La Topología es un área de las matemáticas que se interesa por conceptos como proximidad, continuidad, conexidad, compacidad, y muchos otros mas. Para abordarlos, es necesario establecer un cierto tipo de conjuntos (que en Topología se les conoce como los conjuntos abiertos). $\fbox{Bola abierta}$ La bola abierta con centro en $\bar{x}_0$ y radio $r>0$, es el conjunto: $$B(\bar{x}_0,r)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^n~|~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|<r\}$$ $\fbox{Bola Cerrada}$ La bola cerrada con centro $\bar{x}_0$ y radio $r\geq 0$ es el conjunto: $$\bar{B}(\bar{x}_0,r)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^n~|~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|\leq r\}$$ $\fbox{Esfera}$ La esfera con centro $\bar{x}_0$ y radio $r\geq 0$ es el conjunto: $$S(\bar{x}_0,r)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^n~|~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|=r\}$$ Observemos que para la bola abierta $r>0$ estrictamente, mientras que la bola cerrada y la esfera pueden tener radio cero. En este último caso ambas se reducen a un punto:
\[ \bar{B}(\bar{x}_0,0)={\bar{x}_0} \]
\[ S(\bar{x}_0,0)={\bar{x}_0}~~ \blacksquare \] Los conjuntos $B(\overline{x}_0,r)$, $\bar{B}(\overline{x}_0,r)$ y $S(\bar{x}_0,r)$ son subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ y su aspecto geométrico depende de la métrica con la cual se midan las distancias. Ejemplo. \begin{align*} \overline{B}_2(0,1)&=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2\ |\ \|\bar{x}\|_2\leq1\} \\ &=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2|\sqrt{x^2+y^2}\ \leq1\} \\ &=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ x^2+y^2\leq1\} \end{align*} Geométricamente
La periferia de este disco es el circulo que tiene por ecuación $x^2+y^2=1$, que corresponde a la esfera $S_2(0,1)=\{\bar{x}\in \mathbb{R}^2\ |\ \|\bar{x}\|_2=1\}$.$~ \blacksquare$
Ejemplo. Sea ahora la bola cerrada \begin{align*} \bar{B}_2(0,1)&=\{\overline{x}\in\mathbb{R}^{2}~|~\|\bar{x}\|\leq1\} \\ &=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ |x|+|y|\leq1\} \end{align*} Geométricamente
Para $S_1(0,1)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2\ |\ |\bar{x}|=1\}$
Para $\overline{B}_{\infty}(0,1)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2\ |\ \|\bar{x}\|_{\infty}\leq1\}$ = $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ \max\{|x|,|y|\}\leq1\}$
tenemos entonces que
Las figuras anteriores muestran la situación geométrica, entre las bolas cerradas $\overline{B}_{1}(\overline{0},1),~\overline{B}_{2}(\overline{0},1),~\overline{B}_{\infty}(\overline{0},1)$ en forma explicita se escriben: \[ \max\{|x_1|,\cdots,|x_n|\}\leq \sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\ \leq |x_1|+\cdots+|x_n| \] Las contenciones tanto para las bolas abiertas, como para las bolas cerradas se siguen de las desigualdades
\[ \|\bar{x}-x_0\|_{\infty}\leq \|\bar{x}-\bar{x}_0\|_2\leq \|\bar{x}-x_0\|_1 \] Pues por ejemplo si $\bar{x}\in B_2(\bar{x}0,r)$ entonces $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|_2<r$ luego $\|\bar{x}-\overline{x}_0\|_{\infty}<r$
$\therefore~~~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|_{\infty}<r$ es decir $\overline{x}\subset B_{\infty}(x_0,r)$ $\therefore$ $B_2(\bar{x}0,r)\subset B_{\infty}(\bar{x}_0,r)$
Si $\overline{x}\in B_1(\bar{x}_0,r)$ entonces $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|_1<r$ luego $\|x-\bar{x}_0\|_2\leq \|\bar{x}-\bar{x}_0\|_1<r$ $\therefore$ $\|\overline{x}-\bar{x}_0\|_2<r$ $\therefore$ $\overline{x}\in B_2(x_0,r)$ $\therefore$ $B_1(\bar{x}_0,r)\subset B_2(x_0,r)$ Para las esferas no hay alguna relación similar, lo que se puede deducir de las desigualdades anteriores son las relaciones siguientes: \[S_1(\bar{x}_0,r)\subset \overline{B}_{2}(\bar{x}_0,r)\subset\overline{B}_{\infty}(\bar{x}_0,r)\] \[S_2(\bar{x}_0,r)\subset B_{\infty}(\bar{x}0,r)\hspace{1.7cm}\] \[S_{\infty}(\bar{x}0,r)\subset \overline{B}_{\infty}(\bar{x}_0,r)\hspace{1.8cm} \]
Conjuntos Abiertos y Conjuntos Cerrados
Un concepto importante en la topología de $\mathbb{R}^{n}$ es el de conjunto abierto. Junto con el de conjunto cerrado. Conjunto abierto y conjunto cerrado dos conceptos duales, en un sentido que trataremos de explicar. Por ahora solamente veremos la definición de cada uno de ellos y alguna de sus propiedades más importantes. Definición. Un conjunto $V\subset\mathbb{R}^n$ se dice que es $\textbf{abierto}$ si para cada $\bar{x}\in V$ existe una bola abierta $B(\bar{x},r)$ contenida en $V$. Es decir si para cada $\bar{x}\in V$ existe $r>0$ tal que $B(\bar{x},r)\subset V$.
Ejemplo. El espacio $\mathbb{R}^n$ es un conjunto abierto, pues dado cualquier $\bar{x}\in \mathbb{R}^n$, toda bola abierta $B(\bar{x},r)$ esta contenida en $\mathbb{R}^n$.$~~\blacksquare$
Ejemplo .Mostraremos que el $\emptyset$ es abierto. Suponemos que el $\emptyset$ no es abierto $\therefore$ $\exists$ $x\in \emptyset$ para el cual no es posible hallar una bola abierta $B(\bar{x},r)$ contenida en $\emptyset$. Pero esto no es posible ya que el $\emptyset$ no tiene elementos. Entonces debemos suponer que el $\emptyset$ no es abierto ${\large\textbf{!}}$ $~~~\therefore~~~\emptyset$ es abierto.$~~\blacksquare$
Proposición. Toda bola abierta en $\mathbb{R}^n$ es un conjunto abierto. Demostración. Sea $\bar{x}_0\in\mathbb{R}^n$ y $r>0$. Mostraremos que $B(\bar{x}_0,r)$ es un conjunto abierto. Debemos probar que para cada $\bar{x}\in B(\bar{x}_0,r)$, existe una bola abierta $B(\bar{x},r)$ contenida a su vez en la bola abierta $B(\bar{x}_0,r)$. Sea pues $\bar{x}\in B(\bar{x}_0,r)$ y consideremos $R=r-\|\bar{x}-\bar{x}_0\|$. Como $\bar{x}\in B(\bar{x}_0,r)$ se tiene entonces que $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|<r$ $\therefore$ $R>0$. Mostraremos que la bola abierta $B(\bar{x},R)$ esta contenida en $B(\bar{x}_0,r)$.
esto prueba que $\bar{y}\in B(\bar{x}_0,r)$.$~~\blacksquare$
Ejemplo.Mostraremos que en $\mathbb{R}^2$, el semiplano superior $$V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~|~y>0\}$$ es un conjunto abierto respecto a la norma $\|\overline{x}\|_1$ Solución.
Sea $\overline{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V$. Se tiene entonces que $y_{0}>0$ consideremos $r=y_{0}$ y consideremos la bola $B_{1}(\bar{v}_0,y_0)$ y sea $\bar{v}=(x,y)\in B_1(\bar{v}_0,y_0)$ se tiene que $\|\bar{v}-\overline{v}_0\|_1<y_0$, es decir, $|x-x_0|+|y-y_0|<y_0$. Debemos probar que $y>0$. (1) $y$ no puede ser cero pues si $y=0$ $|x-x_0|+|y-y_0|<y_0$ $\Rightarrow$ $|x-x_0|+|y_0|<y_0$ ${\large\textbf{!}}$ (Falso) es decir no puede ocurrir que $|x-x_0|+|y_0|$ sea menor que $y_{0}$. (2) $y$ no puede ser negativa pues $|x-x_0|+|y-y_0|=|x-x_0|+\underset{*}{\underbrace{|y|+y_0}}>y_0$ ${\large\textbf{!}}$ (Falso) * $y<y_0$ $\Rightarrow$ $|y-y_0|=-y+y_0=|y|+|y_0|$ $\therefore$ $y$ tiene que ser $y>0$ $\therefore$ $B_1(\bar{v}_0,y_0)$ esta en el semiplano superior.$~~ \blacksquare$ Definición. Un conjunto $F\subset\mathbb{R}^n$ se dice que es $\textbf{cerrado}$ si su complemento $F^c=\mathbb{R}^n-F$ es un conjunto abierto.
Ejemplo. Los conjuntos $\mathbb{R}^n$ y $\emptyset$ son cerrados. En efecto $\mathbb{R}^n$ es cerrado pues su complemento $\emptyset$ es abierto. Similarmente $\emptyset$ es cerrado pues su complemento $\mathbb{R}^n$ es abierto.$~\blacksquare$
Ejemplo. Un conjunto con un solo punto ${\bar{0}}$ es cerrado ya que $\mathbb{R}^n-{\bar{0}}$ es abierto.$~~\blacksquare$
Proposición. Toda bola cerrada en $\mathbb{R}^n$ es un conjunto cerrado. Demostración. Sea $\bar{x}_0\in \mathbb{R}^n$ y $r\geq0$. Probaremos que la bola cerrada $\bar{B}(x_0,r)$ es un conjunto cerrado, es decir, que su complemento $\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$ es un conjunto abierto. Sea pues $\bar{x}\in\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$. Mostraremos que existe una bola abierta $B(\bar{x},R)$ contenida en $\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$. Como $\bar{x}$ no está en la bola cerrada $\bar{B}(x_0,r)$, se tiene entonces que $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|>r$. Definamos $R=\|\bar{x}-\bar{x}_0\|-r>0$, esto equivale a $r=\|\bar{x}-\bar{x}_0\|-R$. Veamos que $B(\bar{x},R)\subset\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$
luego $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|<R+\|\bar{y}-\bar{x}_0\|$ $\therefore$ $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|-R<\|\bar{y}-\bar{x}_0\|$, es decir, $r<\|\bar{y}-\bar{x}_0\|$. Esto significa que $\bar{y}\not\in \bar{B}(\bar{x}_0,r)$, es decir, $\bar{y}\in\mathbb{R}^n-\bar{B}(\bar{x}_0,R)$.$~~\blacksquare$
Ejemplo. Muestre que el conjunto $$V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x\leq y\}$$ es un conjunto cerrado. Solución. Sea $V^{c}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x>y\}$. mostraremos que $V^{c}$ es un conjunto abierto
Sea $\overline{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V^{c}$ entonces $x_{0}>y_{0}$. Definimos $r=x_{0}-y_{0}>0$ ahora consideramos $B(\overline{v}_{0},r)$ vamos probar que $B(\overline{v}_{0},r)\subset V^{c}$ Sea $\overline{v}_{1}=(x,y)\in B(\overline{v}_{0},r)$ con la norma $\|\overline{x}\|_{1}$ se tiene $$\|\overline{v}_{1}-\overline{v}_{0}\|_{1}<r~\Rightarrow~|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<r~\Rightarrow~|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<x_{0}-y_{0}$$ por lo tanto $$x-y=x-x_{0}+y_{0}-y+x_{0}-y_{0}=x_{0}-y_{0}+x-x_{0}+y_{0}-y\geq x_{0}-y_{0}-\left(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\right)>0$$ la última desigualdad se obtiene de la propiedad $-|x-x_{0}|\leq x-x_{0}\leq |x-x_{0}|$. De esta manera $x-y>0~\Rightarrow~x>y$ y en consecuencia $v_{1}\in V^{c}$ por lo que $V^{c}$ es un conjunto abierto y por lo tanto V es un conjunto cerrado.$~\blacksquare$ Ejemplo. Sea $V={(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x+y>0}$. Demuestre que V es un conjunto abierto
Solución. Sea $\bar{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V$ entonces $x_{0}+y_{0}>0$. Definimos $r=x_{0}+y_{0}>0$ ahora consideramos $B(\bar{v},r)$ vamos probar que $B(\bar{v},r)\subset V$ Sea $\bar{v}_{1}=(x,y)\in B(\bar{v},r)$ con la norma $\|.\|_{1}$ se tiene $$\|\bar{v}-\bar{v}_{0}\|_{1}=|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<r$$ por lo tanto $$x+y=x-x_{0}-y_{0}+y+x_{0}+y_{0}=x_{0}+y_{0}+x-x_{0}-y_{0}+y\geq x_{0}-y_{0}-\left(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\right)>0$$
de esta manera $x+y>0$ y en consecuencia $\bar{v}_{1}\in V$ por lo que V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$
Ejemplo Sea $V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~y>x^{2}\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto
Solución. Sea $\bar{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V$ entonces $y_{0}>x^{2}{0}$. Definimos $r=y_{0}+x^{2}{0}>0$ y ahora consideramos $B(\bar{v},r)=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=\epsilon^{2}$
vamos probar que $B(\bar{v},r)\subset V$. Sea $\bar{v}_{1}=(x,y)\in B(\bar{v},r)$ cada punto en $B(\bar{v},r)$ cumple $$|x-x_{0}|<\epsilon~~~|y-y_{0}|<\epsilon$$ y usando la identidad algebraica $$x_{0}^{2}=x^{2}-2(x-x_{0})x_{0}-(x-x_{0})^{2}$$ tenemos que $$y>y_{0}-\epsilon=x_{0}^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon=x^{2}-2(x-x_{0})x_{0}-(x-x_{0})^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon>x^{2}-2\epsilon x_{0}-\epsilon^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon$$ Por lo tanto $$y>x^{2}-2\epsilon x_{0}-\epsilon^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon>x^{2}se~cumple~para~\epsilon=\min\left\{1,\frac{y-x_{0}^{2}}{2|x_{0}|+2}\right\}$$ de esta manera $y>x^{2}$ y en consecuencia $\bar{v}_{1}\in V$ por lo que V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$
Ejemplo. Sea $V=\{x\in\mathbb{R}~|~f(x)>0\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto
Solución. Sea $y\in V$ entonces $f(y)>0$. Definimos $\epsilon=f(y)$ y como f es continua $$si~~0<|x-y|<\delta~\Rightarrow~|f(x)-f(y)|<\epsilon=f(y)~\Rightarrow~-f(y)<f(x)-f(y)<f(y)~\Rightarrow~0<f(x)$$ por lo tanto $$\forall~x\in B(x,\delta)~se~tiene~f(x)>0$$de esta manera $B(y,\delta)\subset V$ por lo que V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$
Ejemplo. Sea $V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~a<x<b~,~c<y<d\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto.
