Introducción

Las anualidades anticipadas, se comportan de forma semejante a las anualidades vencidas. Dichas anualidades, tiene su uso principal en el ramo de los seguros, ya que la mayoría de las veces, los pagos que involucran las primas, se realizan de forma anticipada, en pocas palabras, éste tipo de anualidades se usan cuando se requieren al inicio de cada periodo.

Descripción de las anualidades anticipadas y valor presente

Se utilizan cuando se desean hacer pagos por adelantado, las reglas para su correcta aplicación son las mismas, que para las anualidades vencidas. Serán denotadas por:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{\ddot{A}}}_i=1+v_i^1+v_i^2+…+v_i^{n-2}+v_i^{n-1}$$

$$\prescript{}{n}{\mathbf{\ddot{A}}}_i=\frac{1-v^n}{1-v}.$$

Observación. Las ecuaciones anteriores se pueden escribir como:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{\ddot{A}}}_i=1+\prescript{}{n-1}{\mathbf{\ddot{A}}}_i$$

ésta expresión relaciona las anualidades anticipadas con las vencidas, ya que nos muestra como el valor presente de una anualidad vencida de n-1 pagos de un peso, se le suma el peso que debe pagarse en la fecha de valuación, y con esto se logra obtener el valor presente de una anualidad anticipada.

Ahora, si sustituimos el valor de la anualidad que se acaba de mostrar se tiene:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{\ddot{A}}}_i=1+\frac{1-v_i^{n-1}}{i}.$$

Generalizando los pagos a una cantidad \$X, la expresión queda:

$$V=X\prescript{}{n}{\mathbf{\ddot{A}}}_i=X(1+\prescript{}{n-1}{\mathbf{\ddot{A}}}_i)$$

$$V=X\left(1+\frac{1-v_i^{n-1}}{i}\right).$$

Ejercicios resueltos

Ejercicio. La gerencia de una plaza de artesanías, quiere ampliar sus locales, y acepta un financiamiento por parte de unos inversionistas con una tasa de interés del 12%, para que los arrendatarios paguen por adelantado, a lo largo de un año. Uno de sus inversionistas decide comprar con un préstamo que le otorgó el banco a una tasa del 8.3%. Se desea saber la cantidad que se debe de pagar al arrendador si la renta de sus locales es de \$14,700?.

Monto

El monto en una anualidad, es la suma de los pagos periódicos valuados, cada uno, en la fecha que fue realizado el último pago. El proceso para obtenerlo es análogo al que fue usado para obtener el cálculo de las anualidades vencidas, el cual consiste en «traer» todos los pagos a la fecha en la que fue realizado el último.

La fecha de valuación, se toma cuando se realiza el último pago porque no es necesario desarrollar una nueva ecuación, y también porque en la práctica real, difícilmente se encontrará algún caso en donde se tome en cuenta una fecha más allá de la última fecha de pago. De esta forma la expresión queda como sigue:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{\ddot{S}}}_i=\prescript{}{n}{\mathbf{S}}_i(1+i)$$

$$\prescript{}{n}{\mathbf{S}}_i=1(1+i)^{n-1}+1(1+i)^{n-2}+1(1+i)^{n-3}+…+1(1+i)^{2}+1(1+i)^{1}+1$$

$$\prescript{}{n}{\mathbf{S}}_i=\frac{(1+i)^n-1}{i}$$

$$M=X.$$

Se llegó a la misma expresión debido a que tomó la fecha del último pago, lo importante. En el caso de la anualidad vencida se hizo al final del periodo, mientras en el de la anticipada se hizo al principio, lo que importa destacar es que la operación que se está realizando, respecto al número de pagos, no es alterada ya que la fecha de valuación es la misma.

Ejercicio. En el mes de mayo de 2022 una empresa depositará cada mes una cantidad de dinero, con el fin de adquirir mercancía para vender en la temporada del buen fin. Situación que llevará a cabo desde el 31 de enero del siguiente año con una duración de 10 meses más. ¿Cuánto deberá ahorrar si las compras que desea hacer, ascienden a un valor de \$35000, considerando que el banco le ofreció una tasa de interés del 7.75% nominal, pagadero mensualmente.

Una persona comienza a ahorrar la cantidad de \$300 pesos al inicio de cada mes, y quiere saber, cuál será la cantidad que tendrá ahorrada, luego de haber transcurrido 2 años, si la institución en la que la deja depositada le otorga una tasa de interés del 7% mensual.

Más adelante…

Se continuará trabajando con estos conceptos de anualidades, explorando otros tipos que existen, y no sólo eso, sino que se comenzarán a combinar cada una de ellas, pues nos daremos cuenta que la vida real, tiene una enorme cantidad de variantes para realizar operaciones comerciales, las cuales con el paso del tiempo han surgido como una forma de resolver dichos dilemas, que aparecen a la hora de hacer una operación financiera.

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Introducción

Las anualidades, son una herramienta de vital importancia dentro de las matemáticas financieras, ya que su uso está presente en la gran mayoría de operaciones o transacciones económicas, financieras y/o comerciales. En este apartado, se dará a conocer el concepto de anualidad, sus principales características, tipos de anualidades, así como algunas reglas elementales para su uso de forma correcta.

Definición de anualidad

Siempre que se quiera adquirir algún producto, algún bien como lo es una casa, y se quiera hacer dicha compra a crédito, va a ser necesario un contrato en el que quedaran especificados una serie de pagos, con cierta temporalidad, a una cierta tasa de interés, mediante los cuales se irá pagando dicha deuda, o dicho crédito.

En este apartado, se analizarán los modelos matemáticos más usados, mejor conocidos con el nombre de anualidades, las cuales se utilizan para poder resolver los problemas que acaban de mencionar.

Se entenderá por anualidad, al conjunto de pagos que se realizarán de forma periódica durante un cierto tiempo, que tendrá la misma periodicidad que los pagos, haciendo el uso del modelo de interés compuesto. Sin embargo, cabe hacer mención que el nombre de anualidades, no necesariamente va a implicar siempre que el pago va a ser anual (cada año), sino que también van a darse casos en los que los pagos serán semanales, diarios, mensuales, bimestrales, trimestrales, semestrales, etc.

Algunos ejemplos de anualidades son: los pagos a crédito de electrodomésticos, pagos de renta de una casa o departamento, pagos de crédito de un automóvil, pago de pensiones, pago de primas de algún tipo de seguro (vida, daños, de gastos médicos mayores, etc.)

Tipos de anualidades

• Anualidades ciertas. Son aquellas en las que los pagos no tienen ningún tipo de restricción, condición u ocurrencia de evento para que se lleven a cabo los pagos. por tal motivo quedan establecidas los pagos y el plazo.
• Anualidades contingentes. Son conocidas por que existe alguna condición o cierta contingencia o evento tenga que pasar, tenga que cumplirse para poder llevarse a cabo los pagos, un ejemplo que describe claramente ésta situación son los pagos generados por una renta vitalicia en la que sólo podrán hacerse los pagos, una vez que el cónyuge muera.
• Anualidades ordinarias vencidas. En este tipo de anualidad, los pagos se realizan al final de cada periodo, durante el plazo que se haya pactado que duraría la operación, también es conocida como anualidad ordinaria.
• Anualidades anticipadas. En ésta anualidad, es muy semejante a la anterior, la única diferencia es que los pagos se realizan al inicio de cada periodo, de cierta forma se entendería que los pagos se hacen por adelantado.
• Anualidades diferidas. Son anualidades que se caracterizan por tener u otorgar un periodo de «gracia», que es un cierto tiempo que pasa antes de que comiencen a efectuarse los pagos.
• Perpetuidad. Son anualidades en las que los pagos que en teoría, «nunca» dejan de hacerse, Un ejemplo que muestra más claramente su uso, es la creación de un fondo de una beca para un estudiante, la cual una vez que dicho alumno culmine sus estudios, siga habiendo recursos suficientes para que pueda ser asignada a otro estudiante, de manera tal que siempre existan fondos suficientes para seguir apoyando a estudiantes.
• Anualidades crecientes. Su principal característica es que los pagos van incrementando una determinada cantidad cada periodo. Un ejemplo de su utilización se da cuando una empresa desea adquirir con el paso del tiempo, la modernización de su maquinaria, más actual y por ende más eficiente.
• Anualidad decreciente. Es análoga a la anterior, solo que en lugar de aumentar una cierta cantidad cada periodo, ésta va disminuyendo.
• Anualidad pagadera p-veces al año. Se caracterizan por fijar una cantidad que se pagará durante un año, o en su caso durante los años subsecuentes, hasta cubrir la totalidad de la deuda.
• Anualidad continua. Se caracterizan por tener pagos muy pequeños, durante periodos muy pequeños, de forma continua, con el fin de liquidar un crédito o u acumular una cierta cantidad al término de un cierto lapso de tiempo.

