Definición 1: (en términos de sucesiones)

Sea $f: A\subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$.

Sea $\overrightarrow{x_0}$ un punto de acumulación de $A$. Sea $\overrightarrow{L} \in \mathbb{R}^m.$

Decimos que $\overrightarrow{L}$ es el límite de $f$ cuando $\overrightarrow{x} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ con $\overrightarrow{x} \in A$ si para toda sucesión $\{ \overrightarrow{x_n} \} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ con puntos $\overrightarrow{x_n} \in A$, con $\overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}$ resulta que la sucesión $\{f(\overrightarrow{x_n})\} \longrightarrow \overrightarrow{L}$

Observación: como la noción de convergencia de una sucesión vale en espacios métricos, esta será nuestra definición de límite de una función $f : X \longrightarrow Y$ con $(X, d_x)$ y $(Y, d_y)$ espacios métricos.

El concepto de límite nos permite dar un concepto de continuidad de una función en un punto.

Sea $f : A \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$.

Sea $\overrightarrow{x_0} \in A$.

Decimos que $f$ es continua en $\overrightarrow{x_0}$ si para toda sucesión $\{ \overrightarrow{x_n}\} \in A$ tal que $\{ \overrightarrow{x_n}\}$ converge a $\overrightarrow{x_0}$ resulta que $\{ f ( \overrightarrow{x_n})\} \longrightarrow f (\overrightarrow{x_0}).$ En otras palabras, $f$ es continua $ \overrightarrow{x_0}$ si existe el límite de $f$ cuando $\overrightarrow{x}$ tiende a $\overrightarrow{x_0}$ y este límite es igual a $f(\overrightarrow{x_0}).$

Decimos que $f$ es continua en $\overrightarrow{x_0}$ si $\forall \, \epsilon > 0 \; \exists\, \delta > 0$ tal que $ \|\overrightarrow{x}\, -\, \overrightarrow{x_0}\| < \delta$ implica que $\|f ( \overrightarrow{x}) \, – \, f(\overrightarrow{x_0})\| < \epsilon.$

Definición 3: (en términos de bolas abiertas)

$\overrightarrow{L}$ es el límite de $f$ cuando $\overrightarrow{x} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ si para toda bola de radio $\epsilon > 0$ centrada en $\overrightarrow{L}$ existe una bola perforada de radio $\delta > 0$ centrada en $\overrightarrow{x_0}$ tal que $\overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} (\overrightarrow{x_0})$implica que $f(\overrightarrow{x}) \in B_{\epsilon} (\overrightarrow{L}).$

Decimos que $f$ es continua en $\overrightarrow{x_0}$ $\iff$ para toda bola de radio $\epsilon > 0$ centrada en $\overrightarrow{L}$ existe una bola de radio $\delta > 0$ centrada en $\overrightarrow{x_0}$ tal que $\overrightarrow{x} \in B_{\delta} ( \overrightarrow{x_0}) \Longrightarrow f ( \overrightarrow{x}) \in B_{\epsilon} ( f (\overrightarrow{x_0})).$

Lema: definición (3) es equivalente a la definición (2).

Clave para la demostración:

$f (\overrightarrow{x}) \in B_{\epsilon} (\overrightarrow{L}) \iff \|\, f(\overrightarrow{x}) \, – \, \overrightarrow{L}\| < \epsilon$

$\overrightarrow{x} \in B_{\delta} (\overrightarrow{x_0}) \iff \, \| \overrightarrow{x}\, – \, \overrightarrow{x_0} \| < \delta$

Basta probar que la definición (1) es equivalente con la definición (3).

Teorema: la definición (1) es equivalente a la definición (3).

Demostración:

[definición (1) $\longrightarrow$ definición (3)]

Hipótesis: $\forall \, \{\overrightarrow{x_n}\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0} , \; \text{con } \overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}$ se tiene que $\{ f ( \overrightarrow{x_n}) \} \longrightarrow \overrightarrow{L}$

[por demostrar: $\forall \, \epsilon > 0 \; \exists \, \delta > 0$ tal que si $\overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} (\overrightarrow{x_0}), \text{ entonces } f (\overrightarrow{x}) \in B_{\epsilon} (\overrightarrow{L})$]

Supongamos que $f$ no tiene límite $\overrightarrow{L}$ con la definición de bolas.

Vamos a tratar de contradecir el hecho de que cumpla la definición de sucesiones.

$\exists \; \epsilon_0 > 0$ tal que $\forall\, \delta > 0 \; \exists \, \overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} (\overrightarrow{x_0}) \, \land \, f(\overrightarrow{x}) \notin B_{\epsilon} (\overrightarrow{L})$

Esto sucede en particular para $\delta = \frac{1}{n}$, entonces $\exists \, \overrightarrow{x_n} \in \mathring{B}_{\frac{1}{n}} (\overrightarrow{x_0}) \, \land \, f(\overrightarrow{x_n}) \notin B_{\epsilon} (\overrightarrow{L}).$ Entonces existe una sucesión $\{\overrightarrow{x_n}\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ para la cual $\{ f (\overrightarrow{x_n}) \}$ no converge.

[definición (3) $\longrightarrow$ definición (1)]

Hipótesis: $\forall \, \epsilon > 0 \; \exists \, \delta > 0$ tal que $\overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} (\overrightarrow{x_0}) \Longrightarrow f (\overrightarrow{x}) \in B_{\epsilon} (\overrightarrow{L})$

[por demostrar: $\forall \, \{\overrightarrow{x_n}\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0} , \; \text{con } \overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}$ se cumple que $\{ f ( \overrightarrow{x_n}) \} \longrightarrow \overrightarrow{L}$]

Sea $\{\overrightarrow{x_n}\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ con $\overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}$

[por demostrar: $\{f (\overrightarrow{x_n})\} \longrightarrow \overrightarrow{L}$]

Sea $\epsilon > 0$

[por demostrar: $\exists \, N \in \mathbb{N}$ tal que $n \geq N \Rightarrow f(\overrightarrow{x_n}) \in B_{\epsilon} (\overrightarrow{L})$]

Dada la $\epsilon > 0$ (por hipótesis), existe $\delta > 0$ tal que $\overrightarrow{x} \in \mathring{B}_{\delta} (\overrightarrow{x_0}) \Longrightarrow f(\overrightarrow{x}) \in B_{\epsilon}(\overrightarrow{L}).$

Luego la sucesión $\{ \overrightarrow{x_n}\} \longrightarrow \overrightarrow{x_0}$ entonces para la $\delta > 0$ recién dada $\exists \; Ñ \in \mathbb{N}$ tal que $n \geq Ñ \Rightarrow \overrightarrow{x_n} \in B_{\delta} (\overrightarrow{x_0})$.

Más aún, como $\overrightarrow{x_n} \neq \overrightarrow{x_0}, \text{ se cumple que } \; \overrightarrow{x_n} \in \mathring{B}_{\delta} (\overrightarrow{x_0}) \text{ podemos concluir que } f(\overrightarrow{x_n}) \in B_{\epsilon}(\overrightarrow{L}).$

Sirve $N=Ñ$ por lo que $\exists \; N \in \mathbb{N}$ tal que para toda $n > N$ se cumple que $f (\overrightarrow{x_n}) \in B_{\epsilon}(\overrightarrow{L}).\; _{\blacksquare}$