.

La implicación 5$\implies$1 es obvia pues $E=[-\infty,t]$ es de Borel para todo $t$.

Veamos entonces que las condiciones 1-4 implican la condición 5.

Al tomar $t=-\infty$ en 1, se sigue que $f^{-1}({ -\infty})\in \mathcal{M}$. Similarmente al tomar Al tomar $t=\infty$ en 3, se sigue que $f^{-1}({ \infty})\in \mathcal{M}$.

Definamos $\mathcal{S}$ como $$\mathcal{S}=\{ E\subseteq \mathbb{R} \ | \ f^{-1}(E)\in \mathcal{M}\}.$$

Es fácil verificar directamente que $\mathcal{S}$ es una $\sigma$-álgebra. Para lo que resta, es suficiente probar que $\mathcal{S}$ contiene a los conjuntos abiertos de $\mathbb{R}$, pues en ese caso se tendría $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{S}$ lo que completa la implicación.

Observemos primero que cualquier abierto de $\mathbb{R}$ es unión numerable de intervalos abiertos. En efecto, dado $U\subseteq \mathbb{R}$ abierto y $s\in
U$, podemos encontrar números racionales $p_s,q_s$ tales que $s\in(p_s,q_s)\subseteq U$. Luego $$U=\bigcup_{s\in U}(p_s,q_s).$$ Es unión numerable de intervalos abiertos.

Por lo anterior y la cerradura de $\sigma$-álgebras bajo uniones numerables, es suficiente probar que los intervalos abiertos son elementos de $\mathcal{S}$. Esto es inmediato pues podemos expresar:
$$f^{-1}((a,b))=f^{-1}([-\infty,b)])\cap f^{-1}((a,\infty]).$$
Que resulta un elemento de $\mathcal{M}$ pues $f^{-1}([-\infty,b)])$ y $f^{-1}((a,\infty])$ son elementos de $\mathcal{M}$ por las condiciones 2 y 4.

$\square$

Algunos ejemplos de funciones medibles

Veamos algunos ejemplos clásicos de funciones medibles. En la sección de ejercicios se detallan algunos otros.

Proposición. Toda función continua $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ es Borel-medible. En particular es Lebesgue-medible.

Demostración. En la entrada pasada probamos que si $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ es continua y $A\in \mathcal{B}_1$ $\implies$ $f^{-1}(A)\in \mathcal{B}_n$. Por la proposición anterior, esto garantiza que $f$ es Borel-medible.

$\square$

Proposición. Si $f:\mathbb{R}\to [-\infty,\infty]$ es una función monótona (creciente o decreciente), entonces $f$ es Borel-medible.

Demostración. En efecto, si $f$ es monótona, la imágen inversa de cualquier semirrecta $[t,\infty]$ es algún intervalo, posiblemente abierto, cerrado, semiabierto o semicerrado; pero en todo caso un conjunto de Borel.

$\square$

Otro ejemplo muy importante son las funciones características. Éstas son esenciales para definir el concepto de función simple, que a su vez es fundamental para definir la integral de Lebesgue de una función. La demostración es muy sencilla y se queda como tarea moral.

Proposición. Sea $X$ un conjunto y $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$. Si $A\in \mathcal{M}$, entonces, la función característica \begin{equation*} \chi_A(x) =
\begin{cases}
1 & \text{ si } x\in A \\
0 & \text{ si } x \notin A
\end{cases}
\end{equation*} Es $\mathcal{M}$-medible.

$\square$

Ejemplo (funciones medibles sobre subconjuntos). Sea $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$ y $f:X\to [-\infty,\infty]$ una función $\mathcal{M}$-medible sobre $X$. Es fácil ver que para cualquier $E\in \mathcal{M}$, la restricción de $f$ sobre $E$, $f_{|E}:E\to [-\infty,\infty]$, es una función $\mathcal{M}_E$-medible ($\mathcal{M}_E$ denota la restricción de $\mathcal{M}$ sobre $E$).

$\triangle$

Más adelante…

Veremos más propiedades de las funciones medibles. En particular veremos que la clase de funciones medibles es cerrada bajo una gran cantidad de operaciones aritméticas y tomas de límite.

Tarea moral

• Verifica las propiedades pendientes de los números reales extendidos.
• Sea $X$ un conjunto y $\mathcal{N}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$. Verifica que si $A\in \mathcal{M}$ $\implies$ $\chi_A$ es $\mathcal{M}$-medible. ¿Qué pasa si $A\notin \mathcal{M}$?
• Sea $X$ un conjunto y $\mathcal{M}=\{X,\emptyset \}$. Demuestra que las únicas funciones $\mathcal{M}$-medibles son las funciones constantes.
• Sea $X$ un conjunto y $\mathcal{M}=2^X$. ¿Qué funciones son $\mathcal{M}$-medibles?
• Sea $X$ un conjunto y $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$. Sea $A\in \mathcal{M}$ y $f:A\to [-\infty,\infty]$ una función definida sobre $E$. Demuestra que $f$ es $\mathcal{M}_A$-medible $\iff$ $f^{-1}([-\infty,t])\in \mathcal{M}$ para todo $t\in[-\infty, \infty]$ $\iff$ $f^{-1}(\pm \infty)\in \mathcal{M}$ y $f^{-1}(K)\in \mathcal{M}$ para todo $K\subseteq \mathbb{R}$ conjunto de Borel.
• Decimos que una función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es continua a pedazos, si existen puntos $\dots <x_{-2}<x_{-1}<x_0<x_1<x_2<\dots$ tales que $f$ es continua en $(x_k,x_{k+1})$ para todo $k\in \mathbb{Z}$. Prueba que toda función continua a pedazos es Borel-medible. Prueba también que es Lebesgue-medible.