Anualidades ordinarias vencidas

Como se mencionó, son el tipo de anualidad, en el que los pagos se realizan al final de cada periodo. Su construcción es realizada a partir del caso de \$1.00, durante un tiempo de n-periodos, el cual queda descrito en la siguiente imagen:

Considerando la imagen anterior, se denotará una anualidad vencida como:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i=1v_i^1+1v_i^2+1v_i^3+…+1v_i^{n-1}+1v_i^n$$

$$\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i=1(v_i^1+v_i^2+v_i^3+…+v_i^{n-1}+v_i^n).$$

Ésta expresión, puede ser vista como una progresión geométrica, tal como se muestra a continuación:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i=\frac{v_i^1-v_i^nv_i^1}{1-v_i^1}=\frac{v_i^1-v_i^{n+1}}{1-v_i}$$

$$=\frac{v_i(1-v_i^n)}{1-v_i}.$$

Sustituyendo el valor de $v$ se tiene:

$$=\frac{\frac{1}{(1+i)}(1-v_i^n)}{1-\frac{1}{(1+i)}}$$

$$=\frac{\frac{1}{(1+i)}(1-v_i^n)}{\frac{1+i-1}{(1+i)}}$$

$$=\frac{\frac{1}{(1+i)}(1-v_i^n)}{\frac{i}{(1+i)}}.$$

Cancelando la expresión $\frac{1}{(1+i)}$ en el numerador como en el denominador, se tiene:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i=\frac{1-v^n}{i}.$$

Dicha expresión, es la que se va a estar utilizando para hacer el cálculo del valor presente de una anualidad vencida. Al igual que los modelos que anteriormente se han estado construyendo, obedece a las mismas reglas del modelo de interés compuesto.

Es necesario notar que, cuando en el modelo el valor de $n=1$ se tiene el caso de una anualidad de un sólo pago, y al ser sólo un pago, no podría ser considerada como una anualidad, sin embargo, se sigue cumpliendo que el valor presente sea igual a $v$. Generalizando la expresión anterior, dejando de considerar \$1 como valor del capital que se está manejando, y asignando un valor \$X, entonces la expresión queda de la siguiente forma:

$$V=Xv_i^1+Xv_i^2+Xv_i^3+…+Xv_i^{n-1}+Xv_i^n$$

$$V=X(v_i^1+v_i^2+v_i^3+…+v_i^{n-1}+v_i^n).$$

Como ya sabemos, la expresión entre paréntesis equivale a una anualidad vencida, entonces realizamos la sustitución de forma tal que nos queda:

$$V=X\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i.$$

Por otra parte, para calcular el monto de una anualidad vencida se hace lo siguiente:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{S}}_{i}=1(1+i)^{n-1}+1(1+i)^{n-2}+…+1(1+i)^{2}+1(1+i)^{1}+1$$

