Introducción

En este tema, se abordará el tipo de bonos en los que no se realiza el pago de dividendos, analizando sus características, la forma en que operan en el mercado de valores.

Descripción

Los bonos redimibles sin pago de dividendos, son aquellos que como su nombre lo indica no hacen pago de dividendo, sin embargo; comparten la característica de otorgarle al inversionista una cantidad por el concepto de valor de redención, que al igual que los bonos redimibles con pago de dividendos, si el valor de redención es mayor que el valor nominal o de carátula, se dice que el bono se redime arriba de par, si es igual se dice que se redime a la par, y si el valor es menor, se dice que es debajo de par. De igual forma el valor de redención se determina en el contrato como un porcentaje del valor de carátula.

La forma en que opera éste tipo de bonos en el mercado es análoga a la vista en el tema anterior. A continuación se muestra una gráfica que describe su comportamiento:

Este tipo de bonos tiene además la característica de poder tener una duración de años. Su valor de compra lo fija el comprador a través de una tasa de rendimiento, de esta forma la expresión matemática que representa su comportamiento, queda definida de la siguiente forma:

$$V=Cv_i^t$$

donde:

• C representa el valor de redención
• i representa la tasa de rendimiento
• t representa la vigencia o duración del bono
• es importante hacer mención que la vigencia o duración del bono debe coincidir con la periodicidad en la que esté dada la tasa de rendimiento.

Para mostrar como opera este tipo de bonos, se hará mediante el siguiente ejemplo:

Una empresa desea realizar un proyecto de expansión de su planta para tener mayor producción, y necesita una cantidad de 500 mil de pesos; para financiarlo planea emitir 5 mil bonos, con valor nominal de 100 pesos, y quiere pagar a los inversionistas al 115% de su valor nominal una vez que pasen 2 años. Los inversionistas pactan una tasa de rendimiento anual del 2.7%, desean saber de cuánto sería el incremento del financiamiento si se coloca de inmediato la totalidad de la emisión.

La ecuación para obtener el valor presente es cada bono es la siguiente:

$$V = 115v_{0.027}^2 = 115\left(\frac{1}{(1.027)^2}\right)$$

$$V=115(0.94481108417)=109.03$$

El resultado anterior significa que el financiamiento se incrementó a:

$$F=(5,000)(109.03)=545163.734$$

Como el contexto del mercado esta a favor desde el momento de la emisión de la venta de los bonos, en tal caso se puede escoger mejores ofertas de compra, limitando la venta de los bonos, aunque eso implicaría arriesgarse a que los inversionistas quieran elevar la tasa de rendimiento, lo que traerá como consecuencia que el precio de compra de los bonos sea menor.

Por último, este tipo de valores, tiene similitudes con los bonos vistos en el tema anterior, ya que se pueden comprar y vender durante el plazo de su operación, cuando ésto ocurre tanto los compradores como los inversionistas valúan el precio de sus bonos usando la expresión:

$$V=Cv_i^t$$

sustituyendo la tasa de rendimiento pero poniendo especial atención de que el valor de t se mantenga con la misma vigencia que le falte transcurrir al bono.

Bonos redimibles con dividendos pagaderos P veces al año

Otra de las variantes de este tipo de valores, son los bonos en los que el pago de los dividendos lo realizan p veces al año. Para este tipo de bono, la tasa de de dividendo es fijada por el vendedor así como su periodicidad. La diferencia que hay de esta tasa con las tasas de interés y de las tasas pagaderas p veces al año, es que la tasa de dividendos no se divide entre el número de veces en las que serán pagados los dividendos en el lapso de un año.

Por ejemplo, si la persona que va a emitir los bonos, considera pagar por concepto de dividendos el 3% del valor de redención, de forma bimestral, esto quiere decir, que cada dos meses el emisor se compromete a pagar al dueño del bono dividendos por la cantidad del 3% del valor de redención, cantidad que se obtiene al efectuar el producto de gC. Como se puede observar, la diferencia de este tipo de bonos radica en que los dividendos se pagan p veces al año.