Introducción

En esta entrada definiremos la clase de conjuntos de Borel $\mathcal{B}$, que será junto a la clase de conjuntos Lebesgue medibles $\mathcal{L}$, esencial para construir la integral de Lebesgue en el futuro.

Conjuntos de Borel

Definición. La clase de conjuntos de Borel $\mathcal{B}_n$ en $\mathbb{R}^n$ es la $\sigma$-álgebra generada por la colección de conjuntos abiertos. Cuando la dimensión sea clara del contexto, denotaremos a los conjuntos de Borel simplemente como $\mathcal{B}$.

Observación. $\mathcal{B}$ contiene a todos los conjuntos abiertos y cerrados.

Observación. Como ya probamos, la clase de conjuntos Lebesgue medibles es una $\sigma$-álgebra que contiene a los abiertos, de modo que: $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{L}$ (definición de $\sigma$-álgebra generada). De hecho, es posible probar que la contención es estricta (aunque lo omitiremos). Puedes consultar un contraejemplo clásico en (Jones, 2001).

Los conjuntos de Borel se pueden pensar como «la $\sigma$-álgebra que tiene mejor relación con la topología de $\mathbb{R}^n$». Más adelante esto será crucial para construir una noción de integración que tenga una buena relación con límites y convergencias.

Algunas propiedades de los conjuntos de Borel

A pesar de no ser iguales, la clase de conjuntos de Borel $\mathcal{B}$ es «casi» la clase de conjuntos Lebesgue medibles $\mathcal{L}$ como muestra el siguiente teorema.

Teorema. Si $A\subseteq \mathbb{R}^n$ es Lebesgue medible, entonces admite una descomposición de la forma $$A=E\cup N.$$ Donde $E\cap N=\emptyset$, $E$ es un conjunto de Borel y $N$ es nulo.

Demostración. Por las equivalencias de conjuntos medibles, para cada $k\in \mathbb{N}$, podemos encontrar un cerrado $F_k\subseteq A$ tal que $$\lambda(A\setminus F_k)<\frac{1}{k}.$$ Definamos $E=\bigcup_{k=1}^{\infty}F_k$. Claramente $E\subseteq A$ y $E\in \mathcal{B}$ (al ser unión numerable de conjuntos de Borel). Ahora, para cualquier $k\in \mathbb{N}$: $$\lambda(A\setminus E)\leq \lambda(A\setminus F_k)<\frac{1}{k}$$ $$\implies \lambda(A\setminus E)=0.$$ Así que una posible descomposición es: $$N:= E\cup (A\setminus E).$$

$\square$

Conjuntos de Borel y funciones continuas

Como los conjuntos de Borel están definidos en «términos topológicos», es de esperarse que tengan una relación fuerte con las funciones continuas.

Teorema. Sea $E$ un conjunto de Borel en $\mathbb{R}^n$. Sea $f:E\to \mathbb{R}^m$ una función continua. Si $A\in \mathcal{B}_m$ , entonces $f^{-1}(A)\in \mathcal{B}_n$.

Demostración. La idea es explotar la estructura de $\sigma$-álgebra (tanto en $\mathbb{R}^n$ como en $\mathbb{R}^m$) para probar la proposición. Definamos: $$\mathcal{M}=\{ A \ | \ A\subseteq \mathbb{R}^m \text{ y } f^{-1}(A)\in \mathcal{B}_n \}.$$

Entonces, necesitamos probar que $\mathcal{B}_m\subseteq \mathcal{M}$. Como $\mathcal{B}_m$ es la $\sigma$-álgebra más pequeña que contiene a los abiertos de $\mathbb{R}^m$, basta probar que $\mathcal{M}$ es una $\sigma$-álgebra que contiene a todos los abiertos de $\mathbb{R}^m$ para que $\mathcal{B}_m\subseteq \mathcal{M}$.

Notemos que:

• $f^{-1}(\emptyset)=\emptyset$ y $\emptyset\in \mathcal{B}_n$, por tanto $\emptyset \in \mathcal{M}$.
• Si $A_1,A_2,\dots \in \mathcal{M}$, por definición $f^{-1}(A_k)\in \mathcal{B}_n$ para toda $k$. Pero como: $$f^{-1}(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k)=\bigcup_{k=1}^{\infty}f^{-1}(A_k).$$ Y este último pertenece a $\mathcal{B}_n$ (al ser unión nujmerable de elementos en $\mathcal{B}_n$), se tiene entonces $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\in \mathcal{M}$.
• Si $A\in \mathcal{M}$, por definición $f^{-1}(A)\in \mathcal{B}_n$, así que $$f^{-1}(\mathbb{R}^m\setminus A)=E\setminus f^{-1}(A)\in \mathcal{B}_n.$$ Por tanto $A^c\in \mathcal{M}$.

Así que en efecto, $\mathcal{M}$ es una $\sigma$-álgebra.

Veamos ahora que $\mathcal{M}$ contiene a los conjuntos abiertos. Es aquí donde entra la hipótesis de continuidad.

Sea $U\subseteq\mathbb{R}^m$ un abierto. Por la continuidad de $f$, $f^{-1}(U)$ es un abierto relativo en $E$, i.e. es de la forma $E\cap H$ con $H$ abierto en $\mathbb{R}^n$, de modo que $f^{-1}(U)=E\cap H\in \mathcal{B}_n$ $\implies$ $U\in \mathcal{M}$. Lo que concluye la prueba.