$$\prescript{}{n}{\mathbf{S}}_{i}=\frac{1-(1+i)^{n-1}(1+i)}{1-(1+i)}$$

lo anterior, es posible ya que, de forma análoga al valor presente, se está trabajando con progresiones geométricas, por lo que al aplicar sus propiedades se obtiene el siguiente resultado:

$$\prescript{}{n}{\mathbf{S}}_{i}=\frac{(1+i)^n-1}{i}.$$

Es necesario mencionar que, la expresión anterior, considera con un capital de \$1, aplicando de forma más general el modelo quedaría:

$$M=X\prescript{}{n}{\mathbf{S}}_{i}=X\left(\frac{(1+i)^n-1}{i}\right).$$

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Es muy común, en la práctica tener casos en los que combinen mensualidades con pagos anuales. Lo anterior es una práctica común que tiene la intención de reducir la cantidad de intereses que se está pagando. Por ejemplo, el siguiente ejercicio:

Don Raúl, desea adquirir un vehículo último modelo, motivo por el cual solicita un autofinanciamiento, el cual requiere que realice un pago del 30% de enganche. El valor total de la unidad cuesta \$400,000. La forma en que Don Raúl desea pagarlo es cubrir el enganche, sacarlo a 60 mensualidades con una tasa del 20% pagadera mensualmente. Además, quiere aportar la cantidad de $20,000 cada cinco años de forma vencida. Ante este contexto, don Raúl desea saber ¿Cuánto va a tener que pagar de mensualidad?

Ejercicio. Una empresa de hilos, compró maquinaria a crédito con un valor de \$500,000, los pagos los va a realizar de forma mensual, con un valor de \$4,000, la duración de la deuda fue de 18 meses, la tasa que están manejando es de 1.35% efectiva mensual. La empresa quiere liquidar dicha deuda lo antes posible. Dado que tiene en puerta un negocio de gran importancia, pretende pagar la totalidad del adeudo dentro de un mes, situación que comunica el vendedor de la maquinaria, para poder renegociar el monto que le resta y que no tenga que estar pagando tanto interés. Se requiere saber ¿cuál es la cantidad que hace falta por pagar dentro de un mes, para liquidar completamente la deuda?

Más adelante…

Se abordarán el tema de anualidades anticipadas, que como su nombre lo dice los pagos se harán al inicio de cada periodo, las cuales se verá que son de vital importancia, ya que muchas operaciones de seguros hacen uso de ellas. Su funcionamiento resultará de forma muy parecida a las anualidades anticipadas, pero de forma inversa.

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Introducción

De acuerdo con el material que se ha presentado, destacan dos personajes importantes, el prestamista y el deudor, el primero se priva de sus recursos, mientras que el segundo hace uso de ellos, a cambio de una recompensa que llamamos interés, el cual es otorgado al prestamista, dicha cantidad le será entregada luego de haber transcurrido una cierta cantidad de tiempo el cual, es pactado por los involucrados y determinará la duración que tenga la operación. De esta forma se puede decir que existe una igualdad en cuanto a los derechos del deudor que es recibir recursos, así como éste último tiene la obligación de entregar los intereses acordados al término del plazo. Para modelar este fenómeno, se hace uso del modelo de interés compuesto, que matemáticamente es una ecuación que implica una igualdad, la cual consiste que un monto es igual la cantidad inicial que fue prestada más los intereses acordados. Al hacerlo queda establecida y garantizada la relación de las obligaciones y los derechos, de manera tal que, se garantiza equidad en la operación entre las partes involucradas.

Ecuación de valor

La ecuación que se va a estar usando para garantizar la igualdad que se acaba de describir, recibe el nombre de ecuación de valor, que permite garantizar la igualdad que relaciona los derechos del deudor al adquirir los recursos, y éste tiene la obligación de hacer el pago del capital inicial más los intereses, cada uno de ellos sabiendo el valor que adquieren en una misma fecha de valuación, dicha fecha es conocida como fecha focal.

Formalizando el concepto de ecuación de valor, será definido como «La representación matemática de una operación financiera o comercial que hace iguales los derechos y las obligaciones contraídos por las partes, valuados a la misma fecha» (Cánovas T., 2004, pág. 106).