A continuación se muestra de forma gráfica la forma en qué operan este tipo de valores:

El valor presente que es también la forma en que se calcula el precio de compra V, de este tipo de bonos, se calcula usando la siguiente ecuación:

$$V=gC\prescript{}{n(p)}{\mathbf{A}}_i+Cv_i^n$$

donde la i que aparece es una tasa efectiva anual.

de dicha expresión que acabamos de mostrar, se hace el siguiente cambio de variable $K=Cv_i^n$, y sustituimos el valor de $\prescript{}{n(p)}{\mathbf{A}}_i=\frac{1-v_i^n}{i^{(p)}}$

y la ecuación queda:

$$V=gC\left(\frac{1-v_i^n}{i^{(p)}}\right)+K$$

$$V=\frac{gC}{i^{(p)}}-\frac{gCv_i^n}{i^{(p)}}+K$$

factorizando $\frac{g}{i^{(p)}}$, y sustituyendo el valor de $K$, nos queda:

$$V=\frac{g}{i^{(p)}}(C-K)+K$$

Ésta ecuación que se acaba de obtener es conocida por el nombre de ecuación de Makeham.

Para calcular la tasa de rendimiento efectiva por p-ésimo año (la llamaremos i’, utilizando la tasa de rendimiento efectiva anual, i, se calcula de la siguiente forma:

$$\left(1+\frac{i^{(p)}}{p}\right)^p=(1+i)$$

a dicha expresión la elevamos $\frac{1}{p}$ y la ecuación queda:

$$\left(1+\frac{i^{(p)}}{p}\right)^{p(\frac{1}{p}}=(1+i)^{\frac{1}{p}}$$

despejando $\frac{i^{(p)}}{p}$ e igualamos con i’, se obtiene:

$$\frac{i^{(p)}}{p}=(1+i)^{\frac{1}{p}}-1=i’$$

en donde p indica la cantidad de veces que se van a pagar los dividendos, suponiendo que p=6, los dividendos serán pagados de forma bimestral.

Recapitulando, la ecuación para calcular el valor presente o precio de compra V, incluyendo los aspectos que se acaban de desarrollar, nos queda:

$$V=gC\prescript{}{(n)(p)}{\mathbf{A}}_{i’}+Cv_{i’}^{(n)(p)}$$

la expresión anterior también se puede denotar como:

$$V=gC\frac{1-v_{i’}^{np}}{i’}+Cv_{i’}^{np}.$$

Reasignando a la variable $K=Cv_{i’}^{np}$, la ecuación de Makeham, cambia a la siguiente expresión:

$$V=\frac{g}{i’}(C-K)+K.$$

Ésta expresión nos dice que el precio de compra del bono se determina calculando la suma del valor presente de los dividendos que se espera recibir, más el valor presente del valor de redención.

Cabe señalar, que la valuación de un valor de renta fija se puede hacer en el momento en el que se emite, y también puede hacerse en cualquier momento de su duración. El precio del valor dependerá del tiempo que haya transcurrido así como el comportamiento que exista en ése momento en el mercado de valores, situación que repercute directamente en el cambio de las tasas de rendimiento estimadas por el inversionista.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. En una fabrica de zapatos, la empresa quiere modernizarla, para ello considera un gasto de 35 millones de pesos, y quiere emitir 30 mil bonos, con un valor nominal de \$500 pesos cada uno, ofertando una cantidad del 115% a los inversionistas del valor nominal, al termino de 4 años. Hacer la valuación de dichos bonos, considerando un rendimiento esperado del 3.4% anual y observar cuánto incrementa el financiamiento, si se coloca toda la emisión.

Más adelante…

Con este tema se da por concluido el material de este curso. en las siguientes entradas se mostrara un compendio de fórmulas y conceptos que servirán como material de consulta rápida, dirigido a aquellos alumnos que sólo desean algún recordatorio rápido.

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Introducción

En ésta sección se continuarán presentando algunas opciones de valores, que se utilizan con el mismo objetivo, obtener financiamiento, con la finalidad de conocer cuales son la forma en que operan, las características que tienen, la forma en que se valúan, entre otros aspectos.

Descripción

Un bono redimible con pagos de dividendos, es un tipo de valor, el cual se caracteriza por pagar al inversionista, dividendos en cada periodo durante la duración de dicha operación, además de aportar una determinada cantidad cuando la duración de dicho valor culmine.