$\square$

Corolario. Sean $E\subseteq \mathbb{R}^n$ y $F\subseteq \mathbb{R}^m$ conjuntos de Borel. Sea $f:E\to F$ un homeomorfismo. Si $B\subseteq E$, entonces $B\in \mathcal{B}_n$ $\iff$ $f(B)\in \mathcal{B}_m$.

$\square$

Más adelante…

Definiremos el concepto de función medible (aquellas funciones de las que tiene sentido «hablar de una integral»). Veremos sus principales propiedades y cómo se relacionan con los conceptos que hemos visto hasta ahora.

Tarea moral

• Prueba que la $\sigma$-álgebra generada por el conjunto de rectángulos en $\mathbb{R}^n$ coincide con la $\sigma$-álgebra de Borel. [SUGERENCIA: ¿Porqué es cierto que cualquier conjunto abierto pertenece a dicha $\sigma$-álgebra?].
• Prueba que la $\sigma$-álgebra generada por el conjunto de polígonos especiales coincide con la $\sigma$-álgebra de Borel.
• Prueba que un conjunto $B\subseteq \mathbb{R}^n$ es Lebesgue medible si y sólo si existen $A$ y $C$ conjuntos de Borel tales que $A\subseteq B \subseteq C$ y $\lambda(C\setminus A)=0$.

Introducción

En las entradas pasadas vimos una gran variedad de resultados relacionados con la medida de Lebesgue y los conjuntos medibles, principalmente con la intención de aplicarlos más adelante a desarrollar una noción de integral más general. En las próximas entradas prepararemos el terreno para definir la integral de Lebesgue. Definiremos clases de conjuntos con una estructura muy particular sobre los cuales construiremos la noción de integración.

Definiciones

Notación. Como es usual, dado un conjunto $X$, denotaremos como $2^X$ a la colección de todos los subconjuntos de $X$.

Definición. Un álgebra de subconjuntos de $X$ (o sobre $X$) es una colección de conjuntos $\mathcal{M}\subseteq 2^X$ que satisface:

• $\emptyset \in \mathcal{M}$
• $A,B\in \mathcal{M}$ $\implies$ $A\cup B\in \mathcal{M}$
• $A\in \mathcal{M}$ $\implies$ $A^c\in \mathcal{M}$.

Observación. Es consecuencia inmediata que:

• $X\in \mathcal{M}$ pues $X=\emptyset^c$.
• $A,B\in \mathcal{M}$ $\implies$ $A\cap B \in \mathcal{M}$ pues $A\cap B=(A^c\cup B^c)^c$.
• $A,B$ $\implies$ $A\setminus B\in \mathcal{M}$ pues $A\setminus B =A\cap B^c$.

Definición. Decimos que un álgebra $\mathcal{M}\subseteq 2^X$ es una $\sigma$-álgebra si además es cerrada bajo uniones numerables, es decir:

• $A_1,A_2,\dots \in \mathcal{M}$ $\implies$ $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\in \mathcal{M}$.

Observación. Similarmente al caso anterior, se sigue de las leyes de De Morgan que $A_1,A_2,\dots\in \mathcal{M}$ $\implies$ $\bigcap_{k=1}^{\infty}A_k\in \mathcal{M}$.

Algunos Ejemplos de $\sigma$-álgebras

Ejemplo. Si $X=\mathbb{R}^n$, la colección de conjuntos Lebesgue medibles, $\mathcal{L_n}$, es una $\sigma$-álgebra sobre $\mathbb{R}^n$. Esto es consecuencia de las propiedades de los conjuntos medibles. Para nuestros objetivos, éste es posiblemente el ejemplo más importante.

Ejemplo. Para cualquier conjunto $X$; $\mathcal{M}=2^X$ es una $\sigma$-álgebra sobre $X$.

Ejemplo. Para cualquier conjunto $X$, $\{ \emptyset, X \}$ es una $\sigma$-álgebra (usualmente se le llama la $\sigma$-álgebra trivial).

Ejemplo. Para cualquier álgebra (o $\sigma$-álgebra) $\mathcal{M}$ sobre $X$ se tiene que $$\{ \emptyset, X \}\subseteq \mathcal{M} \subseteq 2^X.$$

Ejemplo (un álgebra que no es $\sigma$-álgebra). Sea $X$ un conjunto infinito. Definamos $\mathcal{M}_0$ como:

$$A\in \mathcal{M}_0 \iff A \text{ es finito ó } A^c \text{ es finito. }$$

Veamos que $\mathcal{M}_0$ es un álgebra pero no una $\sigma$-álgebra. Observemos que:

• $\emptyset$ es finito, de modo que $\emptyset\in \mathcal{M}_0$.
• Notemos que si $A,B\in \mathcal{M}_0$ $\implies$ $A\cup B\in \mathcal{M}_0$ pues:
  
  • Si $A,B$ son finitos entonces $A\cup B$ es finito.
  • Si $A^c$ es finito, sin importar que ocurra con $B$, se tiene que $(A\cup B)^c\subseteq A^c$, de donde $(A\cup B)^c$ es finito. Algo similar ocurre cuando $B^c$ es finito.
• Si $A\in \mathcal{M}_0$, entonces alguno de $A^c$ y $(A^c)^c=A$ es finito, de modo que $A^c\in \mathcal{M}_0$.

Por todo lo anterior, se sigue que $\mathcal{M}_o$ es un álgebra.

Como $X$ es infinito, podemos escoger un subconjunto numerable $$S=\{x_0,x_1,x_2,x_3\dots \}.$$ Definamos $$A= \{ x_0,x_2,x_4\dots \}.$$ Ni $A$ ni su complemento son finitos asi que $A\notin \mathcal{M}_0$. Sin embargo, $A$ se puede expresar como unión numerables de elementos en $\mathcal{M}_0$, a saber: $$\{x_0 \},\{x_2 \} , \{x_4 \}, \dots$$

Así que $\mathcal{M}_0$ NO es una $\sigma$-álgebra.