Lo anterior, regularmente se formaliza a través de un contrato, donde queda asentados principalmente los valores de la ecuación, el capital inicial, la duración que va a tener el préstamo, los intereses que van a ser pagados, así como la forma, y la tasa de interés.

Reglas para su construcción

Los modelos que se han estado utilizando para este tipo de situaciones son ecuaciones de valor, cada una de ellas tienen en común las siguientes características:

• En el primer lado de la igualdad se escriben los derechos del prestamista y en el otro lado se anotan las obligaciones del deudor, siempre debe ser así, puede darse el caso en el que estén al revés, pero resulta indistinto, dependerá del cálculo que uno necesite obtener para encontrar el valor deseado.
• Los cálculos que se realicen siempre deben estar calculados en una misma fecha de valuación, una misma fecha focal.
• Las ecuaciones de valor, son usadas regularmente cuando se desea estar trabajando con pagos, que están indicados en fechas distintas y éstas a su vez están relacionadas con pagos que se realizarán en diferentes plazos, de allí surge la necesidad de fijar una fecha focal en la que se estarán valuando todas las operaciones que se vayan a realizar.

Su aplicación es muy frecuente, cuando se renegocian las deudas, esto ocurre cuando el deudor no le es posible terminar de pagar su deuda en el tiempo acordado; y es en ése momento que se recurre al uso de una ecuación de valor.

Por citar un ejemplo: una persona va a depositar sus ahorros a un banco, y de acuerdo a los temas que se han estado revisando, ésta persona va a ganar un rendimiento, una cantidad extra de lo que acaba de depositar, generada por los intereses que el banco está obligado a pagar por dejar sus ahorros un cierto periodo de tiempo. Dicha cantidad extra es el producto de multiplicar su capital inicial por una tasa de interés cada cierto número de periodos. En este caso aparece una cierta obligación del banco para su cliente que es la de pagar intereses, así como el cliente tiene que dejar de tener sus ahorros por una cierta cantidad de tiempo, de forma implícita, existe una relación costo-beneficio entre ambas partes.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Una persona desea adquirir a crédito un terreno con un valor de \$140 000. Según los cálculos que tiene considerados con sus ahorros tiene la cantidad de \$70 000, la cantidad que va a necesitar es de \$70 000. La persona firma un contrato en donde estipula que realizará pagos de la siguiente forma:

• Dar un enganche de \$70 000
• Hacer un pago por la cantidad de \$30 000, el 15 de abril de 2023
• Realizar otro pago de \$27 000 el día 15 de julio del mismo año.
• La fecha de valuación es el día 15 de enero de 2023, día en que inicia el contrato y es la fecha en la que comienza a hacer pagos comenzando por cubrir el enganche.

Se desea saber ¿cuánto es lo que le falta por pagar para saldar la deuda el día 10 de agosto de 2023? y la tasa pactada es del \1.8% efectivo mensual.

El señor Luis, quiere comprar un paquete de viaje de vacaciones para su familia, con todo pagado, y lo piensa sacar a crédito, por lo que el día de hoy 10 de enero de 2022, con un valor es de \$160 mil pesos, hace el contrato aportando una cantidad de \$80 mil pesos, considera hacer otra aportación \$30 mil pesos el 10 de abril, otro pago de \$25 mil el 10 de agosto, y un último pago liquidando su deuda el 10 de diciembre. Se requiere saber ¿De cuánto es el último pago, si la agencia de viajes otorga el crédito con una tasa de interés del 1.9% efectiva mensual?

Más adelante…

Con las herramientas que hasta el momento se han abordado, ya se cuenta con el material suficiente para entrar con temas de mayor complejidad, ya que de cierta forma hace que utilicemos todas las metodologías se han estado desarrollando. Dicho teme es el de las anualidades, cuya importancia dentro de las matemáticas financieras es fundamental, toda vez que suelen ser muy utilizadas en muchas de las operaciones de crédito, económicas, dentro de las operaciones financieras o comerciales.

