Las propiedades que caracterizan a la diferencial de $f$ en $x_0$ son dos.
Es una transformación lineal de la forma $h \rightarrow mh$
Es la única tal que el límite del cociente
$$\frac{|f(x_0 + h) – f(x_0) – mh|}{|h|}$$ es igual a cero.
La regla de correspondencia de la diferencial de $f$ en $x_0$ queda $df_{x_0}(h)= f’ (x_0)h$
Tratando de generalizar
$f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$
Diremos que $f$ es diferenciable en un punto $(x_0, y_0)$ si existe la diferencial de $f$ en $(x_0, y_0)$. La diferencial de $f$ en $(x_0, y_0)$ es la transformación lineal $(h, k) \rightarrow m_1h + m_2k$ que cumple la propiedad, de que
Para funciones de $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$:
(*) La derivada es la pendiente de la recta tangente.
(*) La diferencial es la transformación lineal $h \rightarrow mh$, donde $m$ es la pendiente de la recta tangente.
(*) La ecuación de la recta tangente está dada por $$ y = f (x_0) + f’ (x_0) (x \, – \, x_0)$$
Para funciones de $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$:
(*) La derivada de $f$ en $(x_0, y_0)$ es el vector gradiente ( o el vector de derivadas parciales) $$\nabla f (x_0, y_0)= \Big( \dfrac{\partial f}{\partial x} (x_0, y_0) , \dfrac{\partial f}{\partial y} (x_0, y_0)\Big)$$
(*) La diferencial de $f$ en $(x_0, y_0)$ es la función lineal $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} $ tal que a cada $$(h, k) \rightarrow \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) h \, + \, \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) k$$
(*) El plano tangente está dado por la ecuación $$z = f (x_0, y_0) + \dfrac{\partial f}{\partial x} (x_0, y_0) (x \, – \, x_0) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) (y \, – \, y_0)$$
Sea $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, con $A$ abierto, tal que existen las derivadas parciales en $A$ y son acotadas, entonces $f$ es continua en $A$.
Demostración:
Sea $(x_0, y_0) \in A.$
$\Big[$ por demostrar : $f$ es continua en $(x_0, y_0) \Big]$
Basta demostrar que existe $L = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f (x, y)$ y $ L = f (x_0, y_0).$
Sea $\epsilon > 0.$
Basta demostrar que existe $\delta > 0 $ tal que si
Entonces el $det \, {f \, }’ (\vec{a}) = e^{2x_0} \, > \, 0$ para todo $(x_0, y_0)$.
Por lo que, $f$ cumple las hipótesis del teorema de la función inversa, $det \, {f \, }’ (\vec{a}) \neq 0$.
Existen abiertos $\mathcal{U} \subseteq \mathbb{R}^2$ y $\mathcal{V} \subseteq \mathbb{R}^2$ tales que $\vec{a} \in \mathcal{U}$, $f(\vec{a}) \in \mathcal{V}$.
Entonces $f \Big|_{\mathcal{U}} : \mathcal{U} \rightarrow \mathcal{V}$ es invertible, existe la inversa localmente, y la inversa es derivable $\big( {f\, }^{-1}\big)’ (b) = \Big( {f\, }’ \big( {f\, }^{-1} (b) \big) \Big)^{-1}$.
La condición de que $det \, {f\, }’ (\vec{a}) \neq 0 $ garantiza que la diferencial de $f$ en $\vec{a}$ sea un transformación lineal invertible.
Entonces, ¿cuál es la imagen de una recta horizontal $y = y_0$ bajo $f$?
$f (x, y_0) = e^x (\cos {y_0}, \sin {y_0})$ con $x$ variable y $ y = y_0$ fija.
Entonces $(\cos {y_0}, \sin {y_0})$ es un vector constante.
Por el contrario, $e^x$ es variable, y toma valores en el intervalo $(0, \infty)$.
Entonces $f(x,y_0)$ recorre la semirrecta que emana del origen en la dirección del vector constante $(cos y_0, sen y_0)$.
Si $y_0 = \pi$ entonces, $(\cos y_0, \sin y_0) = (- \, 1, 0)$. La imagen de esta recta es la parte negativa del eje $x$.
Si $y_0 = \, – \, \pi$ entonces, $(\cos y_0, \sin y_0) = (- \, 1, 0)$. Esto nos muestra que $f$ no es inyectiva, por lo tanto no tiene inversa global aunque tenga inversa local.
Ahora, ¿cuál es la imagen de una recta vertical $x = x_0$?
Es decir, $x = x_0$ fija, y $y$ variable. Entonces
$f (x_0, y) = e^{x_0} ( \cos y, \sin y)$, donde $e^{x_0}$ es constante, y $( \cos y, \sin y)$ es un vector unitario variable. La imagen de una recta vertical $x=x_0$ es una circunferencia de radio $e^{x_0}$.
En la siguiente animación puedes modificar los valores de $x_0$ y $y_0$ para observar la imagen respectiva de las rectas horizontales y verticales que se analizaron anteriormente.
$d f_a : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ es tal que los vectores tangentes a curvas que pasan por $a$, $\longrightarrow$ vectores tangentes a curvas que pasan por $f (a)$
$f (x, y) = \big( u (x, y), v (x, y) \big) = \Big( e^x \cos y, e^x \sin y \Big)$ cumple las hipótesis del teorema de la función inversa en todos los puntos $a = (x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$.
El teorema nos garantiza que existe una inversa local, es decir, una vecindad $\mathcal{U}$ que contiene a $a$ y una vecindad $\mathcal{V}$ que contiene a $f (a)$ tal que $f \big|_{\mathcal{U}} : \mathcal{U} \rightarrow \mathcal{V}$ es biyectiva e invertible tiene inversa local $f^{-1} : \mathcal{V} \rightarrow \mathcal{U}$.
Tomemos $a = (0, 0)$ y $f (a) = (1, 0)$.
Para describir con detalle la inversa local de la que nos habla el teorema necesitamos saber cuales son los abiertos $\mathcal{U}$ y $\mathcal{V}$, y la regla de correspondencia $x = p (u, v)$ y $y = q (u, v)$.
$u = e^x \cos y$
$v = e^x \sin y$
Entonces
$u^2 + v^2 = e^{2x} {\cos}^2 y + e^{2x} {\sin}^2 y = e^{2x}$
$ln (u^2 + v^2) = ln (e^{2x}) = 2x$
$\textcolor{blue}{x = \dfrac{ln (u^2 + v^2)}{2}}$ siempre que $\textcolor{blue}{(u, v) \neq (0, 0)}$
Una función $ f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ cuya imagen es un toro.
Toro: superficie de revolución que se obtiene al girar un círculo de radio $ b > 0 $ alrededor de un eje que está fuera del círculo pero en el mismo plano.
Plano $XZ$
Circunferencia de radio $b$, con centro $(a, 0)$, donde $a > b$, queremos una función que vaya del plano $\theta \varphi$ al espacio $XYZ$.
$f (\theta, \varphi) = \begin{pmatrix} (a + b \cos \varphi) \cos \theta \\ \\ (a + b \cos \varphi ) \sin \theta \\ \\ b \sin \varphi \end{pmatrix}$
Donde los vectores tangentes $f_{\theta} $ y $f_{\varphi}$ son:
