Definición: Área

La noción intuitiva de área de una región en el plano es el número
de unidades cuadradas contenidas en la región.

Al definir área aceptaremos que el área $A(S)$ de un conjunto
debe ser un número no negativo con las propiedades siguientes:

1.-Si S es un cuadrado de lado K entonces $A(S)=K^2$

2.-El área del todo es la suma de las áreas de sus partes.
Más precisamente si $S$ consiste de los conjuntos que no se
traslapan $S_1$,…,$S_n$ de áreas $A(S_1)$,…,$A(S_n)$
respectivamente, entonces el área de $S$ es $$A(S)=A(S_1)+\dots +A(S_n).$$

Los cuadrados congruentes proporcionan la manera más fácil de
cubrir el plano sin espacios vacíos o traslapes. Usaremos la rejilla asociada al sistema coordenado proporcionada por
las rectas $x=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ e $y=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ la cual
divide al plano en cuadrados de lado 1.

Denotamos ${\displaystyle A_0^{+}(S)}$ el número de cuadrados que
tienen puntos en común con $S$ y ${\displaystyle A_0^{-}(S)}$ el
número de aquellos que están completamente contenidos en $S$

Dividamos ahora cada cuadrado en 4 partes iguales de lado
${\displaystyle \frac{1}{2}}$ y área ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.
Sea ${\displaystyle A_1^{+}(S)}$ la cuarta parte del número de
aquellos subcuadrados que tienen puntos en común con $S$ y
${\displaystyle A_1^{-}(S)}$ la cuarta parte de aquellos completamente
contenidos en $S$.

Se tiene que ${\displaystyle A_0^{-}(S)\le {\displaystyle A_1^{-}(S)}}$ y de modo semejante
${\displaystyle A_0^{+}(S)\ge A_1^{+}(S)}$, al continuar dividiendo cada cuadrado de lado ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ en 4 cuadrados de lado $\frac{1}{4}$. Un dieciseisavo de esos cuadrados que tienen puntos en común con $S$ y un dieciseisavo de esos cuadrados que estan completamente contenidos en $S$, se denotaran por
${\displaystyle A_2^{+}(S)}$ y ${\displaystyle A_2^{-}(S)}$. \Procediendo de esta forma se asocian los valores ${\displaystyle A_n^{+}(S)}$ y ${\displaystyle A_n^{-}(S)}$ con una división en cuadrados de lado $2^n$. Es evidente que los valores ${\displaystyle A_n^{+}(S)}$ forman una sucesión monótona decreciente y acotada que converge hacia un valor ${\displaystyle A^{+}(S)}$, mientras que los valores ${\displaystyle A_n^{-}(S)}$ crecen monótonamente y convergen hacia un valor ${\displaystyle A^{-}(S)}$.
El valor ${\displaystyle A^{-}(S)}$ representa el área interior, lo mejor que
puede aproximarse el área de $S$ desde abajo por medio de cuadrados
congruentes contenidos en $S$, el área exterior ${\displaystyle A^{+}(S)}$
representa la mejor cota superior obtenible cubriendo a $S$ por
medio de cuadrados congruentes. Podemos denotar ${\displaystyle A_n^{-}=\sum _{ik}{2}^{-2n}}$ con $R_{ik}\subset S$, ${\displaystyle A_n^{+}=\sum _{ik}{2}^{-2n}}$ con $R_{ik}\cap S\ne \mathrm{\varnothing }$ a partir de la definición resulta $0\le {\displaystyle A_n^{-}\le {\displaystyle A_n^{+}}}$.\ Las sumas ${\displaystyle A_n^{-}}$ forman una sucesión no decreciente con la cota superior ${\displaystyle A_1^{+}}$ así, convergen hacia un limite $A^{-}={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n^{-}}$.
De manera semejante Las sumas ${\displaystyle A_n^{+}}$ forman una sucesión no
creciente con la cota superior ${\displaystyle A_1^{-}}$ así, convergen hacia un limite
$A^{+}={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle A_n^{+}}}$.
Si ambos valores concuerdan se dice que $S$ es mesurable según
Jordan y el valor común ${\displaystyle A^{-}(S)=A^{+}(S)}$ se llama contenido, o
medida de Jordan de $S$.