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Introducción

Existen diversos fenómenos naturales que se comportan con el paso del tiempo, de manera similar al modelo de interés compuesto, y justamente por esa razón es posible hacer uso para poder realizar diferentes análisis de cada uno de ellos. Algunos, por ejemplo, serían el crecimiento de alguna planta, de una población, el crecimiento de cultivos de una bacteria, etc. Sin embargo, no es la única rama del conocimiento en el que se puede aplicar, también diversas situaciones demográficas, por ejemplo, hacer mediciones, y esto es sólo por hacer mención de alguna otra área.

Por lo anterior, en esta sección se hará uso del modelo de interés compuesto para resolver algunos fenómenos de diferentes áreas como las ciencias naturales, la administración, le demografía, entre otras.

Aplicación en la administración

En la administración de empresas, el modelo de interés compuesto, tiene su uso para resolver problemas de índole económico, pero también para modelar situaciones como: el crecimiento de la producción, la evolución de las ventas, el incremento de salarios, la variación de los costos de producción, etc.

Ejercicios resueltos

Una empresa fabrica una cantidad de 30 millones pantalones al año. Durante el año de 1996, la producción y las ventas de la empresa alcanzó los \$16 millones y en el año 2001, vendió \$22 millones. De continuar así su crecimiento, se requiere saber cuánto se debe de incrementar la capacidad de la fábrica a fin de contar con los recursos suficientes para hacer frente a la demanda.

Aplicación en la demografía

Es utilizado para predecir el crecimiento de la población, sin embargo, esta algo limitado, dado que actualmente existen otros modelos que permiten medir de mejor forma en comparación al modelo de interés compuesto. Sin embargo, es posible hacer uso de éste, para obtener la tasa neta de crecimiento de una cierta población, para determinar su tamaño que podrá alcanzar en un futuro.

Ejercicios resueltos

Supongamos que en el año 2000 la población de un país es de 89.5 millones de habitantes, registrando una tasa de crecimiento poblacional del 2.5% promedio anual para los últimos 10 años. El gobierno necesita saber, en qué momento la población llegará a ser de 140 millones de habitantes

Aplicación en las ciencias naturales

En este apartado se considera a las ciencias naturales, la botánica y la biología, así como otras ramas afines tales como la medicina, la agricultura, ganadería, etc. dónde el modelo de interés compuesto se aplica para resolver casos relacionados con el crecimiento de microorganismos, velocidad de reproducción de un virus o una bacteria, velocidad con la que crece una planta, tasa de reproducción de un ganado, productividad de las semillas, etc.

La aplicación es muy semejante a las áreas que ya se trabajaron, ya que todos los ejemplos y casos mencionados tiene en común, analizar el comportamiento de «algo» con el paso de cierto tiempo.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. El peso de un recién nacido es de 3.300 kg, midió 49 cm y tiene actualmente 25 días de nacido. Su peso al día de hoy es de 4.200 kg y mide 54 cm. De continuar creciendo en la misma proporción que tuvo durante sus primeros 27 días de haber nacido hasta cumplir los 18 años, ¿Cuánto pesaría y cuánto mediría?

Más adelante…

De toda operación financiera los derechos y obligaciones del acreedor como del deudor, deben ser iguales, a lo largo de la duración de la transacción. La idea de plantear ecuaciones es para garantizar que haya equidad entre ambas partes involucradas. En el siguiente tema se establecerá el concepto de ecuación de valor, y será el principal objeto de estudio.

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Introducción

La forma en que se acumula el dinero tiene dos formas de abordarse, una de ellas es la que se define como tasa efectiva de interés, que tiene que ver con la siguiente expresión: $\frac{(M-K)}{K}.$

y la otra que considera la proporción de los intereses devengados en relación con el monto, es decir, la tasa de descuento, la cual se denota por: $\frac{(M-K)}{M}.$

De dicha expresión se presenta un nuevo modelo, el de descuento compuesto.