Los elementos que se manejan al operar con éste tipo de valor, son los siguientes:

• En su carátula se escribe el valor nominal del bono, también es conocido como valor de carátula y será representado por la leta P. Sin embargo, el valor nominal del bono, no representa necesariamente su valor monetario, sólo es una representación en unidades, que simboliza la participación de dicho bono en relación a la cantidad total emitida de dicho valor. Si por ejemplo, se otorga un préstamo por la cantidad de \$10 mil pesos, con valor nominal de \$10 pesos cada bono, en tal situación se tienen una cantidad de mil bonos con ése valor nominal. Reiterando lo que se hace mención que no necesariamente representa su valor nominal, sino que solamente representa una milésima parte del préstamo. Éste tipo de comportamiento se asemeja al comportamiento que adoptan las acciones (son valores de renta variable) en una empresa cuando éstas representan el capital social que tiene, es decir, cada acción es una representación de una parte de dicho capital.
• El valor nominal de un bono no representa su valor teórico (éste comportamineto aplica también a las acciones de una empresa), «sólo es una forma de representar una proporción con respecto al préstamo total» Cánovas T. 2004.
• En cada bono queda acordado las cláusulas con las cuales serán pagados a los inversionistas mediante una tasa de dividendos, donde quedará asentada la periodicidad con la que se harán los pagos.
• El valor nominal de los bonos queda determinado por los dividendos futuros, y es a través de éstos que se calculará el valor presente o también conocido como valor de compra del bono. En el momento de hacer la compra, el inversionistas, es cuando se calcula con una tasa de rendimiento estimada.
• El valor de redención, es la cantidad que se pagará cuando se termine la vigencia de éste valor. Si dicha cantidad es igual a la cantidad de compra, bajo esa condición se dice que el bono se vende a la par. Si el precio de compra es mayor, a la cantidad nominal, entonces se dice que el bono se vende arriba de par, y si es a la inversa, entonces se dice que se vende abajo de par.
• «El valor de redención, queda determinado como un porcentaje del valor nominal». De esta forma, el emisor puede pactar que el valor de redención sea de 105% del valor nominal. Cánovas T. 2004.
• Los dividendos que se pagan cada periodo quedan establecidos a través de una tasa conocida como tasa de dividendos, la cual se usa en el valor de redención. No se aplica en el valor de la carátula o valor nominal, porque sólo es una referencia que representa el porcentaje respecto al total emitido.
• La tasa de dividendos, se obtiene en tanto por ciento, que tiene periodicidad con la que se deberán pagar los dividendos durante la duración de la operación. Ésta tasa de dividendos, puede ser por ejemplo, del 7% trimestral.
• De esta forma, si se le asigna la variable C para representar el valor de redención y la variable g a la tasa de dividendos (pagado por periodo mes, año, bimestre, etc.), se puede representar su comportamiento gráficamente por medio de la siguiente imagen:

La variable con la se representará el valor presente del bono será V, mientras que la cantidad de por concepto de dividendo que se pagará se obtiene haciendo el producto de gC.

Suponiendo que la tasa de dividendos sea del 3% bimestral, y el valor de redención sea de \$110, con ésta el monto del dividendo se obtiene

$$(0.03)(100)= \$3 $$

dicha cantidad es la que se tendrá que pagar cada bimestre. Es importante señalar que el pago de dividendos se hace de forma vencida y que la empresa, institución o inversionista que emita este tipo de bonos, es quien determina los pagos de dividendos así como el valor de redención, el cual se obtiene basándose en las utilidades futuras que se espera obtener, y en los flujos de efectivo que haya, que se tengan como resultado de la emisión y venta de dichos valores.

Por ejemplo, una empresa desea financiar un proyecto de una ampliación de sus instalaciones, para lograrlo busca un financiamiento, y solicita un préstamo por la cantidad de \$10 mil pesos, por lo cual emite 100 bonos, con un costo nominal de \$100 pesos cada uno. Consideran pagarlo en 25 meses y un pago de redención de \$110 al final del plazo, y dividendos anuales en efectivo de 18% (tasa de dividendo, g). del valor de redención, esto quiere decir que la cantidad que se pagará por este concepto es de $\$19.80$, por cada bono.

