• Sea $X$ un conjunto. La familia $\mathcal{T}_{ind}=\{ \emptyset, X\}$ es una topología. Se denomina topología indiscreta.

• La familia $\mathcal{T}_{disc} = \mathcal{P}(X)$, donde $\mathcal{P}$ es el conjunto potencia, también es una topología. Se denomina topología discreta.

• Consideremos la métrica Euclidiana y la métrica uniforme $( \infty )$ en $\mathbb{R}^2.$ Comparemos las topologías que inducen estas dos métricas. $$d_{\infty} (x,y) = \|x-y \|_{\infty}$$ $$d_2 (x, y) = \| x-y \|_2$$ $$_2B_1((0, 0)) = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 < 1\}$$ $$_{\infty}B_1((0, 0)) = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | máx \{ |x|, |y|\} < 1\}$$

Comparemos $\mathcal{T}_2$ con $\mathcal{T}_{\infty}$. ¡Son la misma topología!

Porque $x$ es un punto interior de $A$ según $\mathcal{T}_2$ $\iff$ existe un círculo con centro en $x$ contenido en $A$ y dentro de ese círculo podemos inscribir un cuadrado. Entonces $x$ es punto interior de $A$ según $\mathcal{T}_{\infty}$.

Recíprocamente $x$ es un punto interior de $A$ según $\mathcal{T} _{\infty}$ $\iff$ existe un cuadrado con centro en $x$ contenido en $A$ y dentro de ese cuadrado podemos inscribir un círculo. Entonces $x$ es punto interior de $A$ según $\mathcal{T}_2$.

• $\mathbb{R}^2$ puede pensarse como un espacio de funciones.

$$f : \{1, 2\} \longrightarrow \mathbb{R}$$

Al punto $(x_1, x_2)$ le corresponde la función $f$ cuya regla de correspondencia es

$f(1) = x_1$ y $f(2) =x_2$

Entonces $d_{\infty} (f, g) = máx \{|f(1)-g(1)|, |f(2)-g(2)|\}$

En el siguiente enlace puedes observar un dibujo interactivo del ejemplo anterior.

https://www.geogebra.org/classic/bwpxexhp

Consideremos un plano no vertical.

Tiene una ecuación de la forma $$z=ax+by+c$$

Es la gráfica de $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$ tal que

$f(x, y) = ax+by+c$ con $a, b, c$ constantes.

Demostraremos que esta función es continua usando $\epsilon$ y $\delta$.

Sea $(x_0, y_0)$ un punto.

Sea $\epsilon > 0$.

Buscamos $\delta > 0$ tal que si $(x, y) \in B_{\delta} (x_0, y_0) \Longrightarrow f(x, y) \in B_{\epsilon} (f(x_0, y_0))$; es decir que si $\| (x, y) – (x_0, y_0)\| < \delta$ entonces $|f(x, y) – f(x_0, y_0) | < \delta$.

Desde otro punto de vista:

$$\begin{align*} |f(x, y) – f(x_0, y_0)| &= |ax+by+c-(ax_0+by_0+c| \\ &= |a(x-x_0) + b(y-y_0)| \\ &\leq |a(x-x_0)| + |b(y- y_0)| \\ &\leq |a||x-x_0|+|b||y-y_0| < \epsilon \end{align*}$$

Queremos garantizar que $|a||x-x_0|+|b||y-y_0| < \epsilon.$

Si $|a||x-x_0|$ y $b||y-y_0|$ entonces se cumple la desigualdad.

Luego $|x-x_0| < \frac{\epsilon}{|a|}$ y $|y-y_0| < \frac{\epsilon}{|b|}$.

$\frac{ – \epsilon}{|a|}< x-x_0 < \frac{\epsilon}{|a|}$

$\frac{ – \epsilon}{|b|}< y-y_0 < \frac{\epsilon}{|b|}$

$\frac{ x_0 – \epsilon}{|a|}< x < x_0 + \frac{\epsilon}{|a|}$

$y_0 \frac{ – \epsilon}{|b|}< y <y_0 + \frac{\epsilon}{|b|}$

Basta tomar

$\delta = mín \{ \frac{\epsilon}{2|a|} , \frac{\epsilon}{2|b|} \}$

porque entonces si $(x, y) \in B_{\delta} ((x_0, y_0))$ entonces $(x, y) \in [A, B] \times [C, D]$

CASO $c = 0$

$\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | ax+by = z\} = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | ax+by-z=0\}$

$$(a, b, -1) \cdot (x, y, z) = 0$$

Son vectores perpendiculares al vector $(a, b, -1)$.