Construcción del modelo de descuento compuesto

En temas anteriores se han abordado fenómenos de acumulación, cuando la tasa de interés incrementa un capital inicial después de haber transcurrido cierto tiempo. De dicho fenómeno se estableció la siguiente expresión:

$$M=K(1+i)^t.$$

Sí suponemos un sólo periodo, la expresión queda: $M=K(1+i).$

Despejando $i$ de dicha expresión, se obtiene: $i=\frac{M-K}{K}.$

En ésa última expresión, nos dice la proporción o el cambio que tendrá un capital, luego de haber transcurrido una unidad de tiempo. En esta sección se construirá un modelo que parte de una tasa o proporción que se aplicará al monto $M$, para obtener el capital invertido $K$, a dicha tasa será llamada tasa efectiva de descuento, misma que será denotada por la letra $d$ y representada por la siguiente expresión:

$$d=\frac{M-K}{M}.$$

Es importante señalar que la tasa de interés, se obtiene como la proporción de los intereses ganados en relación con el capital, mientras que una tasa de descuento parte de la proporción de los intereses en relación al monto.

La siguiente gráfica nos da una representación de éste fenómeno:

Partiendo de la ecuación $d=\frac{M-K}{M}$, se va a construir este nuevo modelo. De esta manera se tiene:

$$dM=M-K$$
$$dM-M=-K$$
$$-dM+M=K$$
$$K=M-dM.$$

Por último factorizando $M$, se obtiene:

$$K=M(1-d)$$

donde:
$K=$Capital inicial
$M=$Monto
$d=$Tasa de descuento
$D=Md=$Descuento total

Ésta nueva expresión permitirá calcular el capital inicial $K$, quitándole una proporción al monto $M$, ésa proporción es la que va a ser determinada por la tasa de descuento $d$. Otro dato importante que es necesario resaltar es el que el descuento obtenido $D$, se resta al monto para obtener el capital, expresado de la siguiente forma:

$$K=M-dM=M-D.$$

Las reglas con las que opera este modelo de tasa de descuento son las mismas que opera el modelo de interés compuesto, sobre todo en lo que se refiere a la temporalidad de las tasas y su relación con los periodos que involucran a la variable $t$.

Para construir el modelo generalizado para $t$ períodos, es necesario usar las siguientes expresiones:

$M=K(1+i)^t$, $M=K(1+i)$, $K=M(1-d).$

Despejando $M$ de la última expresión, se tiene: $M=K(1-d)^{-1}$
Como las expresiones:

$$M=K(1-d)^{-1}=K(1+i)=K(1-d)^{-1}=K(1+i)$$

$$(1-d)^{-1}=(1+i).$$

Luego, se eleva a la potencia $t$ ambos miembros de la igualdad, para obtener:
$(1+i)^t=(1-d)^{-t}.$
Multiplicando por $K$ toda la expresión: $K(1+i)^t=K(1-d)^{-t}=M.$
Donde se obtiene justamente la expresión generalizada que se estaba buscando, la cual es:

$$M=K(1-d)^{-t}.$$

Las reglas que debe cumplir, son las mismas que se establecieron para el modelo de interés compuesto.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Una persona adquirió una deuda hace tiempo, garantizando su pago firmando un pagaré, y el día de hoy desea liquidar. El acreedor le maneja una tasa de descuento por pago anticipado del 8.5% efectivo anual, calcular el valor presente de dicho pagaré, el cual tiene un valor de \$10,000 y cuya fecha de vencimiento es dentro de 9 meses.