En el mismo ejemplo, si una empresa estuviera interesada en adquirir éstos valores (o éstos bonos), se pagaría por ellos la cantidad de:

$$(4)(110)+110=\$189.2$$

dinero que podría ser el pago para adquirir un bono. Bajo éste supuesto calculado al día de hoy, se muestra que bajo esas condiciones al comprador no le conviene hacer dicha compra, ya que para recuperar su dinero tendría que esperar 25 meses, sin ninguna otra recompensa o pago, por lo que le convendría mejor invertir en otra opción que le produjera mejores intereses.

Esto nos lleva a presentar la forma adecuada con la que se debe calcular el valor de compra de un bono, el cual consiste en traer a valor presente, a la fecha en que se realiza la compra, cada uno de los flujos de efectivo que representan el pago de los dividendos y por el pago final que es el valor de redención que realizará el emisor.

Para llevar a cabo el calculo del valor presente, es necesario que para los dividendos como para el pago final, se fije una tasa de interés, misma que se pacta con la empresa (inversionista, institución), que realiza la compra, considerando aspectos de riesgo que represente la inversión, y que contempla además, las condiciones que tenga el mercado así como otras variables que estarán incluidas en la varia i, y que será denominada o conocida como tasa de rendimiento para diferenciarla de la tasa de interés. Una representa el interés que gana el inversionista y otra representa el la cantidad que se espera ganar por hacer la compra.

«La tasa de rendimiento esperada se debe de tomar en cuenta para calcular el valor presente, tanto de los dividendos como del valor de redención del bono, para que con esto se pueda calcular el valor de compra. Con esto se garantiza que el inversionista obtenga su rendimiento deseado». (Cánovas T. 2003)

Vale la pena recordar que en el momento que se revisó el tema de anualidades, en el subtema que hacía referencia a la variación de tasas de interés en el valor presente de la anualidad. Si la tasa de interés aumenta, el valor presente disminuirá y viceversa, manteniendo una relación inversa. Este comportamiento ocurre debido a que los valores presentes se calculan con $v_i^t$, función que es inversa a la de acumulación $(1+i)^t$.

Bajo este contexto, si el inversionista planea un alto rendimiento en la inversión, pagará una menor cantidad por el bono. Sin embargo, si los deseos del inversionista es manejar tasas alta de rendimiento, entonces el vendedor recibirá menor cantidad de dinero por la colocación de sus bonos. Una situación semejante ocurre, si los compradores observan que los intereses bajan en el mercado, esto trae como consecuencia que se reduzca la tasa de rendimiento y que se pague una cantidad mayor por el bono que beneficiará más a favor emisor.

La tasa de rendimiento, para fines prácticos, debe ser utilizada efectiva por periodo manejando la misma periodicidad con la que se maneja al pago de los dividendos, por ejemplo, si los dividendos se pagan de forma semestral, la i, debe ser igual semestral.

Cabe hacer mención, que si se llegase a dar el caso en el que el valor presente del bono, o precio de compra calculado con la tasa de rendimiento propuesta por el inversionista, resulta muy baja para el emisor, éste puede decidir que la venta no se realice; ya que como se había hecho mención, la idea principal de emitir bonos, es obtener una forma de financiamiento y el emisor tiene el derecho de aceptar pagar o no el costo que represente.

Retomando el ejemplo que se venía manejando, y la tasa de rendimiento que espera el inversionista tener sea del 16%, entonces el valor de compra del bono se podría calcular de tal como se muestra en la siguiente imagen:

La cantidad aritmética que se obtiene de la suma de cada flujo de efectivo es de \$149.6 ya considerado en ella el valor de redención, en contraste con la cantidad obtenida que representa el valor de compra.

Bajo el procedimiento que se acaba de mostrar en la imagen anterior, es la forma en la que se puede determinar la ecuación general para poder valuar bonos redimibles con pago de dividendos. Cuando se haga la valuación en la fecha en la que se tiene considerado hacer la compra, en tal supuesto el valor que se obtendrá es el valor de compra del bono.

A continuación se procederá a construir el modelo general para valuar bonos redimibles con pago de dividendos.