CASO $c \neq 0$

$(a, b, -1)\cdot (x-x_0, y-y_0, z-z_0)=0$

Son planos trasladados.

Observación 1: $f^{-1} (x_0, y_0) = (x_0, y_0)$ si $f(x_0, y_0) = k$ con $ax+by+c = k$ cada recta es una curva de nivel.

Observación 2: Si $a$ o $b$ son cero, entonces solo necesito una desigualdad y queda dada la $\delta$.

Observación 3: Si ambos $a$ y $b$ son cero, entonces cualquier $\delta$ es válida.

Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$

$$f(x, y) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y}{x} & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$

Queremos saber:

• ¿En qué puntos $f$ es continua?
• ¿En qué puntos $f$ es discontinua?
• ¿Cómo es la gráfica de $f$ ?

Analicemos diferentes cortes para poder responder estas preguntas.

1. Cortes paralelos al plano $yz$

$x = x_0$ constante.

$$f(x_0, y) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y}{x_0} & si & x_0 \neq 0 \\ 0 & si & x_0 = 0\end{array} \right.$$

Corte especial para $x = 0$

para $x = x_0 = 0$

$$f(0, y) = 0$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $x_0$.

https://www.geogebra.org/classic/vaquauek

2. Cortes con el plano $x=1$

$z=f(1, y) = \frac{y}{1}$

https://www.geogebra.org/classic/mt9rgkzj

3. Cortes paralelos al plano $xz$

$y = y_0$ constante.

$$f(x, y_0) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{y_0}{x} & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$

Corte especial para $y=0$

para $y=y_0=0$

$f(x, 0) = 0$

$$f(x, 0) = \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & si & x \neq 0 \\ 0 & si & x = 0\end{array} \right.$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $y_0$.

https://www.geogebra.org/classic/cmppwyss

Conjuntos (o Curvas ) de nivel

Para cada constante $c \in \mathbb{R}$, el conjunto de nivel $c$ es $\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \, | f(x, y) = c \} = f^{-1}(c)$.

$c= 0$

$f(x, y)=0$ lo cumplen los puntos de la forma $(0, y)$ con $y \in \mathbb{R}$ y los puntos de la forma $(x, 0)$ con $x \in \mathbb{R}$.

$c=1$

$f(x, y)=1$ se cumple cuando $\frac{y}{x}=1$ es decir cuando $y=x$ pero $x \neq 0$.

$c=2$

$f(x, y)=2$ se cumple cuando $\frac{y}{x} = 2$ es decir cuando $y=2x$ pero $x \neq 0$.

$c=\frac{1}{2}$

$f(x, y)=\frac{1}{2}$ se cumple cuando $\frac{y}{x} = \frac{1}{2}$ es decir cuando $y=\frac{1}{2}x$ pero $x \neq 0$.

$c= -1$

$f(x, y)=-1$ se cumple cuando $\frac{y}{x}=-1$ es decir cuando $y= -x$ pero $x \neq 0$.

Sabemos que la ecuación de una recta está dada por $y=mx+b$ de donde $m=\frac{y}{x}$ entonces podemos observar que el plano se llena con rectas de diferentes pendientes, incluso la recta vertical, que es cuando $c=0$.

Por lo que podemos concluir que los puntos donde $f$ es discontinua son los de la forma $(0, y_0)$ que son los que forman la recta $x=0$ y el eje $y$.

En la siguiente animación puedes observar las curvas de nivel que se calcularon.

https://www.geogebra.org/classic/tgfk7smx

Además de las coordenadas cartesianas es conveniente conocer otros tipos de coordenadas, como las polares, cilíndricas y esféricas, estas últimas las explicaremos en entradas posteriores; ya que muchas veces es más sencillo de resolver problemas si cambiamos de coordenadas cartesianas a otro tipo según el tipo de función con la que estemos trabajando.

En este primer acercamiento, estudiaremos como realizar la conversión de coordenadas cartesianas a polares y viceversa.

En el dibujo podemos observar que para un punto $P(x, y)$ se tiene un triángulo rectángulo, en esta imagen el triángulo $PXQ$, por lo que usando el Teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas correspondientes, tenemos que:

$$x^2 + y^2 = r ^2$$ $$\sin{\theta} =\frac{y}{r}$$ $$\cos{\theta} = \frac{x}{r}$$

Entonces, las ecuaciones que nos permiten transformar de coordenadas polares a rectangulares son:

$$x=r \cos (\theta)$$ $$y=r \sin (\theta)$$

$(x, y)$ son las coordenadas cartesianas (o rectangulares) del punto $P$.