$\triangle$

Ejemplo. Sea $X$ un conjunto. Definimos $\mathcal{M}_1\subseteq 2^X$ como:
$$A\in \mathcal{M}_1 \iff A \text{ es numerable ó } A^c \text{ es numerable}.$$ Veamos que $\mathcal{M}_1$ es una $\sigma$-álgebra.

• $\emptyset\in \mathcal{M}_1$ es finito, en particular numerable.
• Sean $A,B\in \mathcal{M}_1$. Veamos que $A\cup B\in \mathcal{M}_1$:
  • Si $A,B$ son numerables, entonces $A\cup B$ es numerable.
  • Si $A^c$ es numerable, entonces $(A\cup B)^c\subseteq A^c$, de donde $(A\cup B)^c$ es también numerable. Algo similar ocurre si $B^c$ es numerable.
• Si $A\in \mathcal{M}_1$, entonces alguno de $A^c$ y $(A^c)^c=A$ es numerable, de modo que $A^c\in \mathcal{M}_1$.

Lo anterior garantiza que $\mathcal{M}_1$ es un álgebra. Más aún, si $\{ A_k \}_{k=1}^{\infty} \subseteq \mathcal{M}_1$, entonces:

• Si $A_k$ es numerable para todo $k\in \mathbb{N}$, entonces $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k$ es numerable (la unión numerable de conjuntos numerables es numerable).
• Si $A_j^c$ es numerable para al menos un $j\in \mathbb{N}$, entonces $(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k)^c\subseteq A_j^c$, de donde $(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k)^c$ es numerable.

En todo caso $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\in \mathcal{M}_1$. Concluimos que $\mathcal{M}_1$ es una $\sigma$-álgebra.

$\triangle$

Ejemplo. Si $X= \mathbb{R}$, definimos $\mathcal{M}$ como: $A\in \mathcal{M}$ $\iff$ $A=\emptyset$ ó $A$ es una unión finita de intervalos de la forma $[a,b)$ ó $(-\infty,b)$ con $-\infty<a<b\leq \infty$. Es fácil ver que $\mathcal{M}$ es un álgebra. Sin embargo, NO es una $\sigma$-álgebra. Los intervalos finitos y cerrados por la derecha se pueden expresar como unión numerable de elementos en $\mathcal{M}$ (por ejemplo $[a,b]=\bigcup_{k=r}^{\infty}[a,b-\frac{1}{k})$ con $\frac{1}{r}<b-a$), pero no son elementos de $\mathcal{M}$, pues ningún conjunto de $\mathcal{M}$ contiene a su supremo.

$\triangle$

Ejemplo. Cualquier álgebra finita (es decir, que solo contiene una cantidad finita de conjuntos) es en particular una $\sigma$-álgebra.

$\triangle$

Ejemplo ($\sigma$-álgebra restringida sobre un subconjunto). Sea $X$ un conjunto y $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$. Sea $E\in \mathcal{M}$. Definimos la $\sigma$-álgebra restringida sobre $E$ como: $$\mathcal{M}_E=\{ F\cap E \ | \ F\in \mathcal{M}\}.$$ Es fácil ver que $\mathcal{M}_E$ es una $\sigma$-álgebra sobre $E$ con $\mathcal{M}_E\subseteq \mathcal{M}$.

$\triangle$

$\sigma$-álgebras a partir de otras clases de conjuntos

Proposición. La intersección (no necesariamente numerable) de $\sigma$-álgebras es una $\sigma$-álgebra.

Demostración. Sea $\{ \mathcal{M}_i \}_{i\in \mathcal{I} }$ una familia de $\sigma$-álgebras sobre $X$. Veamos que $\mathcal{M}=\bigcap_{i\in \mathcal{I}}\mathcal{M}_i$ es una $\sigma$-álgebra.

• Como $\emptyset \in \mathcal{M}_i$ para toda $i\in \mathcal{I}$, entonces $\emptyset\in \mathcal{M}$.
• Si $A,B\in \mathcal{M}$, por definición $A,B\in \mathcal{M}_i$ $\forall$ $i\in \mathcal{I}$ $\implies$ $A\cup B \in \mathcal{M}_i$ $\forall i\in \mathcal{I}$ $\implies$ $A\cup B\in \mathcal{M}$.
• Si $A\in \mathcal{M}$ $\implies$ $A\in \mathcal{M}_i$ $\forall$ $i\in \mathcal{I}$ $\implies$ $A^c\in \mathcal{M}_i$ $\forall i\in \mathcal{I}$ $\implies$ $A^c\in \mathcal{M}$.
• Si $\{ A_k\}_{k=1}^{\infty}\subseteq \mathcal{M}$ $\implies$ $\{ A_k\}_{k=1}^{\infty}\subseteq \mathcal{M}_i$ $\forall i\in \mathcal{I}$ $\implies$ $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \in \mathcal{M}_i$ $\forall i\in \mathcal{I}$ $\implies$ $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \in \mathcal{M}$.

Por lo que en efecto, $\mathcal{M}$ es una $\sigma$-álgebra.

$\square$

En general, la unión de $\sigma$-álgebras no es una $\sigma$-álgebra. Veamos un ejemplo.

Ejemplo. Sea $X=\{ a,b,c\}$. Podemos verificar directamente que $\mathcal{M}_1=\{ \{a \},\{ b,c\}, \emptyset, X \}$ y $\mathcal{M}_1=\{ \{b \},\{ a,c\}, \emptyset, X \}$ son $\sigma$-álgebras, sin embargo $\mathcal{M}_1\cup \mathcal{M}_2$ no lo es pues $\{ a\}, \{b\}\in \mathcal{M}_1\cup \mathcal{M}_2$ pero $\{ a\} \cup \{b\}\notin \mathcal{M}_1\cup \mathcal{M}_2$.

$\triangle$

El siguiente ejemplo nos permite construir $\sigma$-álgebras a partir de colecciones arbitrarias de conjuntos. Será esencial en la siguiente entrada, en la que definimos los conjuntos de Borel.

Definición. Dada $N$ una familia de subconjuntos de $X$, definimos la $\sigma$-álgebra generada por $N$, $\sigma(N)$ , como la intersección de todas las $\sigma$-álgebras que contienen a $N$.

Observación. La definición anterior tiene sentido: por la proposición anterior, la intersección de tales $\sigma$-álgebras es una $\sigma$-álgebra. Además, existe al menos una $\sigma$-álgebra que contiene a $N$ (a saber, $2^X$).

Observación. La $\sigma$-álgebra generada por $N$ claramente contiene a $N$. Más aún, es la $\sigma$-álgebra más pequeña con tal propiedad: cualquier otra $\sigma$-álgebra $\mathcal{M}$ con $N\subseteq \mathcal{M}$ cumple que $\sigma(N)\subseteq \mathcal{M}$ por definición.

Más adelante…

Definiremos la clase de conjuntos de Borel. Una $\sigma$-álgebra importante que será útil para definir la integral de Lebesgue más adelante.

Tarea moral

• Prueba que la intersección arbitraria de álgebras es un álgebra.
• Sean $\mathcal{M}$ y $\mathcal{N}$ $\sigma$-álgebras sobre $X$. Demuestra que si $\mathcal{M}\cup \mathcal{N}$ es un álgebra, entonces $\mathcal{M}\cup \mathcal{N}$ es una $\sigma$-álgebra.
• Sean $X,Y$ conjuntos y $f:X\to Y$ una función. Sea $\mathcal{N}$ una $\sigma$-álgebra sobre $Y$. Demuestra que $$\mathcal{M}=\{f^{-1}(A) \ | \ A\in \mathcal{N} \}$$ Es una $\sigma$-álgebra sobre $X$.
• Sean $N_1,N_2$ colecciones de subconjuntos de $X$.
  • Prueba que si $N_1\subseteq N_2$ $\implies$ $\sigma(N_1)\subseteq \sigma(N_2)$.
  • Prueba que si $N_1\subseteq \sigma(N_2)$ $\implies$ $\sigma(N_1)\subseteq \sigma(N_2)$.
• Siguiendo estos pasos, prueba que no exista una $\sigma$-álgebra infinita numerable: supón que $\mathcal{M}=\{B_1,B_2,\dots \}$ es una $\sigma$-álgebra infinita numerable sobre $X$.
  • Para cada $x\in X$, considera $A_x=\bigcap\{ B_k \ | \ x\in B_k \}$. Prueba que si $x,y\in X$, o bien $A_x\cap A_y=\emptyset$, o bien $A_x=A_y$.
  • Concluye que existen conjuntos no vacíos y disjuntos $C_1,C_2,\dots\in \mathcal{M}$ tales que $X=\bigcup_{k=1}^{\infty}C_k$.
  • Para cada subconjunto $I \subseteq \mathbb{N}$, sea $D_I=\bigcup_{i\in I}C_i$. Demuestra que $D_I\in \mathcal{M}$ para cada $I\in 2^{\mathbb{N}}$ y que $D_I\neq D_J$ si $I\neq J$. ¿Qué cardinalidad tiene $2^{\mathbb{N}}$?

Introducción

En la entrada anterior probamos que la clase de conjuntos medibles es cerrada bajo uniones e intersecciones numerables. En esta sección usaremos dichos resultados para ver que la clase de conjuntos medibles contiene a prácticamente todos los conjuntos interesantes al menos desde un punto de vista topológico (por ejemplo abiertos, cerrados, compactos, junto con uniones e intersecciones numerables de estos). También veremos como podemos usar estos conjuntos para aproximar conjuntos medibles más generales y como es que esto caracteriza completamente a los conjuntos medibles.

Lema. Cualquier conjunto abierto $U$ se puede expresar como una unión numerable de rectángulos abiertos.

Demostración. Para cualquier $x\in U$, podemos encontrar un rectángulo abierto $Q$, tal que $x\in Q\subseteq U$. Más aún, podemos elegir $Q$ de tal manera que sus intervalos componente tengan extremos racionales (basta «encoger» un poco dichos intervalos). Si denotamos por $\mathcal{R}_{\mathbb{Q}}$ al conjunto de rectángulos abiertos con extremos racionales, tenemos que: $$U=\bigcup_{Q\in \mathcal{R}_{\mathbb{Q}}; Q\subseteq U} Q.$$ La contención $\supseteq$ es obvia. La contención $\subseteq$ se sigue del hecho de que cada $p\in U$ está contenido en algún tal rectángulo. Como $\mathcal{R}_{\mathbb{Q}}$ es de hecho un conjunto numerable (¿Porqué?), resulta que la unión anterior es numerable. Se sigue el Lema.

$\square$

Recordando que los rectángulos son conjuntos medibles, podemos probar sin mayor problema que los conjuntos interesantes (al menos desde un punto de vista «topológico») son medibles.