Partiendo del ejemplo de la imagen expuesta hace unos momentos, se tiene que el valor presente de los dividendos así como el valor de redención con su respectiva tasa de interés, y haciendo uso de las variables g (tasa de dividendos), C (valor de redención sobre el que se calculan los dividendos), está representado por la siguiente ecuación:

$$V=gCv_i^1+gCv_i^2+gCv_i^3+…+gCv_i^{n-1}+gCv_i^{n}+Cv^n$$

De dicha expresión se factoriza gC en los n primeros términos, para obtener:

$$V=gC(v_i^1+v_i^2+v_i^3+…+v_i^{n-1}+v_i^n)+Cv_i^n$$

$$V=gC\prescript{}{n}{\mathbf{A}}_i+Cv_i^n$$

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Una empresa de bienes raíces quiere financiar un proyecto de creación de una unidad habitacional, para lograrlo requiere la cantidad de 150 millones de pesos; y planea pagarlo dicho cantidad en 8 años. Para obtener dicha cantidad emite 5 millones de bonos los cuales serán pagados a los inversionistas con una cantidad del 53.5% del valor nominal, cantidad que se entregará al final junto con el pago de dividendos anuales equivalente al valor de redención del 6.4% y la tasa de rendimiento que se espera obtener es del 17%

Más adelante…

Se continuarán abordando otros tipos de bonos, en donde se dará seguimiento a las aplicaciones prácticas de todas las herramientas que se han estado desarrollando.

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Introducción

El problema de tener recursos para poder desarrollar un proyecto, se resuelve con el financiamiento, que no es otra cosa que la recolección de recursos económicos, a través de la emisión de documentos que representan el pago de cierta cantidad de intereses a cambio de los recursos, estos documentos se llaman de diferentes forma, dependiendo de la institución, o empresa que los emita, aunado a ésto también iran determinadas las condiciones bajo las cuales se van a pagar dichos beneficios que nos son otra cosas que los intereses generados, por privarse de ésos recursos e invertirlos en una empresa para que ésta pueda llevar a cabo sus proyectos.

Descripción

Como se mencionó en el tema anterior, los valores de renta fija, son todos aquellos que se encuentran libre de riesgo, aquellos que cuentan con una garantía de pago de los intereses o rendimientos generados, una vez transcurrido cierto tiempo o durante la vigencia del documento que se haya emitido. Una vez que el documento se encuentre vencido, puede ocurrir que se haga el pago de los intereses más el capital aportado o también puede pasar que se vuelva a reiniciar el proceso, dependiendo de las condiciones que se hayan pactado.

Tal como se mencionó, el nombre de los valores de renta fija que emiten los bancos son conocidos como pagarés bancarios, en los que los intereses son liquidables al vencimiento, esto quiere decir, que se tienen que pagar cuando llegue la fecha acordada para ello.

La forma en que funcionan este tipo de valores, resulta bastante conocida, ya que consiste en que el banco preste una cierta cantidad a una tasa de interés, pero la tasa de interés puede ir cambiando dependiendo de la duración del plazo y de la cantidad otorgada. Una vez que se termina el plazo acordado, el banco deberá de pagar al inversionista el capital que invirtieron junto con los intereses. La tasa que los bancos regularmente utilizan para hacer ésta operación es una tasa nominal convertible diariamente, con plazos de 7, 28, 180 días.

La ecuación de valor que se utiliza para hacer ésta operación es:

$$M=K\left(1+\frac{i^{(m)}}{m}\right)^{mt}$$

La ecuación anterior, nos permite saber cuál de las tasas de interés que ofrecen los bancos, es la que más le conviene a los inversionistas, y muy seguramente escogerán al banco que ofrezca la tasa más alta.

Este tipo de valores, tienen la característica de que no pueden transferirse a otra persona, y tampoco el propietario emisor puede venderlo a alguien más, bajo estas condiciones la tasa de interés es pactada y queda asentada en el pagaré.

Los bonos son un tipo de valores, que se manejan con bastante frecuencia entre los inversionistas, los bancos y los gobiernos. Al ser un valor de renta fija, cuentan con una garantía de realizar el pago, mientras se termine el plazo de la duración de la operación. Sin embargo, la forma en que se realice dicho pago, puede ser en cada periodo o al final del plazo, y también hay casos en los que se da una combinación entre las dos opciones anteriores.