$(r, \theta)$ son las coordenadas polares del punto $P$.

* CASO ESPECIAL: para el punto $(0, 0)$ en coordenadas cartesianas tenemos que $r = 0$ y el ángulo $\theta$ no está definido.

* También es importante especificar un intervalo donde varía el ángulo $\theta$, para evitar situaciones como la que se ejemplifica a continuación.

El punto de coordenadas rectangulares $(1, 0)$ puede tener diferentes coordenadas polares, como $(1, 0°)$, $(1, 360°)$ si el ángulo está dado en grados, o $(1, 0)$, $(1, 2\pi)$ si el ángulo se mide en radianes.

Por lo que se puede definir a $\theta$ en el intervalo $0 < \theta < 2\pi$ o en el $- \pi < \theta < \pi$.

Dado un punto en coordenadas rectangulares $(x, y)$. ¿Cuáles son las coordenadas polares $( r, \theta)$? ¿Podemos despejar $(r, \theta)$ en función de $(x, y)$?

De $x^2 + y^2 = r ^2$, despejando $r$ se obtiene que $$r=\sqrt{x^2+y^2}$$

Para obtener el valor de $\theta$ tenemos dos maneras.

Una es usando la tangente $$\frac{y}{x} =\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta} = \tan \theta$$ $$ \theta = \arctan \frac{y}{x}$$

Un detalle a tener en cuenta es que $x \neq 0$.

Este despeje vale en una mitad del plano. En la mitad que corresponde a $\frac{- \pi}{2}< \theta < \frac{\pi}{2}$. Es decir cuando $x > 0$.

Para $x < 0$, $\theta$ está en la mitad que corresponde a $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3 \pi}{2}$.

Como la función tangente no es inyectiva en $\mathbb{R}$ se debe elegir una rama, es decir un intervalo para el ángulo $\theta$.

Otra manera es la siguiente.

Despejando $(r, \theta)$ en términos de $(x, y)$ de la ecuación $$x^2 + y^2 = r ^2$$

Obtenemos que $$r= \sqrt{x^2+y^2}$$

Sustituyendo el valor de $r$ obtenido, en la ecuación $\cos{\theta} = \frac{y}{x}$ obtenemos que $\cos{\theta} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ por lo que el valor de $\theta$ está dado por $$\theta = \arccos\left( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$$

La función coseno tampoco es inyectiva sobre $\mathbb{R}$. Para poder hablar de la inversa hay que restringir el intervalo donde varia $\theta$.

Una opción es $0 < \theta < \pi$.

Es decir, se debe escoger el intervalo de $\theta$ que mejor nos permita calcular el ángulo dependiendo de donde se encuentre el punto $(x, y)$.

$$T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$$ $$(r, \theta) \longrightarrow (x, y)$$

Mediante tabulación.

Si fijamos $r_0 = 1$ y variamos $\theta$, tenemos que $x = r_0 \cos \theta$ entonces $x = \cos \theta$ y para $y = r_0 \sin \theta$ se obtiene $y = \sin \theta$. Luego $(x, y) = ( \cos \theta, \sin \theta)$.

Analíticamente para $r_0 = 1$ $$x^2+y^2=\cos^2 \theta + \sin^2 \theta$$ $$x^2+y^2=1$$

Por lo que la recta $r = 1$ en coordenadas polares es la circunferencia unitaria en coordenadas cartesianas.

Si fijamos $r_0 = 2$ y variamos $\theta$ se obtiene $$x^2+y^2=(2 \cos \theta)^2 + (2 \sin \theta)^2 = 4 \cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta = 4 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 4$$

$$x^2+y^2=4$$

Por lo que la recta $r = 2$ en coordenadas polares es la circunferencia de radio 2 en coordenadas cartesianas.

Además, la recta $r = 0$ en coordenadas polares, es el punto $(0, 0)$ en coordenadas cartesianas.

https://www.geogebra.org/classic/rhv8nvwx

Ahora consideremos una recta horizontal $\theta = \theta_0$

$x = r \cos \theta_0$

$y = r \sin \theta_0$

$(x, y) = (r \cos \theta_0, r \sin \theta_0)$

$(x, y ) = r ( \cos \theta_0, \sin \theta_0)$

El factor $ (\cos \theta_0, \sin \theta_0)$ es constante, si variamos $r$ tenemos que:

* Si $r > 0$ la recta horizontal en coordenadas polares es un rayo que parte del origen en coordenadas cartesianas; pero si $r \in \mathbb{R} $ se transforma en la recta generada por el vector unitario $\vec{u} = (\cos \theta_0, \sin \theta_0)$.