Corolario. Los conjuntos abiertos, cerrados, compactos y las uniones e intersecciones numerables de estos son medibles.
Demostración. Del Lema y los teoremas de cerradura bajo operaciones con conjuntos, se sigue de inmediato que los abiertos son conjuntos medibles. Los cerrados (incluyendo los compactos) son medibles al ser complementos de abiertos. Las uniones e intersecciones numerables de estos son medibles, de nuevo, por nuestros teoremas de cerradura.

$\square$

Los resultados anteriores nos dan una manera rápida de verificar si un conjunto es medible, aunque no nos dicen nada sobre el valor de la medida de Lebesgue. En general, suele ser complicado calcular la medida de Lebesgue de un conjunto sin usar herramientas de teoría de integración (que veremos más adelante). Veamos un ejemplo de como hacerlo directamente.

Ejercicio. Calcula la medida de Lebesgue del triángulo $$T=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \ : \ 0\leq x \leq 1, 0\leq y\leq x\}.$$

Solución. Claramente $T$ es cerrado así que es un conjunto medible. Fijemos $m\in\mathbb{N}$. Definamos los rectángulos: $$L_k=\left[\frac{k-1}{m},\frac{k}{m}\right]\times \left[0,\frac{k-1}{m}\right]$$ $$S_k=\left[\frac{k-1}{m},\frac{k}{m}\right]\times \left[0,\frac{k}{m}\right]$$ Para $k=1,2,\dots,m$. Observemos que $$\bigcup_{k=1}^{m}L_k\subseteq T\subseteq\bigcup_{k=1}^{m}S_k.$$ Además los $L_k$ y los $S_k$ son ajenos salvo en conjuntos de medida cero, Luego: $$ \lambda\left(\bigcup_{k=1}^{m}L_k\right)\leq \lambda(T)\leq \lambda\left(\bigcup_{k=1}^{m}S_k\right)$$ $$\implies \sum_{k=1}^{m}\lambda(L_k)\leq \lambda(T)\leq \sum_{k=1}^{m}\lambda(S_k)$$ $$\implies \sum_{k=1}^{m} \left(\frac{1}{m}\right)\left(\frac{k-1}{m}\right)\leq \lambda(T)\leq \sum_{k=1}^{m} \left(\frac{1}{m}\right)\left(\frac{k}{m}\right)$$ $$\implies \frac{1}{m^2} \sum_{k=1}^{m} (k-1) \leq \lambda(T)\leq \frac{1}{m^2} \sum_{k=1}^{m} k$$ $$\implies \frac{1}{m^2}\left(\frac{(m-1)(m)}{2}\right)\leq \lambda(T)\leq \frac{1}{m^2}\left(\frac{(m)(m+1)}{2}\right)$$ $$\implies \frac{1}{2}\frac{m-1}{m}\leq \lambda(T)\leq \frac{1}{2}\frac{m+1}{m}.$$ Haciendo $m\longrightarrow\infty$ concluimos que $\lambda(T)=\frac{1}{2}$.

$\triangle$

Observación. El ejercicio anterior te debería de recordar un poco a las sumas de Riemann, la notación $L_k$ y $S_k$ es sugerente. Esto no es casualidad. El método anterior nos puede servir en general para probar que la medida de la región debajo de la gráfica de una función Riemann-integrable (no negativa) $G$ es igual a la intregal de Riemann. Las expresiones de las sumas inferiores y superiores nos dicen exactamente como construir colecciones de rectángulos (ajenos salvo en conjuntos de medida cero) que aproximen la región «por abajo» y «por arriba». Por monotonía, dichas sumas solo se pueden acercar a $\lambda(G)$, que por definición, debe ser la integral de Riemann. Más adelante analizaremos con todo detalle esta clase de problemas.

Aproximación de conjuntos medibles

La siguiente proposición es relevante pues nos dice que podemos «aproximar» un conjunto medible con conjuntos abiertos o compactos. Estos conjuntos tienen propiedades topológicas y de convergencia muy interesantes, lo que a menudo sirve para establecer teoremas de existencia o probar estimados más fuertes.

Teorema (de aproximación de conjuntos medibles.) Si $A$ es un conjunto medible, entonces $$\lambda(A)=\inf_{A\subseteq U \text{ abierto}}\{ \lambda(U) \} = \sup_{K\subseteq A \text{ compacto}}\{ \lambda(U) \}.$$
Demostración. Anteriormente establecimos la primera igualdad en general para la medida exterior.
Veamos la segunda igualdad: $\lambda(A) = \inf_{K\subseteq A \text{ compacto}}\{ \lambda(U) \}$. Consideremos primero el caso en el que $A$ es acotado. Tomemos $R$ un rectángulo cerrado suficientemente grande tal que $A$ esté contenido en el interior de $R$. Los conjuntos $A$ y $R\setminus A$ son medibles con medida finita.

Por la primera igualdad, dado $\varepsilon>0$ podemos tomar un abierto $U$ tal que $R\setminus A \subseteq U$ y $$\lambda (U)<\lambda(R\setminus A)+\varepsilon.$$ Notemos que $K=R\cap U^c$ es un conjunto compacto (cerrado y acotado) con $K \subseteq A$ (observa la figura), además $A\setminus K\subseteq U\setminus (R\setminus A)$. Luego, por la aditividad: $$\lambda(A)-\lambda(K) = \lambda(A\setminus K) \leq \lambda (U\setminus (R\setminus A))=\lambda(U)-\lambda(R\setminus A)<\varepsilon$$ $$\implies \lambda(K)\leq \lambda(A)<\lambda(K)+\varepsilon.$$ Como podemos hacer esto para cualquier $\varepsilon>0$ concluimos que cuando $A$ es acotado se da la igualdad.