Solución. Sea $X=(x_{1},y_{1})\in V$ entonces $a<x_{1}<b$ y $c<y_{1}<d$. Definimos $\epsilon=\min\{x_{1}-a,b-x_{1},y_{1}-c,d-y_{1}\}$ por tanto si $(x,y)\in B(X,\epsilon)$
debe ocurrir $$a<x_{1}-\epsilon<x<x_{1}+\epsilon<b~~y~~c<y_{1}-\epsilon<y<y_{1}+\epsilon<d$$ por lo tanto $$(x,y)\in V~\therefore~B(X,\epsilon)\subset V$$y en consecuencia V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$
Más adelante
Una vez clasificados los puntos de $\mathbb{R}{n}$ veremos en la siguiente entrada una caracterización topológica de conjuntos de $\mathbb{R}{n}$ con sus respectivas propiedades.
Tarea Moral
1.- Prueba que si $ \overline{x} = (x_1,…,x_n) \in \mathbb{R} ^{n}$, entonces $|x_i| \leq \left\| \overline{x} \right\|$, $|x_i| \leq \left\| \overline{x} \right\| _{1}$ y $|x_i| \leq \left\| \overline{x} \right\| _{\infty}$.
2.-Demuestra que dados $a_1,…,a_n, b_1,…, b_n \in\mathbb{R}$ tales que $a_i \leq b_i$ para $i=1,..,n$, el rectángulo $[a_1,b_1] \times \cdot \cdot \cdot, [a_n,b_n]$ es un conjunto cerrado.
3.- Demuestra que $(a_1,b_1) \times \cdot \cdot \cdot, (a_n,b_n)$ es un conjunto abierto.
4.- Si $A= ([0,1] \times [0,1]) \cap (\mathbb{Q} \times \mathbb{Q})= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | x,y \in \mathbb{Q} y 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \}$
5.- Para el conjunto $A=\{(m,0) \in \mathbb{R}^2 | m \in \mathbb{Z} \}$ indica quien es:
El concepto de $\| \: \|$ (norma) nos da una noción de medida de un vector, la cual, generaliza la idea geométrica de distancia en la geometría euclidiana. También ayudará a tener una noción de distancia entre dos vectores en $\mathbb{R}$ o más generalmente en $\mathbb{R}^n$, es lo que nos permite hablar de limite o de convergencia. Consideremos la noción común de distancia entre dos puntos en $\mathbb{R}^3$. Si $\bar{x}=(x_1,x_2,x_3),~~~\bar{y}=(y_1,y_2,y_3)$ $$\|\bar{x}-\bar{y}\|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}$$ Esta distancia la denominamos métrica euclidiana y la generalizamos en $\mathbb{R}^n$ en la siguiente definición. Definición. Sean $\bar{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ y $\bar{y}=(y_1,\ldots,y_n)$ elementos cualesquiera de $\mathbb{R}^n$ definimos la distancia euclidiana entre ellos como $$d(\bar{x},\bar{y})=\|\bar{x}-\bar{y}\|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\ldots+(x_n-y_n)^2}$$ La función $d:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow\mathbb{R}$ se denomina distancia o métrica euclidiana.
Proposición. Para cualesquiera vectores $\bar{x},\,\bar{y},\,\bar{z}\,\in\,\mathbb{R}^n$ se tiene: (a) $d(\bar{x},\bar{y})\geq 0$ (b) $d(\bar{x},\bar{y})=d(\bar{y},\bar{x})$ (c) $d(\bar{x},\bar{y})\leq d(\bar{x},\bar{z})+d(\bar{z},\bar{y})$ (d) $d(\bar{x},\bar{y})=0~~ \Rightarrow ~~ \bar{x}=\bar{y}$ Demostración. (a) Como $d(x,y)=\|\bar{x}-\bar{y}\|\geq 0$ entonces $d(\bar{x},\bar{y})\geq 0$ tambien si $d(x,y)=0 \quad \Rightarrow \quad \|\bar{x}-\bar{y}\|=0 \quad \Rightarrow \quad \bar{x}=\bar{y}$ (b) $d(\bar{x},\bar{y})=\|\bar{x}-\bar{y}\|=\|\bar{y}-\bar{x}\|=d(\bar{y},\bar{x})$ (c) $d(\bar{x},\bar{y})=\|\bar{x}-\bar{y}\|= \|\bar{x}-\bar{z}+\bar{z}-\bar{y}\|\leq \|\bar{x}-\bar{z}\|+\|\bar{z}-\bar{y}\| = d(\bar{x},\bar{z})+d(\bar{z},\bar{y}).~~\blacksquare$ Proposición. La función $$d_{1}(x,y)=|x_{1}-y_{1}|+\cdots+|x_{n}-y_{n}|$$ donde $\bar{x}=(x_{1},\cdots,x_{n})$ y $\bar{y}=(y_{1},\cdots,y_{n})$ $\in \mathbb{R}^{n}$, es una métrica para el espacio euclideano $\mathbb{R}^{n}$. Demostración. Las propiedades (a), (b) son inmediatas y para la propiedad (c) tenemos $$|x_{i}-y_{i}|\leq|x_{i}|+|y_{i}|~~~\forall~i=1,…,n$$ sumando ambos lados de estas desigualdades para $i=1,…,n$ obtenemos \begin{align*}d_{1}(x,z)&=\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-z_{i}|\\&=\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}+y_{i}-z_{i}|\\&\leq\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|+|y_{i}-z_{i}|\\&=\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|+\sum_{i=1}^{n}|y_{i}-z_{i}|\\&= d_{1}(x,y)+d_{1}(y,z)\end{align*} y en consecuencia $d_{1}$ es una métrica.$~~ \blacksquare$ Ejemplo. En $\mathbb{R}^{n}$ son métricas \begin{align*}d_{p}(\bar{x},\bar{y})&=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}},~~~(p\geq 1)\\d_{\infty}(\bar{x},\bar{y})&=\max_{1\leq i\leq n}~|x_{i}-y_{i}|.~~ \blacksquare \end{align*}
Más adelante
En la siguiente entrada estudiaremos como las nociones topológicas heredadas en $\mathbb{R}^n$ nos ayudan a entender las características de proximidad y continuidad.
Tarea moral
1.- Sea $(V, \left\| \cdot \right\|)$ un espacio normado, Prueba que la función $d(v,w)= \left\| v-w \right\|$ es una métrica en $V$.
2.- Describe los conjuntos $\overline{B}= { x\in \mathbb{R}^2 : \left\| x \right\|_p \leq 1 } $ para $p=1,2, \infty $. Haz un dibujo de cada uno de ellos.
3.- Sea $V$ un espacio vectorial distinto de ${0}$. Prueba que no existe ninguna norma en $V$ que induzca la métrica discreta, es decir, no existe ninguna norma en $V$ tal que $\left\| v-w\right\| =\begin{cases}o,siv=w\\ 1 si, v\neq w\end{cases}$
4.- Prueba que si $x_1,…, x_n \in \mathbb{R}^n$ entonces $\left\| x_1 + … + x_n \right\| \leq \left\| x_1 \right\| + … + \left\| x_n \right\|$
5.- Sean $\overline{x}, \overline{y}\in \mathbb{R}^{n}$. Prueba que:
$\left\| \overline{x}+\overline{y}\right\|=\left\|x\right\|+\left\|y\right\|$ si y sólo si existe $\lambda \in \mathbb{R}$ con $\lambda > 0$, tal que $\overline{x}=\lambda \overline{y}$.
En este sección estudiamos el espacio euclideo n-dimensional, espacio que sería la base de todo el desarrollo posterior.
Definición. Como conjunto, $\mathbb{R}^{n}$ es la colección de todas las n-adas ordenadas de números reales. Es decir $$\mathbb{R}^{n}={(x_{1},x_{2},…,x_{n})|x_{i}\in \mathbb{R},~i=1,2,…,n}$4
Notación Denotamos a un elemento de $\mathbb{R}^{n}$ por $\overline{x}=(x_{1},x_{2},…,x_{n})$\Dados dos elementos $\overline{x},\overline{y}\in \mathbb{R}^{n}$ decimos que $\overline{x}=\overline{y}\Leftrightarrow x_{i}=y_{i}$ $\forall i=1,2,…,n$. Frecuentemente a los elementos de $\mathbb{R}^{n}$ se les denomina vectores, y con las operaciones usuales (suma y producto por un escalar), definidas como Definición.La suma $+:\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ para dos elementos $\overline{x},\overline{y}\in\mathbb{R}^{n}$ se define asi: $$\overline{x}+\overline{y}=(x_{1},x_{2},…,x_{n})+(y_{1},y_{2},…,y_{n})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},…,x_{n}+y_{n})$$ El producto $\overline{x}\in\mathbb{R}^{n}$ por un escalar $a\in\mathbb{R}$ como $$\alpha(x_{1},x_{2},…,x_{n})=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},…,\alpha x_{n})$$ $\mathbb{R}^{n}$ es un espacio vectorial. La base canónica de dicho espacio vectorial son los vectores:$$e_{1}=(1,0,0,…,0)$$$$e_{2}=(0,1,0,…,0)$$$$.$$$$.$$$$.$$$$e_{n}=(0,0,0,…,1)$$ ya que si $\overline{x}=(x_{1},x_{2},…,x_{n})$, se tiene que $\overline{x}=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+…+x_{n}e_{n}$
Estructura Geométrica
Para dotar de una estructura geométrica al espacio $\mathbb{R}^{n}$ (que incluya los conceptos de distancia, ángulo y ortogonalidad) debemos dotar a $\mathbb{R}^{n}$ de un producto escalar. Definición. Sea E un espacio vectorial, un producto escalar en E es una función de $E\times E$ en $\mathbb{R}$ que a cada par de vectores $\overline{x},\overline{y}$ le asocia un número $$\langle \overline{x},\overline{y}\rangle$$ que satisface las siguientes propiedades:
(a) $\langle \overline{x},\overline{x}\rangle>0$ si $\overline{x}\neq 0$ (b) $\langle \overline{x},\overline{y}\rangle=\langle \overline{y},\overline{x}\rangle$ (c) $ \langle \lambda \overline{x},\overline{y}\rangle=\lambda\langle \overline{x},\overline{y}\rangle$ (d) $\langle \overline{x}+\overline{y},\overline{z}\rangle=\langle \overline{x}+\overline{z}\rangle+\langle \overline{y},\overline{z}\rangle$ Ejemplo. Sea $C[a,b]$ el espacio lineal de todas las funciones reales continuas continuas en el intervalo $[a,b]$. Definimos $\langle f,g\rangle$ mediante la fórmula $$\langle f,g\rangle=\int_{a}^{b}f(t)g(t)dt.$$ Vamos a probar que $\langle f,g\rangle$ define un producto escalar en $c([a,b])$ (a) Tenemos que $$\langle f,g\rangle=\int_{a}^{b}f(t)\cdot f(t)~dt=\int_{a}^{b}f^{2}(t)~dt~\geq 0~$$ la última desigualdad la justificamos usando las propiedades de la integral $\displaystyle{f\geq 0~\Rightarrow~\int_{a}^{b}f~\geq 0~}$ (b) Tenemos que $$\langle f,g\rangle=\int_{a}^{b}f(t)g(t)~dt=\int_{a}^{b}g(t)f(t)~dt=\langle g,f\rangle$$ (c) Tenemos que $$\langle \lambda f,g\rangle=\int_{a}^{b}\lambda~f(t)~g(t)~dt=\lambda~\int_{a}^{b}f(t)~g(t)~dt=\lambda~\langle f,g\rangle$$ (d) Tenemos que \begin{align*} \langle f+g,h\rangle & =\int_{a}^{b}[f(t)+g(t)]h(t)~dt \\ &=\int_{a}^{b}[f(t)h(t)+g(t)h(t)]~dt \\ &=\int_{a}^{b}f(t)h(t)~dt+\int_{a}^{b}g(t)h(t)~dt \\ &=\langle f,h\rangle+\langle g,h\rangle \end{align*} en este caso $\langle f,g\rangle$ es un producto escalar para $C[a,b]$.$\blacksquare$
El espacio normado $\mathbb{R}^{n}$
Definición. Un producto escalar $\langle,\rangle$ en un espacio vectorial E da lugar a una noción de longitud de un vector $\overrightarrow{x}\in E$, llamada su norma, y definida como $$|\overline{x}|=\sqrt{\langle \overline{x},\overline{x}\rangle}$$ En general, una norma en un espacio vectorial E es una aplicación $x\rightarrow |x|$ de E en $(0,+\infty)$ que satisface las siguientes propiedades: (1) $|\overline{x}|\geq 0$ para toda $\overline{x}\in\mathbb{R}^{n}$ y $|\overline{x}|=0$ si y sólo si $\overline{x}=\overline{0}$ (2) $|\lambda \overline{x}|=\lambda |\overline{x}|$ para toda $\overline{x}\in\mathbb{R}^{n}$ y $\lambda\in \mathbb{R}$ (3) $|x+y|\leq |x|+|y|$ para cualesquiera $\overline{x},\overline{y}\in\mathbb{R}^{n}$ (Desigualdad Triangular) Al par $(E,|.|)$ se le denomina espacio normado. Ejemplo. Veamos que $$|\overline{x}|=\sqrt{\langle \overline{x},\overline{x}\rangle}$$ define una norma. Solucion. (1) Tenemos que $$|\overline{x}|=\sqrt{\langle \overline{x},\overline{x}\rangle}\geq 0$$ la última igualdad la justificamo así: $\langle \overline{x},\overline{x}\rangle>0~\Rightarrow~\sqrt{\langle \overline{x},\overline{x}\rangle}>0$ (2) Tenemos que \begin{align*} |\lambda \overline{x}| &=\sqrt{\langle \lambda\overline{x},\lambda\overline{x}\rangle} \\ &=\sqrt{\lambda^{2}\langle \overline{x},\overline{x}\rangle} \\ &=|\lambda|\langle \overline{x},\overrightarrow{x}\rangle\\ &=|\lambda|~|\overline{x}| \end{align*} (3) Para la desigualdad del triángulo necesitamos antes probar un resultado $\fbox{Lema: Desigualdad de Caychy}$ Si E es un espacio vectorial entonces $\forall~\overline{x},\overline{y}\in E$ se cumple $$|\langle\overline{x},\overline{y}\rangle|\leq |\overline{x}|~|\overline{y}|$$ Demostración. Supongamos que $\overline{x},\overline{y}\neq 0$ y definimos $$\overline{u}=\frac{\overline{x}}{\|\overline{x}\|}~~\overline{v}=\frac{\overline{y}}{\|\overline{y}\|}$$ Tenemos entonces que \begin{align*} \|\overline{u}\| & =\left\|\frac{\overline{x}}{|\overline{x}|}\right\|=\frac{\|\overline{x}\|}{\|\overline{x}\|}=1 \\ \|\overline{v}\| & =\left\|\frac{\overline{y}}{\|\overline{y}\|}\right\|=\frac{\|\overline{y}\|}{\|\overline{y}\|}=1 \end{align*} Por tanto \begin{align*} 0\leq \|\overline{u}-\overline{v}\|^{2} & =\langle\overline{u}-\overline{v},\overline{u}-\overline{v}\rangle \\ & =\langle\overline{u}-\overline{u}\rangle-2\langle\overline{u}-\overline{v}\rangle+\overline{v}-\overline{v} \\ & =\|\overline{u}\|^{2}-2\langle\overline{u}-\overline{v}\rangle+\|\overline{u}\|^{2} \\ & =1-2\langle\overline{u},\overline{v}\rangle+1 \\ & =2-2\langle\overline{u},\overline{v}\rangle \end{align*} Por lo tanto \begin{align*} 0\leq 2-2\langle\overline{u},\overline{v}\rangle&~\Rightarrow~2\langle\overline{u},\overline{v}\rangle\leq 2 \\ &~\Rightarrow~\langle\overline{u},\overline{v}\rangle\leq 1 \\ &~\Rightarrow~\left\langle\frac{\overline{x}}{|\overline{x}|},\frac{\overline{y}}{\|\overline{y}\|}\right\rangle\leq 1 \\ &~\Rightarrow~\frac{1}{\|\overline{x}\|~\|\overline{y}\|}\langle\overline{x},\overline{y}\rangle\leq 1 \\ &~\Rightarrow~\langle\overline{x},\overline{y}\rangle\leq\|\overline{x}\|~\|\overline{y}\| \end{align*} Reemplazando $\overline{x}$ por $-\overline{x}$ se obtiene que \begin{align*} \langle\overline{-x},\overline{y}\rangle\leq\|-\overline{x}\|~\|\overline{y}\| & ~\Rightarrow~-\langle\overline{x},\overline{y}\rangle\leq~|-1|~|\overline{x}|~|\overline{y}| \\ &~\Rightarrow~\langle\overline{x},\overline{y}\rangle\geq~-\|\overline{x}\|~\|\overline{y}\| \end{align*} con lo que queda demostrada la desigualdad.$~\blacksquare$ Regresando ahora a la desigualdad triangular tenemos que \begin{align*} \|\overline{x}+\overline{y}\|=\sqrt{\langle\overline{x}+\overline{y},\overline{x}+\overline{y}\rangle} & ~\Rightarrow~\|\overline{x}+\overline{y}\|^{2}=\langle\overline{x}+\overline{y},\overline{x}+\overline{y}\rangle \\ & ~\Rightarrow~\|\overline{x}+\overline{y}\|^{2}=\langle\overline{x},\overline{x}\rangle+2\langle\overline{x},\overline{y}\rangle+\langle\overline{y},\overline{y}\rangle \\ &~\Rightarrow~\|\overline{x}+\overline{y}\|^{2}=\|\overline{x}\|^{2}+2\langle\overline{x},\overline{y}\rangle+|\overline{y}|^{2} \\ & ~\Rightarrow~\|\overline{x}+\overline{y}\|^{2}\leq \|\overline{x}\|^{2}+2\|\overline{x}\|~\|\overline{y}\|+\|\overline{y}\|^{2} \\ & ~\Rightarrow~\|\overline{x}+\overline{y}\|^{2}\leq \left(\|\overline{x}\|+\|\overline{y}\|\right)^{2} \end{align*} Y tomando raíces en ambos miembros de la desigualdad, obtenemos el resultado.$~\blacksquare$
Otras normas en $\mathbb{R}^n$
Ejemplo.