Cuando se escoge que los pagos se hagan de forma periódica se les conoce mejor con el nombre de dividendos, y dependiendo de la característica del bono, hay algunos que pueden ofrecer al final de su vigencia, un pago extra aparte de los intereses. O bien, cuando el pago se hace en una sola exhibición, se le denomina que el bono es redimible.

Otras diferencias que los caracteriza, es que la duración de los bonos, pueden llegar a ser por décadas y mientras que, por ejemplo, un pagaré se emite a favor de una persona en particular y los bonos pueden ser emitidos al portador, el tener ésta característica, les permite que su valor pueda cambiar en el plazo que tiene como vigencia, ya que dependiendo del contexto en el que se encuentre la economía, el valor del bono puede ser uno al inicio de la operación e irse modificando su precio de venta, dependiendo del comportamiento del mercado financiero y de lo que decidan los inversionistas.

Más adelante…

Es necesario abordar éste contexto meramente teórico para estar familiarizados con la forma en que son utilizados éste tipo de valores, para que en las siguientes secciones se pueda comprender mejor la forma en que deben ser valuados, respetando sus características en la forma en que se van a pagar, si es a través de dividendos, si son redimibles, las reglas que los rigen, etc.

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Introducción

La forma en que los gobiernos de muchos países, para poder llevar a cabo mejores y proyectos de mantenimiento a carreteras, obras, realizar proyectos de modernización, abastecimiento de agua, luz, servicios en general, entre otras muchas cosas, recurren a fuentes de financiamiento para hacerlo. La forma en que funciona este tipo de financiamiento es el tema que se abordará en ésta sección.

Conceptos generales del mercado de valores

La mayoría de los gobiernos de cualquier país, necesitan un financiamiento para llevar a cabo el mantenimiento de toda la infraestructura que posee la sociedad, los recursos los adquieren por medio del cobro de los impuestos a los ciudadanos, y a las empresas que operan en cada región, sin embargo hay ocasiones en que dichos recursos no son suficientes.

Un caso semejante les ocurre a las empresas, cuando tienen considerado expandirse con otras sucursales, o pretenden modernizar su maquinaria, su parque vehicular, etc. Para llevarlo a cabo las empresas pueden acudir a un banco para justamente adquirir créditos, sin embargo al igual como le pasa al gobierno hay ocasiones en que dichas instituciones financieras no son suficientes.

En ambos casos, cuando las empresas ó el gobierno, se quieren hacer de algún crédito aparecen las variables que durante todo este tiempo se han estado manejando, capital, tasa de interés, temporalidad o duración del crédito, monto y la forma en que va a ser pagado. Todas esas variables y condiciones mediante los cuales se pactan la forma en que se pagará un crédito aparecen debidamente descritas en un contrato, el cual es firmado por ambas partes involucradas.

Retomando el problema de financiamiento que tienen las empresas, para solucionarlo, pueden recurrir también a la venta de acciones (cada una de las acciones es equivalente a una pequeña parte de la empresa), invitando a inversionistas a ser parte de la empresa comprando una pequeña parte de ésta. Dichas acciones pueden otorgar intereses, los cuales son llamados dividendos, sobre una cierta inversión. Estos dividendos pueden ser pagos fijos o variables.

Los socios de la empresa son los que determinan, al momento de crear la empresa, el valor del capital social de la misma, el cual queda determinado por las aportaciones de cada uno de los socios y por el valor del número de las acciones que representan dicho capital. El valor de dichas acciones se irá modificando a través del tiempo, pueden incrementar, disminuir o mantener su valor, dependiendo del crecimiento de la empresa, sus ganancias, entre otros factores. El tema de cómo se comportan las acciones es bastante interesante y amplio, sin embargo no es el objeto principal de estudio del presente material. Sin embargo era necesario, hacer mención de sus generalidades para tener una idea más concreta de su funcionamiento y ubicar la importancia de éste tema dentro de las matemáticas financieras y sobre todo por la importancia que tienen como una alternativa de fuente de financiamiento.

Este tema aborda los conceptos de acciones, bonos de la tesorería, pagares y otros documentos de deuda, son ejemplos de formas de tener un financiamiento y son mejor conocidos como valores. El lugar donde se puede comerciar dichos documentos, se llama Bolsa mexicana de valores, y es en ella donde a través de casas de bolsa (instituciones autorizadas por el gobierno para servir de intermediarios entre las empresas, los inversionistas o instituciones de gobierno, que estén interesadas en comprar o vender dichos valores.