Consideremos el origen $(0, 0)$.

Tomemos la sucesión $\{ (x_n, y_n)\}_{n \in \mathbb{N}} = \{ (\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (0, 0)$

$f(x_n, y_n) = \frac{y_n}{x_n} = 1 \longrightarrow 1$

Tomemos la sucesión $\{ (a_n, b_n) \}_{n \in \mathbb{N}} = \{ (\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (0, 0)$

$f(a_n, b_n) = \frac{b_n}{a_n} = -1 \longrightarrow -1$

Esto nos muestra que $f$ es discontinua en el origen.

Consideremos el punto $(0, y_0)$.

Tomemos la sucesión $\{ (x_n, y_n)\}_{n \in \mathbb{N}} = \{ (\frac{1}{n}, y_0 + \frac{1}{n}) \}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (0, y_0)$

$f(x_n, y_n) = \frac{y_n}{x_n} = \frac{y_0 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = ny_0+1 \longrightarrow \infty$

Tomando $\{(a_n, b_n)\}_{n \in \mathbb{N}} = \{(\frac{-1}{n}, y_0 + \frac{1}{n}\}_{n \in \mathbb{N}})\} \longrightarrow (0, y_0)$

$f(a_n, b_n) = \frac{b_n}{a_n} = \frac{y + \frac{1}{n}}{\frac{-1}{n}} = ny_0+1 \longrightarrow – \infty$

Por lo que $f$ es discontinua en $(0, y_0)$

Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$

$$f(x, y) = \left\{ \begin{array}{lcc} 0 & si & (x, y) = (0, 0) \\ \frac{2xy}{x^2+y^2} & si & (x, y) \neq (0, 0) \end{array} \right.$$

* ¿Cuál es la gráfica de $f$?

* ¿Cuáles son los puntos de discontinuidad?

Cortes con el plano $x = x_0$ constante.

$z = f(x_0, y) = \frac{2x_0 y}{x_0^2+y^2}$ con $x_0 \neq 0$

Por ejemplo, si $x_0 = 1$

$f(1, y) = \frac{2y}{1 + y^2}$

si $x_0 = 2$

$f(2, y) = \frac{4y}{4 + y^2}$

si $x_0 = \frac{1}{2}$

$f(\frac{1}{2}, y) = \frac{y}{\frac{1}{4} + y^2}$

CASO ESPECIAL $x = x_0 = 0$

$$z = f(0, y) = \left\{ \begin{array}{lcc} 0 & si & (x, y) = (0, 0) \\ \frac{2(0)y}{0+y^2} & si & (x, y) \neq (0, 0) \end{array} \right.$$

$z = 0$

En la siguiente liga puedes ver el dibujo de $f(x, y)$ en el plano $yz$ para los diferentes valores de $c$.

https://www.geogebra.org/classic/xeudskhu

¿Cuál es la pendiente?

$z = f(x_0, y) = \frac{2x_0y}{x_0^2+y^2} $ si $ x_0 \neq 0$

$z = g(y) = \frac{2x_0y}{x_0^2+y^2}$

¿Cuál es el valor de $g'(0)$?

Intuitivamente

$2x_0y $ se aproxima a una recta cuya pendiente es $m = 2x_0$

$x_0^2 + y^2 se aproxima a $x_0^2$

entonces $\frac{2x_0y}{x_0^2+y^2} = \frac{2}{x_0}y$

Luego, si $x_0 \longrightarrow 0 $ entonces $g'(0) \longrightarrow \infty$

Derivando

$$g'(y) = \frac{(x_0^2 + y^2)(2x_0) – (2x_0y)(2y)}{(x_0^2+y^2)^2}$$

$$ g'(0) = \frac{2x_0^3}{x_0^4}$$

$$ g'(0) = \frac{2}{x_0}$$

Aproximémonos al origen a través de puntos en rectas.

Recta $y = mx $

$f(x, y) = f(x, mx)$

$\frac{2xy}{x^2+y^2} = \frac{2mx^2}{x^2+m^2x^2} = \frac{2m}{1+m^2} $ que es una constante.