$\fbox{La Norma 1 $\|\overline{x}\|_{1}$}$ Definimos $\|\\,\|_1:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ por $\|\,\|_1 = |x_1|+\ldots+|x_n|$ $\forall \, \bar{x} \in \mathbb{R}^n$. Vamos a probar que $\|\,\|_1 $ es una norma en $\mathbb{R}^n$ (a) Dado que $\forall \, x \in \mathbb{R}$ $|x|\geq 0$, se tiene $\|\,\|_1 = |x_1|+\ldots+|x_n|\geq 0$ $\forall \, \bar{x} \in\mathbb{R}^n$. (b) Si $\alpha \in \mathbb{R}$ y $\bar{x}=(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n$, entonces \[\begin{array}{ll} |\alpha\bar{x}| & =|\alpha x_1|+ \ldots + |\alpha x_n|\\ \, & =|\alpha||x_1|+ \ldots + |\alpha||x_n|\\ \, & = |\alpha|(|x_1|+ \ldots + |x_n|)\\ \, & = |\alpha||\bar{x}| \quad \forall \, \bar{x}\in\mathbb{R}^n\ \end{array}\] (c) Si $\bar{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ y $\bar{y}=(y_1,\ldots,y_n)$ son elementos de $\mathbb{R}^n$ \[\begin{array}{ll} |\bar{x}+\bar{y}| & =|x_1+y_1|+ \ldots + |x_n+y_n|\\ \, & \leq|x_1|+|y_1|+ \ldots + |x_n|+|y_n|\\ \, & = |x_1|+ \ldots +|x_n|+ \ldots + |y_1|+ \ldots +|y_n|\\ \, & = |\bar{x}|_1 + |\bar{y}|_1 \end{array}\] Si $|\bar{x}|_1=0~\Rightarrow~|x_1|+ \ldots+|x_n|=0$ y como cada $|x_i|\geq 0$ $i=1,\ldots,n$ entonces $|x_1|+ \ldots +|x_n|=0~\Rightarrow~|x_i|= 0$ $i=1,\ldots,n~~~\therefore~~~\bar{x}=0$.$~~\blacksquare$ Ejemplo. $\fbox{La Norma infinito $\|\overline{x}\|_{\infty}$}$ Consideremos ahora la función $\|\,\|_\infty:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $$\boxed{\|\overline{x}\|_\infty=\max{|x_1|+\ldots +|x_n|}~~\forall x\in\mathbb{R}^n}$$ Vamos a probar que la función $\|\,\|_\infty:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es una norma en $\mathbb{R}^n$, que se denomina norma del máximo o norma cúbica. (a) Puesto que $|x_i|\geq 0~~i=1,\ldots,n$\ entonces $$\max{|x_1|+\ldots +|x_n|}\geq0$$ es decir $$\|\bar{x}\|_\infty \geq 0$$ (b) Sea $\alpha\in\mathbb{R}$ y $\bar{x}\in\mathbb{R}^n$. Se tiene entonces que $$\|\alpha \bar{x}\|=\max\{|\alpha x_1|,\ldots,|\alpha x_n|\}=\max\{|\alpha|| x_1|,\ldots,|\alpha||x_n|\}$$ Supongamos ahora que $$|x_{i\alpha}|=\max \{ |x_1|, \ldots, |x_n| \}$$ $\therefore~~~|x_{i\alpha}|\geq |x_i|,~~~\forall~ i=1,\ldots,n~~~\therefore~~~|\alpha||x_{i\alpha}|\geq |\alpha||x_i|,~~\forall ~~ i=1,\ldots,n$ $\therefore$ $|\alpha x_{i\alpha}|\geq |\alpha x_i|$ $\forall~~i=1,\ldots,n$ por lo que $$|\alpha||x_{i\alpha}|= |\alpha x_{i\alpha}|=\max\{|\alpha x_1|,\ldots,|\alpha x_n|\}=\max\{|\alpha|| x_1|,\ldots,|\alpha||x_n|\}$$ es decir $$|\alpha|\max \{ |x_1|, \ldots, |x_n| \} = \max\{|\alpha x_1|,\ldots,|\alpha x_n|\}=\max\{|\alpha|| x_1|,\ldots,|\alpha||x_n|\}$$ $\therefore~~~|\alpha|\|\bar{x}\|_{\infty}=\|\alpha \bar{x}\|_{\infty}$ (c) $\|\bar{x}+\bar{y}\|_{\infty}=\max\{|x_1+y_1|,\ldots,|x_n+y_n|\}$ Sea $$|x_{1\alpha}+y_{1\alpha}|=\max\{|x_1+y_1|,\ldots,|x_n+y_n|\}$$ como $$|x_{1\alpha}+y_{1\alpha}|\leq|x_{1\alpha}|+|y_{1\alpha}|$$ se tiene que $$\max\{|x_1+y_1|,\ldots,|x_n+y_n|\}\leq|x_{1\alpha}|+|y_{1\alpha}|$$ pero por definición de $$\max\{|x_1|+\ldots+|x_n|\}~~y~~ \max\{|y_1|+\ldots +|y_n|\}$$ también se tiene que $$|x_{1\alpha}|\leq \max\{|x_1|+\ldots +|x_n|\}~~~y~~~|y_{1\alpha}|\leq \max\{|y_1|+\ldots+|y_n|\}$$ luego $$\max\{|x_1+y_1|,\ldots,|x_n+y_n|\} \leq \max\{|x_1|+\ldots +|x_n|\} + \max\{|y_1|+\ldots+|y_n|\}$$ o sea $$\|\bar{x}+\bar{y}\|_{\infty} \leq\|\bar{x}\|_{\infty}+\|\bar{y}\|_{\infty}.~~\blacksquare$$ Ejemplo. Norma Euclidiana Consideremos ahora la función $\|\,\|_\infty:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $$|x|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$$ Vamos a mostrar que es una norma en $\mathbb{R}^n$ (a) $\|\bar{x}\|=\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2} \geq 0$ pues es la raíz positiva $\therefore$ $\|\bar{x}\|\geq 0$. (b)
\[\begin{array}{ll} \|\bar{x}+\bar{y}\|^2 & = (x_1+y_1)^2 + \ldots + (x_n+y_n)^2\\ \, & =x_1^2+2x_1y_1+y_1^2 + \ldots + x_n^2+2x_ny_n+y_n^2\\ \, & =x_1^2+\ldots+ x_n^2 +2(x_1y_1+\ldots +x_ny_n )+ y_1^2 + \ldots +y_n^2\\ \, & = \|\bar{x}\|^2+2(x_1y_1+\ldots +x_ny_n )+ \|\bar{y}\|^2 \end{array}\] Aplicando la desigualdad de Cauchy-Shwarz $$x_1y_1+\ldots+x_ny_n \leq \|\bar{x}\|~\|\bar{y}\|$$ se tiene que $$\|\bar{x}\|^2+2(x_1y_1+\ldots+x_ny_n)+\|\bar{y}\|^2 \leq \|\bar{x}\|^2+2~\|\bar{x}\|~\|\bar{y}\|+ \|\bar{y}\|^2 =\left [\|\bar{x}\|+\|\bar{y}\|\right]^2$$ $\therefore~~~\|\bar{x}+\bar{y}\|^2\leq \left[\|\bar{x}\|+\|\bar{y}\|\right]^2$ y al sacar raiz obtenemos $\|\bar{x}+\bar{y}\|\leq \|\bar{x}\|+\|\bar{y}\|$ (d) Si $\|\bar{x}\|=0$ se tiene entonces $\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}=0$ es decir $x_1^2+\ldots+x_n^2=0$ pero $x^2\geq 0~~\therefore~~x_i^2=0~~\forall~ i=1,\ldots,n$ $\therefore~~\bar{x}=0$ $\blacksquare$ El concepto general de Norma en $\mathbb{R}^n$. Las propiedades de la norma euclidiana nos ayudan para definir la noción abstracta de Norma. Definición.Una norma en $\mathbb{R}^n$ es cualquier función $\|\,\|:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ que satisface las siguientes propiedades que denominaremos Axiomas de Norma para cualesquiera $\bar{x},\bar{y}\,\in\,\mathbb{R}^n$ y toda $\alpha\,\in\,\mathbb{R}$ se cumple: (a) $\|\bar{x}\|\geq 0~~\|0\|=0$ (b) $\|\alpha\bar{x}\|=|\alpha|~\|\bar{x}\|$ (c) $\|\bar{x}+\bar{y}\|\leq \|\bar{x}\|+\|\bar{y}\|$ (d) $\|\bar{x}\|=0~~\Rightarrow~\bar{x}=0$ Proposición. Para toda norma $|\,|:\mathbb{R}^n \rightarrow\mathbb{R}$ se cumple: (a) $\|-\bar{x}\|=\|\bar{x}\|~~\forall \, x \in \mathbb{R}^n$ (b) $|\|\bar{x}\|-\|\bar{y}\||\leq \|\bar{x}-\bar{y}\|~~\forall \, \bar{x},\bar{y} \in \mathbb{R}^n$ Proposición. (a) $\|-\bar{x}\|=|-1|~\|\bar{x}\|=\|\bar{x}\|$ (b) $0\leq \|\bar{x}\|=\|\bar{x}-\bar{y}+\bar{y}\|\leq\|\bar{x}-\bar{y}\|+\|\bar{y}\|$ $\therefore$ $\|\bar{x}\|-\|\bar{y}\|\leq\|\bar{x}-\bar{y}\|$ Intercambiando $\bar{x}$ por $\bar{y}$ obtenemos $\|\bar{y}\|-\|\bar{x}\|\leq\|\bar{y}-\bar{x}\|=\|\bar{x}-\bar{y}\|$ $\therefore$ $|\|\bar{y}\|-\|\bar{x}\||\leq \|\bar{x}-\bar{y}\|.~~\blacksquare$
Ejemplo. Sea $I=[0,1]$. Demsotrar que $\|f\|=\sup {|f(x)|}$. Es una norma de $C[0,1]$ Solución. (a) Recordar que toda función real continua definida en un intervalo cerrado es acotada, por tanto $\|f\|$ está bien definida. (b) Puesto que $|f(x)|\geq 0~\forall~x\in I$ entonces $\|f\|\geq 0$ y además, $\|f\|= 0$ sii $|f(x)|= 0~\forall~x\in I$, i.e. sii $f=0$. (c) Recordemos un resultado: Sean $a$ y $b$ números reales tales que $a\leq b+\varepsilon$. Demostrar que $a \leq b$ Supongase que $a>b$ entonces $a=b+\delta,~~\delta >0$ tomamos $$\displaystyle\frac{\delta}{2}=\varepsilon$$ entonces $$a > b+\delta > b +\displaystyle\frac{\delta}{2}=b+\varepsilon~ \underset{\circ}{\bigtriangledown}$$ $\therefore~a\leq b$ ahora sea $\varepsilon > 0$. Entonces existe $x_0\in I$ tal que \[\begin{array}{ll} |f+g|& = \sup{|f(x)+g(x)|}\\ \, & \leq |f(x_0)+g(x_0)|+\varepsilon\\ \, & \leq |f(x_0)|+|g(x_0)|+\varepsilon\\ \, & \leq \sup{|f(x)|} +\sup{|g(x)|}+\varepsilon\\ \, & = |f|+|g| +\varepsilon \end{array}\] $\therefore~~\|f+g\| \leq \|f\|+\|g\|$ (d) Sea $k\in \mathbb{R}$ entonces \[\begin{array}{ll} \|kf\| & = \sup{|kf(x)|}\\ \, & = \sup{|k||f(x)|}\\ \, & = |k|\sup{|f(x)|}\\ \, & = |k|\|f(x)\|.~~\blacksquare\\ \end{array}\] Ejemplo. Demostrar que $\|f\|=\displaystyle\int_0^1|f(x)|dx$ es una norma de $C[0,1]$ (funciones continuas en el intervalo $[0,1]$). Solución (a) $\|f\|=\displaystyle\int_0^1|f(x)|dx\geq 0$ puesto que $$|f(x)|\geq 0\Rightarrow \displaystyle\int_0^1|f(x)|dx \geq 0$$ (b) Tenemos que \[\begin{array}{ll} \|kf\|& =\displaystyle\int_0^1|kf(x)|dx\\ \, & =\displaystyle\int_0^1|k||f(x)|dx\\ \, & =|k|\displaystyle\int_0^1|f(x)|dx\\ \, & = |k|\|f\| \end{array}\] (c) Tenemos que \[\begin{array}{ll} \|f+g\|& =\displaystyle\int_0^1|f(x)+g(x)|dx\\ \, & \leq \displaystyle\int_0^1[|f(x)|+|g(x)|]dx\\ \, & =\displaystyle\int_0^1|f(x)|dx + \displaystyle\int_0^1|g(x)|dx\ \, & = \|f\|+ \|g\|.~~\blacksquare \end{array}\] Ejemplo. Definición. Sea $\|\,\|_{p}:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ dada asi: $$\|x\|_{p}=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}$$ Vamos a demostrar que $|x|_{p}$ es una norma Solución. (a) Puesto que $|x_i|\geq 0,~~i=1,\ldots,n$ entonces $$\sum_{1}^{n}|x_i|^{p} \geq 0~~ \therefore \left( \sum_{1}^{n}|x_i|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\geq 0~~ \therefore \|x\|_{p}\geq 0$$ (b) Sea $\alpha\in\mathbb{R}$ y $\bar{x}\in\mathbb{R}^n$. Se tiene entonces que $$\|\alpha \bar{x}\|_{p}=\left(\sum_{1}^{n}|\alpha x_i|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}=\left(|\alpha|^{p}\sum_{1}^{n}| x_i|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}=|\alpha|\left(\sum_{1}^{n}| x_i|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}=|\alpha|~\|x\|_{p}$$ (c) Tenemos que $$\|\overline{x}\|_{p}=\left[|x_{1}|^{p}+…+|x_{n}|^{p}\right]^{\frac{1}{p}}$$ Ahora procederemos a demostrar que cumple con la propiedad de la desigualdad del triángulo, es decir que para $\overline{x},\overline{y}\in \mathbb{R}^{n}$ $$\|\overline{x}+\overline{y}\|_{p}\leq \|\overline{x}\|_{p}+\|\overline{y}\|_{p}$$ Para ello primero procederemos a demostrar lo siguiente Proposición. Sean p,q números reales tales que $p,q>1$ y $\displaystyle{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$ entonces $$|ab|\leq \frac{|a|^{p}}{p}+\frac{|b|^{q}}{q}$$ Demostración. Consideremos la función $\varphi:[0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $\varphi(t)=t^{m}-mt$ con $m=\frac{1}{p}$ se tiene que $\varphi^{\prime}(t)=mt^{m-1}-m=m\left(t^{m-1}-1\right)$ por lo que $\varphi^{\prime}(t)=0\Leftrightarrow m\left(t^{m-1}-1\right)=0\Leftrightarrow t=1$ por lo tanto $t=1$ es un punto crítico de la función, ahora volvemos a derivar $\varphi^{\prime\prime}(t)=m(m-1)t^{m-2}$ que en $t=1$ es $<0$ por lo tanto en $t=1$, $\varphi$ alcanza un punto máximo $\therefore$ $\varphi(t)\leq \varphi(1)\Rightarrow t^{m}-mt\leq mt-m\Rightarrow t^{m}-1\leq m(t-1)$ Ahora hacemos $\displaystyle{t=\frac{|a|^{p}}{|b|^{q}}}$ y sustituimos $$\displaystyle{\left(\frac{|a|^{p}}{|b|^{q}}\right)^{\frac{1}{p}}-1\leq \frac{1}{p}\left(\frac{|a|^{p}}{|b|^{q}}-1\right)}$$ multiplicando ambos miembros de la desigualdad por $|b|^{q}$ se tiene que $$\left(|b|^{q}\right)\left(\left(\frac{|a|^{p}}{|b|^{q}}\right)^{\frac{1}{p}}-1\right)\leq \left(|b|^{q}\right)\left(\frac{1}{p}\left(\frac{|a|^{p}}{|b|^{q}}-1\right)\right)$$ lo que nos queda $$|a||b|^{q-\frac{q}{p}}-|b|^{q}\leq \frac{|a|^{p}}{p}-|b|^{q}\Rightarrow |a||b|^{q-\frac{q}{p}}\leq \frac{|a|^{p}}{p}-\frac{|b|^{q}}{p}+|b|^{q}$$ como $\displaystyle{q-\frac{q}{p}=1}$ y $\displaystyle{-\frac{|b|^{q}}{p}+|b|^{q}=\frac{|b|^{q}}{q}}$ tenemos entonces $$|ab|\leq \frac{|a|^{p}}{p}+\frac{|b|^{q}}{q}.