Definición 1: (en términos de sucesiones)

Sea $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^n⟶{\mathbb{R}}^m$.

Sea $\overrightarrow{x_0}$ un punto de acumulación de $A$. Sea $\overrightarrow{L}\in {\mathbb{R}}^m.$

Decimos que $\overrightarrow{L}$ es el límite de $f$ cuando $\overrightarrow{x}⟶\overrightarrow{x_0}$ con $\overrightarrow{x}\in A$ si para toda sucesión $\{\overrightarrow{x_n}\}⟶\overrightarrow{x_0}$ con puntos $\overrightarrow{x_n}\in A$, con $\overrightarrow{x_n}\ne \overrightarrow{x_0}$ resulta que la sucesión $\{f(\overrightarrow{x_n})\}⟶\overrightarrow{L}$

Observación: como la noción de convergencia de una sucesión vale en espacios métricos, esta será nuestra definición de límite de una función $f:X⟶Y$ con $(X,d_x)$ y $(Y,d_y)$ espacios métricos.

El concepto de límite nos permite dar un concepto de continuidad de una función en un punto.

Sea $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^n⟶{\mathbb{R}}^m$.

Sea $\overrightarrow{x_0}\in A$.

Decimos que $f$ es continua en $\overrightarrow{x_0}$ si para toda sucesión $\{\overrightarrow{x_n}\}\in A$ tal que $\{\overrightarrow{x_n}\}$ converge a $\overrightarrow{x_0}$ resulta que $\{f(\overrightarrow{x_n})\}⟶f(\overrightarrow{x_0}).$ En otras palabras, $f$ es continua $\overrightarrow{x_0}$ si existe el límite de $f$ cuando $\overrightarrow{x}$ tiende a $\overrightarrow{x_0}$ y este límite es igual a $f(\overrightarrow{x_0}).$

Decimos que $f$ es continua en $\overrightarrow{x_0}$ si $\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0$ tal que $\Vert \overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0}\Vert <\delta$ implica que $\Vert f(\overrightarrow{x})–f(\overrightarrow{x_0})\Vert <ϵ.$

Definición 3: (en términos de bolas abiertas)

$\overrightarrow{L}$ es el límite de $f$ cuando $\overrightarrow{x}⟶\overrightarrow{x_0}$ si para toda bola de radio $ϵ>0$ centrada en $\overrightarrow{L}$ existe una bola perforada de radio $\delta >0$ centrada en $\overrightarrow{x_0}$ tal que $\overrightarrow{x}\in {\mathring{B}}_{\delta }(\overrightarrow{x_0})$implica que $f(\overrightarrow{x})\in B_{ϵ}(\overrightarrow{L}).$

Decimos que $f$ es continua en $\overrightarrow{x_0}$ $⟺$ para toda bola de radio $ϵ>0$ centrada en $\overrightarrow{L}$ existe una bola de radio $\delta >0$ centrada en $\overrightarrow{x_0}$ tal que $\overrightarrow{x}\in B_{\delta }(\overrightarrow{x_0})⟹f(\overrightarrow{x})\in B_{ϵ}(f(\overrightarrow{x_0})).$

Lema: definición (3) es equivalente a la definición (2).

Clave para la demostración:

$f(\overrightarrow{x})\in B_{ϵ}(\overrightarrow{L})⟺\Vert f(\overrightarrow{x})–\overrightarrow{L}\Vert <ϵ$

$\overrightarrow{x}\in B_{\delta }(\overrightarrow{x_0})⟺\Vert \overrightarrow{x}–\overrightarrow{x_0}\Vert <\delta$

Basta probar que la definición (1) es equivalente con la definición (3).

Teorema: la definición (1) es equivalente a la definición (3).

Demostración:

$[$ definición (1) $⟶$ definición (3) $]$

Hipótesis: $\mathrm{\forall }\{\overrightarrow{x_n}\}⟶\overrightarrow{x_0},\text{con }\overrightarrow{x_n}\ne \overrightarrow{x_0}$ se tiene que $\{f(\overrightarrow{x_n})\}⟶\overrightarrow{L}$

$[$ por demostrar: $\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0$ tal que si $\overrightarrow{x}\in {\mathring{B}}_{\delta }(\overrightarrow{x_0}),\text{ entonces }f(\overrightarrow{x})\in B_{ϵ}(\overrightarrow{L})]$

Supongamos que $f$ no tiene límite $\overrightarrow{L}$ con la definición de bolas.

Vamos a tratar de contradecir el hecho de que cumpla la definición de sucesiones.

$\mathrm{\exists }{ϵ}_0>0$ tal que $\mathrm{\forall }\delta >0\mathrm{\exists }\overrightarrow{x}\in {\mathring{B}}_{\delta }(\overrightarrow{x_0})\wedge f(\overrightarrow{x})\notin B_{ϵ}(\overrightarrow{L})$

Esto sucede en particular para $\delta =\frac{1}{n}$, entonces $\mathrm{\exists }\overrightarrow{x_n}\in {\mathring{B}}_{\frac{1}{n}}(\overrightarrow{x_0})\wedge f(\overrightarrow{x_n})\notin B_{ϵ}(\overrightarrow{L}).$ Entonces existe una sucesión $\{\overrightarrow{x_n}\}⟶\overrightarrow{x_0}$ para la cual $\{f(\overrightarrow{x_n})\}$ no converge.

$[$ definición (3) $⟶$ definición (1) $]$

Hipótesis: $\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0$ tal que $\overrightarrow{x}\in {\mathring{B}}_{\delta }(\overrightarrow{x_0})⟹f(\overrightarrow{x})\in B_{ϵ}(\overrightarrow{L})$

$[$ por demostrar: $\mathrm{\forall }\{\overrightarrow{x_n}\}⟶\overrightarrow{x_0},\text{con }\overrightarrow{x_n}\ne \overrightarrow{x_0}$ se cumple que $\{f(\overrightarrow{x_n})\}⟶\overrightarrow{L}]$

Sea $\{\overrightarrow{x_n}\}⟶\overrightarrow{x_0}$ con $\overrightarrow{x_n}\ne \overrightarrow{x_0}$

$[$por demostrar: $\{f(\overrightarrow{x_n})\}⟶\overrightarrow{L}]$

Sea $ϵ>0$

$[$ por demostrar: $\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}$ tal que $n\ge N\Rightarrow f(\overrightarrow{x_n})\in B_{ϵ}(\overrightarrow{L})]$

Dada la $ϵ>0$ (por hipótesis), existe $\delta >0$ tal que $\overrightarrow{x}\in {\mathring{B}}_{\delta }(\overrightarrow{x_0})⟹f(\overrightarrow{x})\in B_{ϵ}(\overrightarrow{L}).$

Luego la sucesión $\{\overrightarrow{x_n}\}⟶\overrightarrow{x_0}$ entonces para la $\delta >0$ recién dada $\mathrm{\exists }Ñ\in \mathbb{N}$ tal que $n\ge Ñ\Rightarrow \overrightarrow{x_n}\in B_{\delta }(\overrightarrow{x_0})$.

Más aún, como $\overrightarrow{x_n}\ne \overrightarrow{x_0},\text{ se cumple que }\overrightarrow{x_n}\in {\mathring{B}}_{\delta }(\overrightarrow{x_0})\text{ podemos concluir que }f(\overrightarrow{x_n})\in B_{ϵ}(\overrightarrow{L}).$

Sirve $N=Ñ$ por lo que $\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}$ tal que para toda $n>N$ se cumple que $f(\overrightarrow{x_n})\in B_{ϵ}(\overrightarrow{L}).{}_{\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}}$