Si $(x, y) \neq (0, 0)$

Puntos en la recta $ y = x$

$(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \longrightarrow (0, 0)$

$f(\frac{1}{n}, \frac{1}{n})) = \frac{2}{1+1} = 1$

Puntos en la recta $ y = 0$

$(\frac{1}{n}, 0) \longrightarrow (0, 0)$

$f(\frac{1}{n}, 0)) = 0$

Por lo que podemos observar que $f$ es discontinua.

Curvas de nivel

$f(x, y)=c $ con $ c \neq 0$

$\frac{2xy}{x^2+y^2} = c $

$2xy = c (x^2+y^2)$

$\frac{2}{c}xy = x^2+y^2$

$y^2 \, – \, \frac{2}{c}xy + x^2 = 0$

Calculamos los valores de $y$.

$$y = \frac{\frac{2}{c}x \pm \sqrt{\frac{4}{c^2}x^2 \, – \, 4x^2}}{2}$$

$$y = \frac{\frac{2}{c}x \pm \sqrt{\frac{4x^2}{c^2}(1-c^2)}}{2}$$

Simplificando obtenemos que:

$$y = \frac{x}{c} \pm \frac{x}{c} \sqrt{(1-c^2)}$$

Son dos rectas y solo hay curvas para el intervalo $c=[-1, 1].$

Sea $A=2$ un rectángulo donde $x_1=2$ y $y_1=1$.

dinujo 3

Luego, $y_{n+1}=\frac{2}{x_n+1} \iff y_{n+1}=\frac{2}{\frac{x_n+y_n}{2}} \iff y_{n+1}=\frac{4}{x_n+y_n}$

De esta manera, definimos $(x_{n+1}, y_{n+1}) := f(x_n, y_n)$ donde $x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}$ y $y_{n+1}=\frac{4}{x_n+y_n}$.

Es decir, tenemos que $$L = \frac{1}{2}\left(L+\frac{2}{L}\right)$$ $$2L = L + \frac{2}{L} \Longrightarrow L = \frac{2}{L} \Longrightarrow L^2 = 2$$ $$\therefore L=\sqrt{2}$$

Ahora vamos a argumentar porque la sucesión de $\{x_n\}$ converge. $$f(x) = \frac{1}{2} \left(x+\frac{2}{x}\right) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{x}$$

dibujo 4

Lema: si tenemos una sucesión $\{x_n\}$ definida por un término inicial $x_0$ y una fórmula de recurrencia $x_{n+1} = f(x)$ los puntos de la forma $(x_n, f(x_n))$ los puedo determinar dibujando una escalera usando la gráfica de $y=f(x)$ y la gráfica $y=x$.

Sea $f(x) =\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)$ y $x_{n+1}=f(x_n)$.

Afirmación:

1. Si $x_n > \sqrt{2} \text{ entonces } f(x_n) > \sqrt{2}.$
2. Si $x_n > \sqrt{2}\text{ entonces } f(x_n) < x_n \text{ en consecuencia } x_{n+1} < x_n$

Consideremos la imagen de $(\sqrt{2}, \infty)$ bajo la función $f(x) = \left( x + \frac{2}{x}\right)$.

¿Es $f(x)$ creciente en $(\sqrt{2}, \infty)$? Si.

Basta ver que $f'(x) > 0 \, \forall \, x \in (\sqrt{2}, \infty)$ $$f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$$ $$f'(x) = \frac{1}{2} \left(1-\frac{2}{x^2} \right)$$ $$x > \sqrt{2} \iff x^2 > 2 \iff 1 > \frac{2}{x^2} \iff 1-\frac{2}{x^2} > 0$$

Por lo que queda probada la afirmación 1.

Si $x_n > \sqrt{2}$ entonces ${x_n}^2 > 2$

$$ {x_n}^2 + {x_n}^2 > 2 + {x_n}^2$$ $$2{x_n}^2 > 2 + {x_n}^2$$ $$x_n > \frac{2 + {x_n}^2}{2}$$ $$x_n > \frac{2 + {x_n}^2}{2 x_n}=\frac{1}{2} \left( \frac{2}{x_n} + \frac{{x_n}^2}{x_n} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{x_n} + x_n \right) = f(x_n) = x_{n+1}$$

$x_n > \sqrt{2} \Rightarrow x_{n+1} < x_n$

Hemos visto que $\{ x_n\}$ es acotada y decreciente. Ahora podemos concluir que $\{x_n\} \longrightarrow \sqrt{2}$.

Por otra parte $y_n = \frac{2}{x_n} \longrightarrow \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ entonces $\{y_n \} \longrightarrow \sqrt{2}$ $$\therefore \{ (x_n, y_n) \} \longrightarrow (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \; _{\blacksquare}$$