~~\square$$ Probaremos la desigualdad de Holder $$\boxed{\sum_{k=1}^{n}|a_{k}b_{k}|\leq \left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right]^{\frac{1}{q}}}$$ Demostración. Sea $\displaystyle{A=\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}}$ y $\displaystyle{B=\left(\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)^{\frac{1}{q}}}$ y definimos $\displaystyle{a^{\prime}_{k}=\frac{a_{k}}{A}}$ y $\displaystyle{b^{\prime}_{k}=\frac{b_{k}}{B}}$ usando la desigualdad probada anteriormente se tiene \begin{align*}|a^{\prime}_{k}~b^{\prime}_{k}|&\leq \frac{|a^{\prime}_{k}|^{p}}{p}+\frac{|b^{\prime}_{k}|^{q}}{q}\\&\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}|a^{\prime}_{k}b^{\prime}_{k}|\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{|a^{\prime}_{k}|^{p}}{p}+\frac{|b^{\prime}_{k}|^{q}}{q}\\&=\sum_{k=1}^{n}\frac{|a^{\prime}_{k}|^{p}}{p}+\sum_{k=1}^{n}\frac{|b^{\prime}_{k}|^{q}}{q}\\&=\frac{1}{p}\sum_{k=1}^{n}|a^{\prime}_{k}|^{p}+\frac{1}{q}\sum_{k=1}^{n}|b^{\prime}_{k}|^{q}\\&=\frac{1}{p}\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{a_{k}}{A}\right]^{p}+\frac{1}{q}\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{b_{k}}{B}\right]^{q}\\&=\frac{1}{p}\frac{1}{A^{p}}\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}+\frac{1}{q}\frac{1}{B^{q}}\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\end{align*} como $$A^{p}=\left(\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\right)^{p}=\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)~~~y~~~ B^{q}=\left(\left(\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)^{\frac{1}{q}}\right)^{q}=\left(\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)$$ se tiene que \begin{align*}\frac{1}{p}\frac{1}{A^{p}}\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}+\frac{1}{q}\frac{1}{B^{q}}\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}&=\frac{1}{p}\frac{1} {\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)}\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}+\frac{1}{q}\frac{1}{\left(\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)}\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\\&=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\end{align*} Por lo tanto \begin{align*}\sum_{k=1}^{n}|a^{\prime}{k}b^{\prime}{k}|\leq 1 &\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}|\frac{a_{k}}{A}\frac{b_{k}}{B}|\leq1\\&\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}|a_{k}b_{k}|\leq AB\\ &\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)^{\frac{1}{q}}\end{align*} Ahora probaremos la desigualdad de Minkowski $$\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\leq \left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{p}}+\left[\sum_{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right]^{\frac{1}{q}}$$ Tenemos que \begin{align*}\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}=\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p-1}|a_{k}+b_{k}|&\leq \sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p-1}\left(|a_{k}|+|b_{k}|\right)\\&=\left( \sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p-1}\right)\left(|a_{k}|\right)+\left( \sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p-1}\right)\left(|b_{k}|\right)\end{align*} Aplicando la desigualdad de Holder a cada sumando tenemos que \begin{align*}\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p-1}\right)\left(|a_{k}|\right)&\leq \left[\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{q(p-1)}\right]^{\frac{1}{q}}\\&=\left[\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{q}}\end{align*} \begin{align*}\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p-1}\right)\left(|b_{k}|\right)&\leq \left[\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{q(p-1)}\right]^{\frac{1}{q}}\\&=\left[\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{q}}\end{align*} Por lo tanto $$\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\leq \left[\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{q}}+\left[\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{q}}$$ Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por $$\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{-\frac{1}{q}}$$ obtenemos \begin{align*}\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right)\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{-\frac{1}{q}}&=\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right)^{1-\frac{1}{q}}\\&=\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\end{align*} $$\left[\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{q}}\left(\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{-\frac{1}{q}}\right)=\left[\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}$$ $$\left[\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{\frac{1}{q}}\left(\left[\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right]^{-\frac{1}{q}}\right)=\left[\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}$$ Por lo tanto $$\left(\sum_{k=1}^{n}|a_{k}+b_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\leq \left[\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}+\left[\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{p}\right]^{\frac{1}{p}}$$ Por lo tanto $$\|\overline{x}+\overline{y}\|_{p}\leq \|\overline{x}\|_{p}+\|\overline{y}\|_{p}~\blacksquare$$
Ejemplo. Espacios $\ell_{p}$
Definición. Dado $\bar{x}\in\mathbb{R}^{n}$ definimos $$\|\bar{x}\|_{p}=\left(\sum_{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}~~si~~p\in[1,\infty)$$ Proposición. Dada $p\in[1,\infty)$, consideramos el conjunto $\ell_{p}$ de todas las sucesiones $(x_{k})$ de números reales tales que la serie $$\sum_{k=1}^{\infty}|x_{k}|^{p}$$converge. Entonces la función $$\|(x_{k})\|_{p}=\left(\sum_{k=1}^{\infty}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}$$es una norma en $\ell_{p}$ Demostración. (a) Tenemos $$\|x_{k}\|_{p}\geq0\Leftrightarrow\left(\sum_{k=1}^{\infty}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\geq0\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{\infty}|x_{k}|^{p}\geq0\Leftrightarrow|x_{k}|^{p}\geq0\Leftrightarrow |x_{k}|\geq0\Leftrightarrow x_{k}\geq0$$ (b) $$\|\lambda x_{k}\|_{p}=\left(\sum_{k=1}^{\infty}|\lambda x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}=\left(\sum_{k=1}^{\infty}|\lambda|^{p} |x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}=\left(|\lambda|^{p}\sum_{k=1}^{\infty} |x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}=|\lambda|\left(\sum_{k=1}^{\infty}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}=|\lambda|~\|x_{k}\|_{p}$$ (c) Como la $\|\|_{p}$ satisface la desigualdad del triángulo, se tiene que $$\left(\sum_{k=1}^{n} |x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\leq \left(\sum_{k=1}^{\infty} |x_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{k=1}^{\infty} |y_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\leq\|x_{k}\|_{p}+\|y_{k}\|_{p}$$ para todo $n\in \mathbb{N}$. En consecuencia, la serie $$\sum_{k=1}^{\infty} |x_{k}+y_{k}|^{p}$$ converge y se cumple que $$\|x_{k}+y_{k}\|_{p}=\left(\sum_{k=1}^{\infty} |x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\leq\|x_{k}\|_{p}+\|y_{k}\|_{p}.~~\textcolor{orange}{\blacksquare}$$ Proposición. Sea $\bar{x}\in\mathbb{R}^{n}$, entonces $$\|\bar{x}\|_{\infty}\leq\|\bar{x}\|\leq\|\bar{x}\|_{1}\leq n\|\bar{x}\|$$
Demostración. Sea $|x_{k}|=\max{|x_{1},…,|x_{n}||}$ Se tiene entonces $$|x_{k}|=\sqrt{x_{k}^{2}}\leq \sqrt{x_{1}^{2}+…+x_{n}^{2}}=\|\bar{x}\|$$ $\therefore~~\|\bar{x}\|_{\infty}\leq\|\bar{x}\|$ Ahora bien $$\left(\|\bar{x}\|\right)^{2}=\left(|x_{1}|^{2}+…+|x_{n}|^{2}\right)\leq \sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}+2\sum_{i\leq i\leq j\leq n}|x_{i}||x_{j}|=\left(|x_{1}|+…+|x_{n}|\right)^{2}=\left(\|\bar{x}\|_{1}\right)^{2}$$ $$~\Rightarrow~\left(\|\bar{x}\|\right)^{2}\leq\left(\|\bar{x}\|_{1}\right)^{2}$$ $$~\Rightarrow~\|\bar{x}\|\leq \|\bar{x}\|_{1}$$ También si suponemos que $|x_{j}|=\max{|x_{1}|,…,|x_{n}|}$ entonces $$\|\bar{x}\|_{1}=|x_{j}|\leq |x_{j}|+…+|x_{j}|=n|x_{j}|=n\max{|x_{1}|,…,|x_{j}|}=n\|\bar{x}\|_{\infty}$$ por lo que $$\|\bar{x}\|_{1}\leq n\|\bar{x}\|_{\infty}.~~ \blacksquare$$
Proposición. Sea $\bar{x}\in\mathbb{R}^{n}$ entonces $$\|\bar{x}\|_{\infty}\leq\|\bar{x}\|\leq\sqrt{n}\|\bar{x}\|_{\infty}$$ Demostración. Suponemos que $|x_{j}|=\max{|x_{1}|,…,|x_{n}|}$. Se tiene entonces $$|x_{j}|=\sqrt{x_{j}^{2}}\leq \sqrt{x_{1}^{2}+…+x_{j}^{2}+…+x_{n}^{2}}=\|\bar{x}\|$$ Por tanto $$\|\bar{x}\|_{\infty}\leq\|\bar{x}\|$$ Por otro lado suponemos que $|x_{j}|=\max{|x_{1}|,…,|x_{n}|}$ y tenemos $$\|\bar{x}\|=\sqrt{x_{1}^{2}+…+x_{j}^{2}+…+x_{n}^{2}}\leq \sqrt{x_{j}^{2}+…+x_{j}^{2}+…+x_{j}^{2}}=\sqrt{n(x_{j}^{2})}=\sqrt{n}\|\bar{x}\|_{\infty}$$ por lo tanto $$\|\bar{x}\|\leq\sqrt{n}\|\bar{x}\|_{\infty}.~~\blacksquare$$
Proposición. Sea $\bar{x}\in\mathbb{R}^{n}$ entonces $$\|\bar{x}\|_{1}\leq\sqrt{n}\|\bar{x}\|$$ Demostración. $$\|\bar{x}\|_{1}=|x_{1}|+…+|x_{n}|=\left(1,…,1\right)\cdot (|x_{1}|,…,|x_{1}|)\leq \|(1,…,1)\|~\|\bar{x}\|=\sqrt{n}\|\bar{x}\|$$ por lo tanto $$\|\bar{x}\|_{1}\leq\sqrt{n}\|\bar{x}\|.~~\blacksquare$$
Ortogonalidad de vectores
Generalizando el concepto de perpendicularidad en $\mathbb{R}^{3}$, damos la siguiente definición. Definición. Sea E un espacio vectorial dotado de un producto escalar $\langle,\rangle$, se dice que dos vectores $\overline{x},\overline{y}\in E$ son ortogonales si $$\langle \overline{x},\overline{y}\rangle=0$$ Tenemos que si $\langle \overline{x},\overline{y}\rangle=0$ entonces $$\|\overline{x}-\overline{y}\|^{2}=\langle \overline{x}+\overline{y},\overline{x}+\overline{y}\rangle=\langle \overline{x},\overline{x}\rangle-2\langle \overline{x},\overline{y}\rangle+\langle \overline{y},\overline{y}\rangle=\langle \overline{x},\overline{x}\rangle+\langle \overline{y},\overline{y}\rangle=\|\overline{x}\|^{2}+\|\overline{y}\|^{2}$$ es decir se cumple el teorema de pitagoras.