El mercado de valores, está compuesto por empresas privadas, instituciones gubernamentales, inversionistas, así como las diferentes operaciones de compra-venta que llevan a cabo en la bolsa.

-«Los valores pueden ser clasificados como nacionales o extranjeros, públicos o privados, y de renta fija o de renta variable»- (Cánovas. T.)

Los valores de renta fija, son todos aquellos que se encuentran libres de riesgo, de cierta forma está garantizado el pago de los intereses convenidos, y regularmente son emitidos por el gobierno, sin embargo, también se puede encontrar éste tipo de valores por parte de empresas privadas. Este tipo de valores se diferencias de las acciones, porque éstas no garantizan algún rendimiento exacto, como puede subir su precio, puede bajar o puede ser igual al que se compró al momento de adquirirlo. Ejemplo de este tipo de valores son los que emiten el gobierno en sus diferentes ordenes (Federal, Estatal o municipal), certificados de la tesorería (CETES), Bonos de desarrollos, los UDIbonos (su valor queda determinado por las UDIS, el cual se ajusta dependiendo de la inflación), por parte de los bancos aparecen pagarés con interés liquidable al vencimiento, el papel cédulas hipotecarias, entre otros.

Existen también los dividendos, que son un tipo de acciones que ofrecen garantizar el pago de un interés mínimo.

Una de las aplicaciones de los temas que se han estado trabajando durante todo este tiempo, se da cuando hay un reparto de dividendos que como se mencionó es el pago de los intereses generados de una inversión, y éstos los pagan al término de un año fiscal que pueden ser pagaderos p veces al año, una expresión con la que ya se ha estado trabajando con bastante frecuencia. Cabe hacer mención que el pago de los dividendos también suele cambiarse por la adquisición de más acciones de la empresa.

Otro dato importante que es necesario mencionar es el mercado de dinero el cual se conforma por las casas de bolsa, los inversionistas y las instituciones financieras así como la actividad de compra-venta de valores de renta fija.

También existen los fondos de inversión de renta variable, este tipo de valores pueden ofrecer rendimientos muy altos, pero de igual forma pueden representar pérdidas igual de grandes, es por ésta razón que la mayoría de veces que se hacen uso de éste tipo de valores lo realizan en combinación con los re renta fija, para de alguna forma disminuir el riesgo que implica ésta practica.

A continuación, se muestra un Cuadro que resume los diferentes tipos de valores, la forma en que opera y qué entidad es la que los emite.

Más adelante…

Este tema solo se trató de abordar los conceptos más generales que aparecen en el mercado de valores, para estar en contexto de cómo se manejan de forma general dichos conceptos, sin embargo; es necesario mencionar que fueron descritos ya que se abordará el tema de valuación de valores de renta fija, para lo cual se hará uso de todas las herramientas de matemáticas financieras que hasta el momento se han dado a conocer.

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Introducción

Este tipo de fenómenos, ocurre cuando los créditos que se otorgan tienen la características que su duración es mucho más tiempo, esto se puede interpretar como por ejemplo más de dos años. También ocurre cuando las tasas de referencia que aparecen en los mercados financieros, se comportan de forma inestables, esto quiere decir que tiene variaciones frecuentes, es decir su valor cambia.

Descripción

Cuando ocurre lo anterior y los créditos o préstamos que se hacen utilizando tasas de interés de referencia, se pacta que para dichas operaciones la cantidad de intereses que se vaya a pagar, sea modificada en cada periodo, esto es, la tasa de interés que se va a utilizar será variable de un periodo a otro. Como ya se ha mencionado algunas tasas de referencias son la TIIE, la tasa CETES, etc. Cabe hacer mención que a éstas tasas de interés, al usarlas se le suele añadir uno o dos puntos porcentuales más al momento de utilizarla para obtener la cantidad que se cobrará de interés.

También hay ocasiones en las que se establece que la tasa de interés sea modificada al término de cada año, y así sucesivamente durante toda la vigencia del contrato.