Acumulación y valor presente

Para establecer la relación que hay entre una tasa de interés y una tasa de descuento, se partirá de las siguientes expresiones:

$M=K(1+i)=K(1-d)^{-1}$

dividiendo entre $K$ se tiene: $(1+i)=(1-d)^{-1}$

luego elevando a la potencia $-1$ resulta: $(1-d)=\frac{1}{1+i}$

despejando $d$ se tiene: $d=1-\frac{1}{1+i}$
buscamos un común denominador, con el que se obtiene:
\begin{align*}
d&=\frac{1+i-1}{1+i}\\
&d=\frac{i}{1+i}\\
\end{align*}

Observe que $v=\frac{1}{1+i}$ luego entonces se tiene:
$d=iv.$
Expresión que nos indica que la tasa de descuento es también vista como el valor presente de la tasa de interés.

Ejercicio. Una persona desea invertir $\$100$ a una tasa del $6.5\%$ efectiva anual. Calcular el monto, calcular el valor presente de ésos intereses y comprobar que la tasa resultante es la tasa de descuento.

Ejercicio. Usando el mismo ejemplo, calcular para dos años.

Tasas nominales de descuento

Recordando un poco lo que se ha estado trabajando, una tasa efectiva de descuento por periodo se aplica al monto, luego de haber transcurrido cierto número de periodos $t$, con la finalidad de obtener el capital inicial $K$. Para ésta sección se trabajará con una tasa nominal de descuento denotada por $d^{(m)}$, la cual se caracteriza por ser dividida entre $m$, lo que implica que se descuenta $m$ veces al año, con la misma intención para obtener el capital inicial $K$.

Como se puede apreciar, el comportamiento de las tasas de descuento es análogo al de las tasas nominales de interés, con la diferencia que ésta es descontable $m$ al año. Por lo anterior, se va a estar usando el siguiente modelo:

$$K=M\left(1-\frac{d^{(m)}}{m}\right)^m.$$

En la siguiente gráfica se muestra el comportamiento de ésta expresión.

Es importante señalar que, cuando las tasas nominales de descuento, adquieren los siguientes valores:

$d^{(0)}$= no está definido
$d^{(1)}$= es una tasa de descuento efectiva anual
$d^{(\infty)}$=$\delta$ se trata de una tasa de descuento instantánea

Análogamente aplica lo anterior para las tasas de interés.

La relación que tiene las tasas efectivas de descuento con las tasas nominales de descuento, se describen a través de la siguiente expresión:

$$K=M(1-d)^t=M\left(1-\frac{d^{(m)}}{m}\right)^{mt}.$$

Ejercicios resueltos

Calcule el valor presente de un pagaré con un valor de \$8000 y vencimiento dentro de 3 años 3 meses, entrando en vigencia el día de hoy, con una tasa nominal de descuento pagadera semestralmente del 10%, para el primer año, y del 12% nominal de descuento convertible mensualmente que aplicara para el segundo año, y del 7% nominal de descuento pagadero diariamente para el resto del plazo.

Relación entre las tasas de interés y tasas de descuento

El fenómeno que se ha estudiado, es la forma en que un capital inicial se va transformando con el paso del tiempo a una cierta tasa de interés, de esta forma fue desarrollado el modelo $M=K(1+i)^t$, del cual se desprende el modelo para calcular la tasa de interés: $I=\frac{M-K}{K}.$

Cuando la relación se toma con el monto en vez del capital, se obtiene el concepto de tasa de descuento, el cual es denotado por: $d=\frac{M-K}{M}$, del cual se obtiene el modelo análogo pero con tasa de descuento, el cual es representado por: $M=K(1-d)^{-t}.$

Como se puede observar, los modelos que se han estado usando, parten todos del modelo original, ahora se va a estudiar la relación que existe entre las tasas de interés y las tasas de descuento.

Partiendo de las siguientes expresiones:

$M=K(1+i)^t=K(1-d)^{-t}.$

Ahora representado, pero con tasas nominales:

$M=K\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{mt}=K\left(1-\frac{d^{(m)}}{m}\right)^{-mt}.$

Por lo expuesto anteriormente, se puede construir la siguiente tabla:

Más adelante…

Se abordarán la aplicación de éstos modelos a otras disciplinas, se mostrará cómo los modelos que se han trabajado, también pueden describir fenómenos naturales, biológicos, demográficos, etc.

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