Sean ahora $\overline{x},\overline{y}\in \mathbb{R}^{2}$ y sea $\theta$ el ángulo entre ellos. Según la ley de los cosenos \begin{align*} \|\overline{x}-\overline{y}\|^{2}&=\|\overline{x}\|^{2}+\|\overline{y}\|^{2}-2\|\overline{x}\|\|\overline{y}\|\cos(\theta) \\ &~\Rightarrow~\|\overline{x}\|^{2}-2\langle \overline{x},\overline{y}\rangle+\|\overline{y}\|^{2}=\|\overline{x}\|^{2}+\|\overline{y}\|^{2}-2\|\overline{x}\|\|\overline{y}\|\cos(\theta) \\ &~\Rightarrow~\langle \overline{x},\overline{y}\rangle=\|\overline{x}\|\|\overline{y}\|\cos(\theta) \end{align*} Esta fórmula motiva la siguiente definición de ángulo $\theta$ entre dos vectores no nulos $\overline{x},\overline{y}\in E$, por medio de $$\boxed{\theta=\arccos\left(\frac{\langle \overline{x},\overline{y}\rangle}{|\overline{x}||\overline{y}|}\right)}$$
.
Más adelante
Como vimos en este apartado el concepto de norma nos permite relacionar la idea de longitud de un vector respecto al origen. De forma más extensa nos ayudará a relacionar la idea de longitud entre dos vectores como una distancia subyacente entre esos dos objetos.
Tarea moral
1.- Dada $f\in C^0[a,b]$ demuestra que $\left\| f\right\| _{p}= (\int _a^b |f(x)|^pdx)^{1/p}$ si $p \in [1,\infty)$ si $p\in [1,\infty)$ es una norma.
2.- Demuestra que $\left\| f\right\|_{\infty}=max\{|f(x)|:a\leq x\leq b \}$ es una norma .
3.- Sea $f\in C^0[a,b]$ y $p\in [1,\infty]$ demuestra que $\left\| f\right\|_p=0$ sí y solo si $f=0$. 4.- Demuestra la desigualdad de Minkowski para integrales. Si $p\in[1,\infty]$ entonces $\left\| f + g \right\|\leq | f | + |g| $ $\forall f,g\in C^0[a,b]$
5.- Expresa el siguiente caso al vector a como la suma de un vector paralelo al vector b y uno ortogonal. Donde $a=(1,2,3)$, $b=(1,0,0)$.
Dada una curva $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, el Vector Unitario Tangente $T$ es otra función vectorial asociada a la curva, y está definida por: $$\boxed{T(t)=\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\ \ \ \ \text{siempre que $|f^{\prime}(t)| \neq 0$.}}$$ De acuerdo a la definición anterior tenemos $$\|T(t)\|=\left\|\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right\|=\frac{\|f'(t)\|}{\|f'(t)\|}=1$$ y de acuerdo a lo anterior \begin{align*} \|T(t)\|=1 &~\Rightarrow~T(t)\cdot T(t)=1 \\ &~\Rightarrow~\frac{d}{dt}(T(t)\cdot T(t))=0 \\ &~\Rightarrow~T'(t)\cdot T(t)+T(t)\cdot T'(t)=0 \\ &~\Rightarrow~2(T'(t)\cdot T(t))=0 \\ &~\Rightarrow~T'(t)\cdot T(t)=0 \end{align*} lo que implica que $T'(t)$ es ortogonal $T(t)$. Si $T^{\prime}\neq 0$ el vector unitario que tiene la misma dirección que $T^{\prime}$ se llama Vector Normal Principal a la curva y se designa por $N(t)$. Asi pues $N(t)$ es una nueva función vectorial asociada a la curva y esta dada por la ecuación: $$\boxed{N(t)=\frac{T^{\prime}(t)}{\|T^{\prime}(t)\|}\ \ \ \ \text{si}\ \ \ \ \ \|T^{\prime}(t)\| \neq 0}$$ de acuerdo a lo visto con el vector tangente, se tiene que $T(t)$ y $N(t)$ son ortogonales. Un tercer vector definido mediante $$\boxed{B(t)=T(t)\times N(t)}$$ recibe el nombre de Vector Binormal. Notese que $$\|B(t)\|=\|T(t)\times N(t)\|=\|T(t)\|\|N(t)\|\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$$ de acuerdo a lo anterior \begin{align*} \|B(t)\|=1&~\Rightarrow~B(t)\cdot B(t)=1 \\ &~\Rightarrow~\frac{d}{dt}(B(t)\cdot B(t))=0 \\ &~\Rightarrow~B'(t)\cdot B(t)+B(t)\cdot B'(t)=0\\ &~\Rightarrow~ 2(B'(t)\cdot B(t))=0\\ &~\Rightarrow~B'(t)\cdot B(t)=0 \end{align*} por tanto $B'(t)$ es ortogonal a $B(t)$. Es decir $\boxed{B'(t)\cdot B(t)=0}$
Ejemplo. Pruebe que $\displaystyle{B'(t)\cdot T(t)=0}$ Solución. Si $B(t)=T(t)\times N(t)$ entonces $B(t)$ es ortogonal a $T(t)$ y $B(T)$ es ortogonal a $N(t)$ y por lo tanto $B(t)\cdot T(t)=0$ Por otro lado $$N(t)=\frac{T(t)}{\|T'(t)\|}~\Rightarrow~\|T'(t)\|~N(T)=T'(t)$$ Si $B(t)$ es ortogonal a $N(t)$ entonces $B(t)$ es ortogonal a $\|T'(t)\|~N(T)$. Por lo tanto $$B(t)\cdot T'(t)=B(t)\cdot \|T'(t)\|~N(T)=0$$ Tenemos entonces que \begin{align*} \frac{d}{dt}(B(t)\cdot T(t))=0&~\Rightarrow~B'(t)\cdot T(t)+B(t)\cdot T'(t)=0 \\ &~\Rightarrow~B'(t)\cdot T(t)+0=0 \\ &~\Rightarrow~B'(t)\cdot T(t)=0 \end{align*} Por lo tanto $\boxed{B'(t)\cdot T(t)=0}$.$~~\blacksquare$ Según los resultados anteriores $B'(t)\cdot B(t)=0$ y $B'(t)\cdot T(t)=0$. Pero también $N(t)\cdot B(t)=0$ y $N(t)\cdot T(t)=0$. Por lo tanto $N(t)$ y $B'(t)$ deben ser paralelos, es decir existe $\alpha$ tal que $\boxed{B'(t)=\alpha N(t)}$. Si la curva está parametrizada por longitud de arco, considerando que $\|\overline{f}'(s)\|=1$, se tiene \begin{align*} T(s) & =\overline{f}'(s) \\ N(s) & =\frac{\overline{f}»(s)}{|\overline{f}»(s)|} \\ B(s) & =T(s)\times N(s) \end{align*} $\fbox{Fórmulas de Frenet-Serret}$ El sistema de vectores ${T(t),N(t),B(t)}$ forman un triedro en el cual $$\boxed{B(t)=T(t)\times N(t)}$$ de acuerdo a la definición anterior \begin{align*} B(t)=T(t)\times N(t)&~\Rightarrow~N(t)\times B(t)=N(t)\times (T(t)\times N(t)) \\ &~\Rightarrow~N(t)\times B(t)=(N(t)\cdot N(t))T(t)-(N(t)\cdot T(t))N(t) \\ &~\Rightarrow~N(t)\times B(t)=T(t)-0\cdot N(t) \\ &~\Rightarrow~N(t)\times B(t)=T(t) \end{align*} por tanto $$\boxed{N(t)\times B(t)=T(t)}$$ Análogamente de acuerdo a la definición anterior \begin{align*} B(t)=T(t)\times N(t)&~\Rightarrow~B(t)\times T(t)=(T(t)\times N(t))\times T(t) \\ &~\Rightarrow~B(t)\times T(t)=(T(t)\cdot T(t))N(t)-(N(t)\cdot T(t))T(t) \\ &~\Rightarrow~B(t)\times T(t)=N(t)-0\cdot T(t) \\ &~\Rightarrow~B(t)\times T(t)=N(t) \end{align*} por tanto $$\boxed{B(t)\times T(t)=N(t)}$$ Por que dicho sistema de vectores, es un conjunto ortonormal. Las fórmulas que dan las derivadas del triedro móvil, en términos del mismo triedro móvil, se llaman las fórmulas de Frenet-Serret. Teorema (a) $\displaystyle{\frac{dT}{ds}=\kappa N}$ (b) $\displaystyle{\frac{dB}{ds}=-\tau N(s)}$ (c) $\displaystyle{\frac{dN}{ds}=\tau B-\kappa T}$ $\fbox{Demostración}$ (a) Por definición $\displaystyle{N(s)=\frac{T'(s)}{\|T'(s)\|}}$ y $\displaystyle{\kappa(s)=\left\|\frac{dT}{ds}\right\|=\|f»(s)\|}$. Luego $$T'(s)=\|T'(s)\|~N(s)=\kappa(s)~N(s).$$ (b) $\displaystyle{\frac{dB}{ds}=-\tau N(s)}$ es fórmula de definición de torsión. (c) \begin{align*} N'(s)&=B'(s)\times T(s)+B(s)\times T'(s) \\ &=-\tau N(s)\times T(s)+B(s)\times \kappa N(s) \\ &=\tau T(s)\times N(s)-\kappa N(s)\times B(s) \\ &=\tau B(s)-\kappa T(s).~~\blacksquare \end{align*}
En una recta, el vector unitario tangente $T$ no cambia su dirección y por tanto $T^{\prime}=0$. Si la curva no es una linea recta, la derivada $T^{\prime}$ mide la tendencia de la tangente a cambiar su dirección. El coeficiente de variación o derivada de la tangente unitaria respecto a la longitud de arco se denomina vector curvatura de la curva. Se designa por $\displaystyle{dT/ds}$ donde s representa la longitud de arco.