Más generalmente, cualquier rectángulo $S$ con lados paralelos a
los ejes coordenados, $S:a\le x\le b,c\le y\le d$.

Dado un entero positivo n, se pueden encontrar enteros
$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ tales que

$\alpha <a\cdot 2^n\le \alpha +1,\gamma <c\cdot 2^n\le \gamma +1$

$\beta \le b\cdot 2^n<\beta +1\delta \le d\cdot 2^n<\delta +1$

por lo tanto
${\displaystyle \frac{\alpha }{2^n}<a\le \frac{\alpha +1}{2^n}}$
${\displaystyle \frac{\gamma }{2^n}<c\le \frac{\gamma +1}{2^n}}$

${\displaystyle \frac{\beta }{2^n}\le b<\frac{\beta +1}{2^n}}$

${\displaystyle \frac{\delta }{2^n}\le d<\frac{\delta +1}{2^n}}$

Usando una rejilla adecuada de longitud $2^n$ tenemos que

${\displaystyle \frac{\beta }{2^n}-\frac{\alpha +1}{2^n}+\frac{2}{2^n}\le b-a+\frac{2}{2^n}}$

${\displaystyle \frac{\beta +1}{2^n}-\frac{\alpha }{2^n}-\frac{2}{2^n}\ge b-a-\frac{2}{2^n}}$

${\displaystyle \frac{\delta }{2^n}-\frac{\gamma +1}{2^n}+\frac{2}{2^n}\le d-c+\frac{2}{2^n}}$

${\displaystyle \frac{\delta +1}{2^n}-\frac{\gamma }{2^n}-\frac{2}{2^n}\ge d-c-\frac{2}{2^n}}$

Por lo tanto
$$A_n^{+}=(\frac{\beta }{2^n}-\frac{\alpha +1}{2^n}+\frac{2}{2^n})(\frac{\delta }{2^n}-\frac{\gamma +1}{2^n}+\frac{2}{2^n})$$
$$A_n^{-}=(\frac{\beta +1}{2^n}-\frac{\alpha }{2^n}-\frac{2}{2^n})(\frac{\delta +1}{2^n}-\frac{\gamma }{2^n}-\frac{2}{2^n})$$

De la desigualdad
$$A_n^{-}\le A\le A_n^{+}$$
tenemos que
$$(\frac{\beta +1}{2^n}-\frac{\alpha }{2^n}-\frac{2}{2^n})(\frac{\delta +1}{2^n}-\frac{\gamma }{2^n}-\frac{2}{2^n})\le A\le (\frac{\beta }{2^n}-\frac{\alpha +1}{2^n}+\frac{2}{2^n})(\frac{\delta }{2^n}-\frac{\gamma +1}{2^n}+\frac{2}{2^n})$$
como
$$(b-a-\frac{2}{2^n})(d-c-\frac{2}{2^n})\le (\frac{\beta +1}{2^n}-\frac{\alpha }{2^n}-\frac{2}{2^n})(\frac{\delta +1}{2^n}-\frac{\gamma }{2^n}-\frac{2}{2^n})$$
$$(\frac{\beta }{2^n}-\frac{\alpha +1}{2^n}+\frac{2}{2^n})(\frac{\delta }{2^n}-\frac{\gamma +1}{2^n}+\frac{2}{2^n})\le (b-a+\frac{2}{2^n})(d-c+\frac{2}{2^n})$$
entonces
$$(b-a-\frac{2}{2^n})(d-c-\frac{2}{2^n})\le A_n^{-}\le A\le A_n^{+}\le (b-a+\frac{2}{2^n})(d-c+\frac{2}{2^n})$$
por lo tanto
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(b-a-\frac{2}{2^n})(d-c-\frac{2}{2^n})\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n^{-}=A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n^{+}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(b-a+\frac{2}{2^n})(d-c+\frac{2}{2^n})$$
$A={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle A_n^{+}={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle A_n^{-}=(b-a)(d-c)}}}}$.