Ahora con respecto a la construcción de las tablas de amortización, en el caso donde se pacta hacer uso de tasas de referencia, implica que la tabla de amortización se tenga que construir en cada periodo, una vez que se conozca el valor de la tasa, es en ése momento que se puede construir.

En el otro caso, lo que se hace es pactar proyecciones a futuro de las tasas, ambas aceptadas por los involucrados.

Fue de los puntos anteriores, la forma de construcción de la tabla de amortización es semejante a como se han venido construyendo.

Veamos el siguiente ejemplo: Una empresa adquiere un crédito por una cantidad de \$175 mil pesos, la cual planean pagar en 10 mensualidades iguales, con cantidad a pagar directo al capital por una suma de \$17,500, con una tasa de interés TIIE mensual considerando 0.3 puntos porcentuales.

Supongamos que el comportamiento de la TIIE serán las siguientes: 0.415%, 0.654%, 0.765%, 0.456%, 0.721%, 0.631%, 0.476%, 0.614%, 0.817%, 0.522%, respectivamente.

La tabla de amortización queda como sigue:

Es pertinente señalar que en la columna con título tasa de interés, aparece la que se había propuesto, más los 3 puntos porcentuales, ya calculados. Los intereses que se van a pagar, tienen que ser calculados en cada uno de los periodos, ya que la tasa de interés varía en cada periodo.

Amortización con tasas de interés variables por periodos

Ocurre en operaciones de crédito que en las que se acuerda entre las partes involucradas, fijar un cierta tasa de interés durante parte de la vigencia del crédito, esto puede ser por ejemplo que los pagos se hagan de forma bimestral y la tasa de interés quede fija sólo por el primer año, mientras que en los años siguientes la puedan modificar, así sucesivamente hasta que termine la vigencia del crédito. Dicho acuerdo de fijar las tasas de interés, puede fijarse desde el inicio de la operación del crédito o irse renegociando cada año, el aspecto que se intenta es considerar circunstancias económicas que prevalezcan en ése momento.

Respecto a la construcción de la tabla de amortización, ésta puede ser construida si se conocen las tasas de interés, esto puede dar, si desde el inicio de operaciones del crédito, quedan fijadas las tasas de interés que serán manejadas durante la vigencia del crédito. Si se fija sólo por el primer año, sólo podrá ser construida para los periodos que estén contenidos en ése año, una vez terminado ese año, se volverá a fijar la tasa que operará en el siguiente y hasta ése momento se podrá elaborar la tabla de amortización.

Otro aspecto a considerar, es que en este tipo de créditos, pueden usar tasas de referencia o también usar el comportamiento que tuvieron éstas en el año anterior.

Veamos el siguiente ejemplo: Una empresa que se dedica a la serigrafía, planea modernizar todo su inventario en maquinaria y mercancía, para poder hacerlo ha solicitó un crédito por 5 millones de pesos, los cuales piensa pagar en 4 años, con pagos realizados por cuatrimestre, manejando cada año las siguientes tasas, 1.5% para el primer año, 2.4% para el segundo año, 1.9% para el tercer año y 2.3% para el último año.

Para determinar el pago que se realizará en cada periodo se hace lo siguiente:

$$\frac{\$5,000,000}{12}=416,666.667$$

La tabla de amortización correspondiente a éste ejercicio queda de la siguiente forma:

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Se tiene un crédito emitido por la cantidad de 3 millones de pesos, con pagos trimestrales iguales, de forma vencida, con una tasa fija del 16.7% para el primer año, 17.8% para el segundo año, 21.7% para el tercer año. Construir toda la tabla.

Ejercicio. Se tiene una deuda por la cantidad de \$55000, la cual se tiene considerado pagar en 6 pagos mensuales fijos al capital. Para dicha operación se pacto una tasa de interés de CETE, más dos puntos porcentuales. Supongamos que las tasa CETEs, dan los siguientes resultados: 2.21%, 1.25%, 3.1%, 1,7%, 0.97%, 3.5%, respectivamente para cada pago. Se quiere obtener la tabla de amortización.

Más adelante…

Con éste tema se termina de analizar el concepto de amortización, para que en el siguiente capítulo se aborda la forma en que se pueden hacer valuaciones de valores de renta fija, la forma en que se puede determinar, así como el modo en el que operan.

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