Sea $f:[a,b]\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ una curva dos veces diferenciable parametrizada por longitud de arco y T su vector tangente unitario. La curvatura de f es la función $$\kappa=\left\|\frac{dT}{ds}\right\|=\|f^{\prime\prime}(s)\|$$ La letra $\kappa$ es la letra griega kappa. La curvatura mide la flexión de la curva. Mostraremos que una recta, es una curva que no se flexiona, tiene curvatura 0 Ejemplo. Calcule la curvatura en todo punto de la recta $f(t)=(x_{0},y_{0},z_{0})+t(u_{1},u_{u},u_{3})$ donde $\|u\|=1$ tenemos: \[ f^{\prime}(t)=(u_{1},u_{2},u_{3})\ \ \ \ \ \text{y}\ \ \ \ \ \|f^{\prime}(t)\|=\|u\|=1 \] Por lo tanto la curva esta parametrizada por longitud de arco Por lo tanto $\kappa=\|f^{\prime\prime}(t)\|=0$, por lo tanto $\kappa=0$.$~~\blacksquare$ Ejemplo Calcule la curvatura de una circunferencia. Para un círculo de radio $R$ dado por la ecuación $$f(t)=(R\cos t,R \sin t)$$ tenemos: La parametrizacion por longitud de arco es: $$s=\int_{0}^{t}\|f'(u)\|du=\int_{0}^{t}Rdt=Rt~\rightarrow~s=Rt~\Rightarrow~t=\frac{s}{R}$$ de esta manera se tiene \begin{align*} \overline{f}(s) &=f\left(\frac{s}{R}\right)=\left(R\cos\left(\frac{s}{R}\right),R\sin\left(\frac{s}{R}\right)\right) \\ \overline{f}^{\prime}(s)&=\left(-\sin \left(\frac{s}{R}\right), \cos \left(\frac{s}{R}\right)\right) \\ \overline{f}^{\prime\prime}(s)&=\left(-\frac{1}{R}\cos \left(\frac{s}{R}\right),-\frac{1}{R} \sin \left(\frac{s}{R}\right)\right) \end{align*} Por lo tanto $\displaystyle{\kappa=\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|=\frac{1}{R}}$. Esto prueba que una circunferencia tiene curvatura constante. El siguiente teorema nos proporciona otras fórmulas que nos permiten calcular la curvatura parametrizada por otro parámetro t, que no es necesariamente la longitud de arco. Teorema. Sea $f(t)$ una curva dos veces diferenciable. Entonces $$\kappa(t)=\frac{\|T'(t)\|}{\|f'(t)\|}$$ Demostración. Sabemos que $\displaystyle{s^{\prime}(t)=\|f^{\prime}(t)\|}$. Además usando la regla de la cadena $\begin{align*} T'(t)&=\frac{dT}{dt}=\frac{dT}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{dT}{ds}\|f'(t)\| \\ &~\Rightarrow~\frac{dT}{ds}=\frac{T'(t)}{\|f'(t)\|} \\ &~\Rightarrow~\left\|\frac{dT}{ds}\right\|=\frac{\|T'(t)\|}{\|f'(t)\|} \\ &~\Rightarrow~\kappa(t)=\frac{\|T'(t)\|}{\|f'(t)\|}.~~ \blacksquare \end{align*}$ Ejemplo. Calcule la curvatura $\kappa$ de la hélice $x(t)=a\cos(wt)$, $y(t=a\sin(wt))$, $z(t)=bt$. Solución. Tenemos que: \[f^{\prime}(t)=(-wa\sin(wt),aw\cos(wt),b)\ \ \Rightarrow\ \ \|f^{\prime}(t)\|=\sqrt{a^2w^2+b^2}\] Por lo tanto \[ T=(-aw\sin(wt),aw\cos(wt),b)\frac{1}{\sqrt{a^2w^2+b^2}} \] Por lo tanto \[ k=\frac{\|T^{\prime}\|}{\|f^{\prime}\|}= \|-aw^2\cos(wt),-aw^2\sin(wt),0\|\frac{1}{\sqrt{a^2w^2+b^2}}= \] \[ =\sqrt{(aw^2)^2(\cos^2(wt)+\sin^2(wt))}\ \frac{1}{\sqrt{a^2w^2+b^2}}= \frac{aw^2}{\sqrt{a^2w^2+b^2}}.~~ \blacksquare \]
Teorema . Sea $f(t)$ una curva dos veces diferenciable. Entonces $$\kappa(t)=\frac{\|f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}$$ Demostración. Si $$T=\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\Rightarrow T~\|f^{\prime}(t)\|=f^{\prime}(t)\Rightarrow T\frac{ds}{dt}=f^{\prime}(t)$$Por lo tanto $$f^{\prime\prime}(t)=T\frac{d^{2}s}{dt^{2}}+\frac{ds}{dt}T^{\prime}$$ Haciendo el producto cruz $$f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)=T\frac{ds}{dt}\times \left(T\frac{d^{2}s}{dt^{2}}+\frac{ds}{dt}T^{\prime}\right)=\cancel{T\frac{ds}{dt}\times T\frac{d^{2}s}{dt^{2}}}+T\frac{ds}{dt}\times \frac{ds}{dt}T^{\prime}$$Por lo tanto $$\|f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|=\left\|T\frac{ds}{dt}\times \frac{ds}{dt}T^{\prime}\right\|=\left(\frac{ds}{dt}\right)\left\|T\right\|\left(\frac{ds}{dt}\right)\left\|T^{\prime}\right\|\sin(T,T^{\prime})=\left(\frac{ds}{dt}\right)^{2}\left\|T^{\prime}\right\|$$En cosecuencia$$\frac{\|f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|}{\left(\frac{ds}{dt}\right)^{2}}=\|T^{\prime}|\Rightarrow \|T^{\prime}\|=\frac{\|f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}$$ sustituimos en $$k(t)=\frac{\|T^{\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|}\Rightarrow \kappa(t)=\frac{\frac{\|f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}}{\|f^{\prime}(t)\|}\Rightarrow \kappa(t)=\frac{\|f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}.~~ \blacksquare $$ Ejemplo. Hallar la función curvatura $\kappa(t)$ de la curva $$f(t)=\left(t^{2},t,\frac{2t^{3}}{3}\right)$$ Solución. Según la fórmula anterior \begin{align*} f'(t) & =(2t,1,2t^{2}) \\\ f^{\prime\prime}(t) & =(2,0,4t) \\ \|f'(t)\| & =\sqrt{4t^{2}+1+4t^{4}}=2t^{2}+1 \end{align*} Por lo que \begin{align*} f'(t)\times f^{\prime\prime}(t) & =\left|\begin{matrix}i&j&k\\2t&1&2t^{2}\\2&0&4t\end{matrix}\right| \\ & =2(2t,-2t^{2},-1) \\ \|f'(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|&=2\sqrt{4t^{2}+4t^{4}+1}=2(2t^{2}+1) \end{align*} Luego $$\kappa(t)=\frac{\|f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}=\frac{2(2t^{2}+1)}{(2t^{2}+1)^{3}}=\frac{2}{(2t^{2}+1)^{2}}.~~ \blacksquare $$ Ejemplo. Para el caso especial de una curva plana con ecuación $y=f(x)$ podemos escoger $x$ como el parámetro y escribir $r(x)=x\hat{i}+f(x)\hat{j}$ entonces \begin{align*}r^{\prime}(x)&=\hat{i}+f^{\prime}(x)\hat{j}\\r^{\prime \prime}(x)&=f^{\prime \prime}(x)\hat{j}\end{align*} y al efectuar: \[ r^{\prime}(x)\ \text{x}\ r^{\prime \prime}(x)= \left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & f^{\prime}(x) & 0 \\ 0 & f^{\prime \prime}(x) & 0 \\ \end{array} \right|= f^{\prime \prime}(x)\hat{k} \]
Por lo tanto $\|r^{\prime}(x)\ \times r^{\prime\prime}(x)\|=|f^{\prime\prime}(x)|$. Por lo tanto, para una curva plana \[ \kappa(x)=\frac{\|r'(t)\times r^{\prime\prime}(t)\|}{\|r'(t)\|^{3}}=\frac{|f^{\prime\prime}(x)|}{\left(1+[f^{\prime}(x)]^2\right)^{3/2}}.~~ \blacksquare \] Ejemplo. Calcular la curvatura del gráfico $f(x)=e^{-x}$. Solución. Tenemos que: $f'(x)=-e^{-x}$ y $f^{\prime\prime}(x)=e^{-x}$. Luego $$\kappa(x)=\frac{|f^{\prime\prime}(x)|}{\left[1+\left(f'(x)\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}=\frac{e^{-x}}{\left[1+\left(-e^{-x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}=\frac{e^{-x}}{\left[e^{-2x}+1\right]^{\frac{3}{2}}}.~~ \blacksquare$$
Circunferencia y radio de curvatura
Sea $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ una curva plana y un punto $P$ sobre una curva plana donde $\kappa\neq 0$. Se llama circunferencia de curvatura o circunferencia osculadora de la curva en el punto P a la circunferencia que cumple las siguientes condiciones: (a) Es tangente a la curva en P. (la circunferencia y la curva tienen la misma recta tangente en el punto P). (b) Tiene la misma curvatura ($\kappa$) que la curva en P. (c) Se encuentra hacia el lado concavo o interior de la curva. (d) El radio de la curvatura de la curva P es el radio del círculo de curvatura o círculo osculador. $$\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}$$
Asi el centro del círculo osculador (llamado centro de curvatura) debe estar en:
\[ c(t)=f(t)+\frac{1}{k(t)}N(t) \] Ejemplo. Determine los vectores $T$ y $N$, la curvatura $k$, el centro de la curvatura y la circunferencia osculadora de la parábola $y=x^2$ en el punto $(1,1)$. Solución. Si la parábola esta parametrizada por $x=t$ y por $y=t^2$, entonces su vector de posición es $f(t)=(t,t^2)$, por lo tanto \begin{align*}f(t)=(t,t^2)&\Rightarrow f^{\prime}(t)=(1,2t)\\&\Rightarrow\|f^{\prime}(t)\|=\sqrt{1+4t^2}\\&\Rightarrow f^{\prime\prime}(t)=(0,2)\end{align*} por lo tanto: \[ T(t)=\frac{(1,2t)}{\sqrt{1+4t^2}}\ \ \ \ \ \ \ T(1)=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\ \ \ \ \ \ \ N(1)=\left(\frac{-2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \] la curvatura $\kappa$, \[ k=\frac{\|f^{\prime\prime}(t)\|}{\left(\sqrt{1+[f^{\prime}(t)]^2}\right)^3}= \frac{2}{\left(\sqrt{1+4t^2}\right)^3}\ \ \ \ \ \ \ k(1)=\frac{2}{5\sqrt{5}}\ \ \Rightarrow\ \ \rho=\frac{5\sqrt{5}}{2} \] Por lo tanto el centro de la curvatura es \[ c(t)=f(1,1)+\frac{1}{\frac{2}{5\sqrt{5}}}\left(\frac{-2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)= \left(-4,\frac{7}{2}\right) \] Y la ecuación del círculo osculador a la parábola es, por tanto: \[ (x+4)^2+\left(y-\frac{7}{2}\right)^2= \left(\frac{5\sqrt{5}}{2}\right)^2=\frac{125}{4}.~~ \blacksquare \]
Torsión
Sea $f:I\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ una curva tres veces diferenciable parametrizada por longitud de arco. Nuestro objetivo consistira en estimar con que rapidez una curva se aleja de su plano osculador
La forma de medir la rapidez de alejamiento de la curva f de su plano osculador es por medio del vector binormal $B(s)=T(s)\times N(s)$, que sabemos es un vector unitario ortogonal al plano osculador de f en P. Puesto que $\|B(s)\|=1$, $\forall~s\in I$, la magnitud de la derivada $\|B'(s)\|$ de $B(s)$ medirá precisamente la rapidez con la que el vector binormal $B(s)$ está cambiando de dirección en los alrededores del punto estudiado. Puesto que $B(s)=T(s)\times N(s)$, tenemos, derivando $$B'(s)=T(s)\times N'(s)+T'(s)\times N(s)$$ El sumando $T'(s)\times N(s)$ que aparece en esta expresión es igual a cero, ya que $T'(s)=f^{\prime\prime}(s)$ es un vector en la dirección de $N(s)$ (y por lo tanto son colineales; por lo que su producto cruz es cero). Entonces nos queda $$B'(s)=T(s)\times N'(s)$$ También tenemos que $$\|B\|=1~\Rightarrow~\frac{d \|B\|^{2}}{ds}=0~\Rightarrow~\frac{d(B\cdot B)}{ds}=0~\Rightarrow~B\cdot B’+B’\cdot B=0~\Rightarrow~B’\cdot B=0~\Rightarrow~B’\bot B $$ Esto nos permite concluir que $B'(s)$ es un vector en el plano osculador de f en s. Por otro lado $$B\cdot T=0~\Rightarrow~(B\cdot T)’=0~\Rightarrow~B’\cdot T+T’\cdot B=0~\underbrace{\Rightarrow}_{\textcolor{red}{T’\cdot B=N~ \|T’\|\cdot B=0}}~B’\cdot T=0~\Rightarrow~B’\bot T$$ De lo anterior podemos concluir que $B’$ tiene la dirección del vector $N$. Debe entonces existir un escalar $\tau(s)$ tal que $$B'(s)=\tau(s)N(s)$$ Definición. Sea $f:I\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ una curva tres veces diferenciable parametrizada por longitud de arco tal que $f»(s)\neq 0$ $\forall~s\in I$. El número $\tau(s)$ tal que $B'(s)=-\tau(s)N(s)$ se llama torsión de f en s. Notese que $$\|B'(s)\|=|\tau(s)|$$ Ejemplo. Dada la función $$f(t)=(\cos(t),\sin(t),t)$$ cuya reparametrización por longitud de arco es: $$\overline{f}(s)=\left(\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\frac{s}{\sqrt{2}}\right)$$ cuyo vector normal es $$N(s)=\left(-\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),-\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),0\right)$$ cuyo vector binormal es $$B(s)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),-\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),1\right)$$ de modo que $$B'(s)=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\sin\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),0\right)$$ y por lo tanto se tiene $$|\tau(s)|=\|B'(s)\|=\frac{1}{2}.~~ \blacksquare$$ Una curva es plana (es decir, es la imagen de un camino $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ tal que f(s) se encuentra en un plano en $\mathbb{R}^{3}$ para toda $s\in [a,b]$) si y sólo si su torsión es igual a cero $(\forall~s\in [a,b])$. En efecto, si $\tau(s)=0$, se tiene que $B'(s)=0$, por lo que el vector binormal $B(s)$ debe ser constante, es decir $B(s)=v$ para todo $s\in[a,b]$. De aquí se tiene que $$f'(s)\cdot B(s)=f'(s)\cdot v=0~~~\forall~s\in[a,b]$$ (pues $f'(s)$ es ortogonal a $B(s)$), o sea $$\frac{d(f(s)\cdot v)}{ds}=0$$ de donde $f(s)\cdot v=cte~~~\forall~s\in[a,b]$, y por lo tanto, concluimos que $f(s)$ se encuentra en el plano cuyo vector normal es v, $\forall~s\in[a,b]$.
