Dado un conjunto $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ decimos que un punto $x_0$ es punto interior de $A$ si $\mathrm{\exists }r>0$ tal que la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ está contenida en $A$. $$\{x\in {\mathbb{R}}^n|\Vert x-x_0\Vert <r\}\subseteq A$$

https://www.geogebra.org/classic/frqfnkeq

Observación: esta definición vale en un espacio métrico $(X,d)$. $x_0$ es punto interior de $A$ si $\mathrm{\exists }r>0$ tal que $$\{x\in X|d(x,x_0)<r\}\subseteq A$$

Decimos que un punto $x_0$ es punto exterior de $A$ si existe $r>0$ tal que la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ está contenida en $A^c$. $$\{x\in {\mathbb{R}}^n|\Vert x-x_0\Vert <r\}\subseteq {\mathbb{R}}^n\setminus A=A^c$$

https://www.geogebra.org/classic/bmvvkaqd

Observación: en un espacio métrico $(X,d)$,$x_0$ es punto exterior de $A$ si $\mathrm{\exists }r>0$ tal que $$\{x\in X|d(x,x_0)<r\}\subseteq X\setminus A$$

Decimos que un punto $x_0$ es un punto frontera de $A$ si $\mathrm{\forall }r>0$ la bola de radio $r$ con centro en $x_0$ tiene puntos tanto de $A$ como de $A^c.$ $$\{x\in {\mathbb{R}}^n|\Vert x-x_0\Vert <r\}\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$$ $$\wedge \{\Vert x-x_0\Vert <r\}\cap A^c\ne \mathrm{\varnothing }$$

El conjunto cuyos elementos son los puntos interiores de $A$ recibe el nombre de interior de $A$. $$\{x\in {\mathbb{R}}^n|x\text{es punto interior de}A\}=intA=A^0$$

El conjunto de los puntos frontera de $A$ es la frontera de $A$. $$\{x\in {\mathbb{R}}^n|x\text{es punto frontera de}A\}=\partial A=FrA$$

Observación: int$A\subseteq A$ $$x\in \text{int}A\Rightarrow \mathrm{\exists }{B}_r(x)\subseteq A$$ $$\Rightarrow x\in B_r(x)\subseteq A$$ $$\Rightarrow x\in A$$

Definición: decimos que un conjunto $A$ es abierto $⟺$ int$A=A$.

Definición: decimos que un conjunto $F$ es cerrado $⟺$ $F^c$ es abierto.

Definición: decimos la cerradura de $F$ es $\bar{F}=F\cup \partial F$.