Si $A$ es de medida finita pero no necesariamente acotado, dado $\varepsilon>0$, podemos tomar la sucesión: $B_k=A\cap R_k$ donde $R_k=[-k,k]^n$. Claramente $B_1\subseteq B_2\subseteq \dots$ y $A=\bigcup_{k=1}^{\infty} B_k$. Por la monotonía de la medida de Lebesgue tenemos que $\lambda(B_k)\uparrow \lambda(A)$ cuando $k\to \infty$, de modo que podemos encontrar algún $N$ suficientemente grande tal que $$\lambda(B_N)\leq \lambda(A)<\lambda(B_N)+\frac{\varepsilon}{2}.$$ Como $B_N$ es acotado, por el caso anterior, podemos encontrar algún compacto $K\subseteq B_N\subseteq A$ tal que $$\lambda(K)\leq \lambda (B_N)<\lambda(K)+\frac{\varepsilon}{2}.$$ Luego: $$\lambda(A)<\lambda(B_N)+\frac{\varepsilon}{2}<\lambda(K)+\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\lambda(K)+\varepsilon.$$ Como podemos hacer esto para cualquier $\varepsilon>0$ concluimos que $\lambda(A) = \sup_{K\subseteq A \text{ compacto}}\{ \lambda(U) \}$ cuando $A$ es de medida finita.
El caso en el que $A$ es de medida infinita se queda como tarea moral.

$\square$

Caracterización de conjuntos medibles

La proposición anterior es de interés pues de hecho caracteriza completamente a los conjuntos medibles con medida finita.

Lema (Completitud de la medida de Lebesgue.) Si $A\subseteq B\subseteq C$ son subconjuntos de $\mathbb{R}^n$, $A$ y $C$ son medibles con $\lambda(A)=\lambda(C)<\infty$, entonces $B$ es medible y $\lambda(A)=\lambda(B)=\lambda(C)$.

Demostración. Nota que $C\setminus A$ es un conjunto medible con $$\lambda(C\setminus A)=\lambda(C)-\lambda(A)=0.$$ Como $B\setminus A\subseteq C\setminus A$, entonces $$\lambda^*(B\setminus A)\leq \lambda^*(C\setminus A)=\lambda(C\setminus A)=0$$ $\implies B\setminus A$ es medible al ser un conjunto nulo. Como $B=A\cup (B\setminus A)$, se sigue que $B$ es medible. Por monotonía necesariamente $\lambda(A)=\lambda(B)=\lambda(C)$.

$\square$

Teorema (Caracterización de conjuntos medibles). Sea $A\subseteq \mathbb{R}^n$ un subconjunto con $\lambda^*(A)<\infty$. Entonces $A$ es medible si y sólo si $$\lambda^*(A)=\inf_{A\subseteq U \text{ abierto}}\{ \lambda(U) \} = \sup_{K\subseteq A \text{ compacto}}\{ \lambda(U) \}.$$

Demostración. La implicación ($\implies$) es precisamente el teorema de aproximación. Veamos la implicación ($\impliedby$).

Supongamos que $\inf_{A\subseteq U \text{ abierto}}\{ \lambda(U) \} = \sup_{K\subseteq A \text{ compacto}}\{ \lambda(U) \}$, entonces, por definición de ínfimo, para cada $m=1,2,\dots$ podemos encontrar un abierto $U_m$ y un compacto $K_m$ tales que $K_m\subseteq A \subseteq U_m$ y $$\lambda(U_m)<\lambda^*(A)+\frac{1}{2m};$$ $$\lambda^*(A)<\lambda(K_m)+\frac{1}{2m}.$$ Es decir $$\lambda(U_m\setminus K_m)=\lambda(U_m)-\lambda(K_m)<\lambda^*(A)+\frac{1}{2m}-\lambda^*(A)+\frac{1}{2m}=\frac{1}{m}.$$ Tomando $U_m’=\bigcap_{j=1}^{m}U_j$ y $K_m’=\bigcup_{j=1}^{m}K_j$, es inmediato que $K_m’\subseteq A \subseteq U_m’$ y $\lambda(U_m’\setminus K_m’)\leq \lambda(U_m\setminus K_m)<\frac{1}{m}$, así que podemos suponer sin pérdida de generalidad que $U_1\supseteq U_2 \supseteq \dots$ y $K_1\subseteq K_2\subseteq \dots$.

Definamos $F=\bigcap_{j=1}^{\infty} U_j$ y $G=\bigcup_{j=1}^{\infty} K_j$. Estos son medibles al ser uniones e intersecciones numerables de conjuntos medibles respectivamente. Claramente $G\subseteq A \subseteq F$, además $$F\setminus G = (\bigcap_{j=1}^{\infty} U_j)\cap (\bigcup_{j=1}^{\infty} K_j)^c=(\bigcap_{j=1}^{\infty} U_j)\cap (\bigcap_{j=1}^{\infty} K_j^c)=\bigcap_{j=1}^{\infty} (U_j\cap K_j^c)$$ $$=\bigcap_{j=1}^{\infty} (U_j\setminus K_j).$$ Notemos que $U_1\setminus K_1\supseteq U_2\setminus K_2 \supseteq \dots$ y $U_1\setminus K_1$ es de medida finita. Se sigue por monotonía de la medida de Lebesgue: $$\lambda(U_j\setminus K_j)\downarrow \lambda(F\setminus G).$$ Pero como $0\leq \lambda(U_j\setminus K_j)<\frac{1}{j}$ para $j=1,2,\dots $ la única posibilidad es que $\lambda(U_j\setminus K_j)\to 0$ cuando $j\to \infty$. Luego $$\lambda (F\setminus G)=0.$$ $$\implies \lambda(F)=\lambda(G)+\lambda(F\setminus G)=\lambda(G).$$
Como $G\subseteq A \subseteq F$; $G$ y $F$ son medibles con medida finita y $\lambda(F)=\lambda(G)$, se sigue por el Lema anterior que $A$ es medible.