Recíprocamente, si $f(s)$ se encuentra en un plano para toda s en $[a,b]$, entonces dicho plano es el plano osculador de la curva en todo punto de ella, por tanto el vector unitario $B(s)$ no cambia de dirección, por lo que $B'(s)=0$. de donde $\tau(s)=0$ para toda s en $[a,b]$. $\blacksquare$
Fórmula para calcular la Torsión en términos de la parametrización por longitud de arco
La torsión representa una variación en la dirección del vector binormal, procederemos ahora a desarrollar una fórmula para calcularla Sea $\overline{f}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ la reparametrización por longitud de arco de f, $\overline{f}=f\circ\varphi$. Queremos calcular la torsión de f en t, donde $t=\varphi(s)$. Sabemos que \begin{align*} T(s) & =\overline{f}'(s)=\frac{f'(t)}{\|f'(t)\|} \\ T'(s)&=\overline{f}»(s)=\frac{d\left(\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)}{ds} \\ &=\frac{d\left(\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)}{dt}\frac{dt}{ds}=\frac{d\left(\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)}{dt}\frac{1}{\frac{ds}{dt}}\\ &=\frac{d\left(\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)}{dt}\frac{1}{\varphi^{\prime}(s)}\\ &=\frac{d\left(\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)}{dt}\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}\\ &=\left(\frac{\|f^{\prime}(t)\|f^{\prime\prime}-f^{\prime}(t)\frac{d\left(\|f^{\prime}(t)\|\right)}{dt}}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}\right)\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}\\ &=\left(\frac{\|f^{\prime}(t)\|f^{\prime\prime}-f^{\prime}(t)\frac{f^{\prime}\cdot f^{\prime\prime}}{\|f^{\prime}(t)\|}}{\|f^{\prime}(t)|^{2}}\right)\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}~~\left(\frac{d\left(\|f^{\prime}(t)\|\right)}{dt}=\frac{d\sqrt{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime}(t)}}{dt}=\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)\\ &=\left(\frac{\|f^{\prime}(t)\|^{2}f^{\prime\prime}-\left(f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)\right)f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}\\ &=\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\left(\|f^{\prime}(t)\|^{2}f^{\prime\prime}(t)-\left(f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)\right)f^{\prime}(t)\right)\\ N(s) &=\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)}{\kappa(s)} =\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|} \end{align*} calculemos $$B'(s)=T(s)\times N'(s)$$ en este caso \begin{align*} N^{\prime}(s) & =\frac{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|\overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)-\overline{f}^{\prime\prime}(s)\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|}\right)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|^{2}} \\ &=\frac{\overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|}-\overline{f}^{\prime\prime}(s)\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|^{3}}\right) \end{align*} Luego si $B^{\prime}(s)=T(s) \times N^{\prime}(s)$ entonces se tiene que \begin{align*} B^{\prime}(s) &=\overline{f}^{\prime}(s)\times \left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{|\overline{f}^{\prime\prime}(s)|}-\overline{f}^{\prime\prime}(s)\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{|\overline{f}^{\prime\prime}(s)|^{3}}\right)\right) \\ &=\frac{1}{|\overline{f}^{\prime\prime}(s)|}\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)-\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{|\overline{f}^{\prime\prime}(s)|^{3}}\right)\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime}(s) \end{align*} La torsión esta dada por \begin{align*} B^{\prime}(s) &=\tau(s)N(s) \\ &\Rightarrow B^{\prime}(s)\cdot N(s)=\tau(s)N(s)\cdot N(s) \\ &\Rightarrow B^{\prime}(s)\cdot N(s)=\tau(s)\|N(s)\|^{2} \\ &\Rightarrow B^{\prime}(s)\cdot N(s)=|\tau(s)| \end{align*} Entonces \begin{align*} \tau(s) &=B^{\prime}(s)\cdot N(s) \\ &=\left(\frac{1}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|}\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)-\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{|\overline{f}^{\prime\prime}(s)|^{3}}\right)f^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime}(s)\right)\cdot \frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|} \\ &=\frac{1}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|^{2}}\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime}(s)-\cancel{\left(\frac{\overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|^{4}}\right)\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime}(s)} \\ &=\frac{1}{\|\overline{f}^{\prime\prime}(s)\|^{2}}\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime}(s) \end{align*} La cancelación es porque $$\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime}(s)=0$$ y como $$k(s)=\|\overline{f}^{\prime\prime}\|$$ se tiene entonces que $$\boxed{\tau(s)=\frac{\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime}(s)}{k(s)^{2}}=-\frac{\overline{f}^{\prime}(s)\times \overline{f}^{\prime\prime}(s)\cdot \overline{f}^{\prime\prime\prime}(s)}{k(s)^{2}}}$$
Fórmula para calcular la Torsión en términos del parámetro t
Ahora vamos a expresar la torsión en términos de t. Ya hemos visto que \begin{align*} \overline{f}^{\prime}(s)&=\frac{f^{\prime}(t)}{|f^{\prime}(t)|} \\ f^{\prime\prime}(s) & =\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\left(|f^{\prime}(t)|^{2}f^{\prime\prime}(t)-\left(f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)\right)f^{\prime}(t)\right) \end{align*} Por lo tanto \begin{align*} f^{\prime}(s)\times f^{\prime\prime}(s) &=\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\times \left(\frac{1}{\|f^{\prime}\|^{4}}\left(\|f^{\prime}(t)\|^{2}f^{\prime\prime}(t)-\left(f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)\right)f^{\prime}(t)\right)\right) \\ &=\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}\right)f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)-\left(\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|^{5}}\right)\cancel{f^{\prime}(t)\times f^{\prime}(t)} \\ &=\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}\right)f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t) \end{align*} Mientras que \begin{align*} f^{\prime\prime\prime}(s) &=\frac{df^{\prime\prime}(s)}{ds}=\left(\frac{df^{\prime\prime}(s)}{dt}\right)\frac{dt}{ds}=\left(\frac{df^{\prime\prime}(s)}{dt}\right)\frac{1}{\frac{ds}{dt}} \\ &=\left(\frac{df^{\prime\prime}(s)}{dt}\right)\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|} \\ &=\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\|f^{\prime}\|^{4}}\left(\|f^{\prime}(t)\|^{2}f^{\prime\prime}(t)-\left(f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)\right)f^{\prime}(t)\right)\right) \\ &=\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)\left[\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}f^{\prime\prime}(t)\right)+\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}\right)^{\prime}f^{\prime\prime}(t)\right. \\ &\left.-\left(\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\right)f^{\prime\prime}(t)-f^{\prime}(t)\left(\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\right)^{\prime}~\right] \end{align*} Por lo tanto \begin{align*} f^{\prime}(s)\times f^{\prime\prime}(s)\cdot f^{\prime\prime\prime}(s) &=\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}\right)f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\cdot \left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|}\right)\left[\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}f^{\prime\prime}(t)\right)\right. \\ &\left.+\cancel{\left(\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{2}}\right)^{\prime}f^{\prime\prime}(t)}-\cancel{\left(\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\right)f^{\prime\prime}(t)}-\cancel{f^{\prime}(t)\left(\frac{f^{\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime}}{\|f^{\prime}(t)\|^{4}}\right)^{\prime}}~\right] \\ &=\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\cdot \frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}f^{\prime\prime\prime}(t) \\ &=\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{6}}f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime\prime}(t) \end{align*} finalmente \begin{align*} \tau(t) &=\frac{f^{\prime}(s)\times f^{\prime\prime\prime}(s)\cdot f^{\prime\prime}(s)}{k(s)^{2}} \\ &=-\frac{f^{\prime}(s)\times f^{\prime\prime}(s)\cdot f^{\prime\prime\prime}(s)}{k(s)^{2}} \\ &=-\frac{1}{\|f^{\prime}(t)\|^{6}}\frac{f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime\prime}}{\left(\frac{\|f^{\prime}\times f^{\prime\prime}(t)\|}{\|f^{\prime}(t)\|^{3}}\right)^{2}} \end{align*} Tenemos que la torsión esta dada por $$\boxed{\tau(t)=-\frac{f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime\prime}(t)}{\left(\|f^{\prime}(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|\right)^{2}}}$$ Ejemplo. Probar que la torsión de la hélice $f(t)=(a\cos(t),a\sin(t),bt)$ es $$\tau(t)=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}$$ Solución. En este caso \begin{align*} f'(t) & =(-a\sin(t),a\cos(t),b) \\ f^{\prime\prime}(t) & =(-a\cos(t),-a\sin(t),0) \\ f^{\prime\prime\prime}(t) & =(a\sin(t),-a\cos(t),0) \end{align*} Por lo que $$f'(t)\times f^{\prime\prime}(t)=\left|\begin{matrix}i&j&k\\-a\sin(t)&a\cos(t)&b\\-a\cos(t)&-a\sin(t)&0\end{matrix}\right|=(ab\sin(t),-ab\cos(t),a^{2})$$ tenemos entonces $$f'(t)\times f^{\prime\prime}(t)\cdot f^{\prime\prime\prime}(t)=(ab\sin(t),-ab\cos(t),a^{2})\cdot (a\sin(t),-a\cos(t),0)=a^{2}b$$ $$\|f'(t)\times f»(t)\|=\|(ab\sin(t),-ab\cos(t),a^{2})\|=\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{4}}=|a|\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$ luego, $$\tau(t)=\frac{[f'(t)\times f^{\prime\prime}(t)]\cdot f^{\prime\prime\prime}(t)}{\|f'(t)\times f^{\prime\prime}(t)\|^{2}}=\frac{a^{2}b}{\left(|a|\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right)^{2}}=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}.~~ \blacksquare$$
Más adelante
En la siguiente entrada veremos cómo las curvaturas de las ecuaciones polares determinadas por los vectores tangente, normal y binormal dan origen a las fórmulas de Frenet-Serret. En la geometría de las curvas dichas fórmulas juegan un papel importante.
Tarea Moral
1.- Determine la curvatura de la parábola: $y=4px^2$
2.- Demuestra que $N´=-kl´T´+tl’B$
3.- Determina la torsión de la cúbica descrita por $f(t)=(t,t^2,t^3)$
4.-Determina la torsión de la hélice cónica descrita por $f(t)=(tcost, tsent, t)$ en el punto $(0,0,0)$.
5.- Determina la torsión de la curva descrita por $f(t)=(t-sent, 1-cost,t)$ en los puntos: $t=0$, $t=\dfrac{\pi}{2}$, $t=\pi$