$\square$

De la demostración del teorema anterior, también podemos deducir lo siguiente.

Corolario. Sea $A$ un conjunto medible con medida finita. Entonces existen $G=\bigcup_{j=1}^{\infty}K_j$ una unión de conjuntos compactos y $F=\bigcap_{j=1}^{\infty}U_j$ una intersección de conjuntos abiertos, tales que $G\subseteq A \subseteq F$ y $$\lambda(G)=\lambda(A)=\lambda(F).$$

$\square$

Siguiendo la línea de la proposición anterior, veamos un par de equivalencias más para conjuntos medibles.

Teorema (Equivalencia de conjuntos medibles). Las siguientes son equivalentes.

1. $A$ es un conjunto medible.
2. Para cualquier $\varepsilon>0$ existe un abierto $U$ tal que $A\subseteq U$ y $\lambda^*(U\setminus A)<\varepsilon$.
3. Para cualquier $\varepsilon>0$ existe un cerrado $K$ tal que $K\subseteq A$ y $\lambda^*(A\setminus K)<\varepsilon$.

Demostración. Probaremos la equivalencia ($1\iff 2$). La tercera se queda como tarea moral.

Si $A$ es de medida finita, la implicación (1$\implies$2) es consecuencia inmediata del teorema anterior.

Si $A$ es de medida infinita, podemos partirlo en una cantidad numerable de conjuntos medibles ajenos con medida finita: $A=\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k$ (piensa por ejemplo en intersecar $A$ con cada rectángulo semiabierto de la forma $[p_1,p_1+1)\times[p_2,p_2+1)\times \dots \times [p_n,p_n+1)$ donde $p_1,p_2,\dots p_n$ son todos enteros).

Para cada $B_k$, podemos encontrar un abierto $U_k$ tal que $B_k\subseteq U_k$ y $\lambda(U_k\setminus B_k)<\frac{\varepsilon}{2^{k}}$. Sea $U=\bigcup_{k=1}^{\infty} U_k$. Éste es abierto con $A\subseteq U$, además tenemos $U\setminus A\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} (U_k\setminus B_k)$. Por monotonía y subaditividad: $$\lambda(U\setminus A)\leq \sum_{k=1}^{\infty} \lambda(U_k\setminus B_k)<\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^{k}}=\varepsilon.$$
Con esto concluimos que (1$\implies$2).
Ahora supongamos 2. En particular para cada $k=1,2,\dots$ podemos encontrar un abierto $U_k$ tal que $A\subseteq U_k$ y $\lambda^*(U_k\setminus A)<\frac{1}{k}$. Más aún, imitando el argumento de la equivalencia anterior, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $U_1\supseteq U_2\supseteq \dots$. Consideremos $G=\bigcap_{k=1}^{\infty} U_k$. Éste es medible con $A\subseteq G$, además $G\setminus A \subseteq U_k\setminus A$ para todo $k=1,2,\dots$ por lo que $$\lambda^*(G\setminus A)\leq \lambda^*(U_k\setminus A)<\frac{1}{k} \ \ \ \forall k=1,2,\dots$$ De donde $$\lambda^*(G\setminus A)=0.$$ Así que $G$ y $G\setminus A$ son medibles (éste último al ser nulo). Se sigue que $A=G\setminus(G\setminus A)$ es medible como queríamos probar.

$\square$

Más adelante…

Estudiaremos la estructura «conjuntista» de los conjuntos medibles. Esto será de utilidad, por un lado para definir rápidamente el concepto de función medible; pero también para construir nociones de integración sobre espacios abstractos como veremos al final del curso.

Tarea moral

• Encuentra una sucesión de conjuntos compactos $K_j$ y una sucesión de conjuntos abiertos $U_j$, tales que $K_j\subseteq \mathbb{Q}\subseteq U_j$ para todo $j$ y $$\lim_{k\to \infty} \lambda(K_j)=\lim_{k\to \infty}\lambda(U_j)=\lambda(\mathbb{Q})=0.$$
• Completa la demostración del teorema de aproximación de conjuntos medibles. [
  Sugerencia: Imita el argumento en el caso en el que $A$ es de medida finita, encontrando compactos con medida arbitrariamente grande contenidos en $A$].
• Demuestra la equivalencia del punto 3. en el Teorema de equivalencia de conjuntos medibles. [Sugerencia: Puedes usar la equivalencia ($1\iff 2$) con el complemento de $A$].
• (Envolvente medible). Sea $A$ un conjunto arbitrario con $\lambda^*(A)<\infty$. Demuestra que existe una intersección numerable de conjuntos abiertos (en particular, un conjunto medible) $E=\bigcap_{j=1}^{\infty}U_j$, con $A\subseteq E$ y $$\lambda^*(A)=\lambda(E).$$ Se dice que $E$ es una envolvente medible de $A$.
• Supongamos que $A\cup B$ es medible y que $$\lambda(A\cup B)=\lambda^*(A)+\lambda^*(B)<\infty.$$ Prueba que $A$ y $B$ son medibles. [SUGERENCIA: Considera $E,F$ las envolventes medibles de $A$ y $B$ respectivamente . Prueba que $\lambda^*(E\setminus A)=\lambda^*(F\setminus B)=0$].