(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Cuando trabajamos con transformaciones lineales, elegir una base ordenada es como elegir el lenguaje en el que vamos a describir lo que ocurre. Un mismo objeto puede nombrarse diferente si se dice en español, inglés o en otro idioma, pero sigue siendo el mismo objeto. De manera similar, un vector o una transformación lineal puede representarse de distintas formas dependiendo de la base, y sin embargo su esencia no cambia.

Los vectores de coordenadas nos permiten expresar con precisión a cualquier vector respecto a una base específica, igual que las palabras nos permitirán describir una idea según el idioma que usamos. La gran ventaja de ello es que con los vectores de coordenadas codificamos a cualquier vector en un espacio vectorial de dimensión finita como una $n$-ada, donde $n$ es la dimensión del espacio vectorial en que se encuentra y de esta forma podemos entender a un espacio de dimensión finita sobre un campo $K$ a través del espacio vectorial $K^n$.

BASE ORDENADA DE UN ESPACIO VECTORIAL

Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$. Una base ordenada de $V$ es una $n$ – ada de vectores de $V$ $(v_1,v_2,…,v_n)$, con $v_1,v_2,…,v_n\in V$ distintos, tal que $\{ v_1,v_2,…,v_n\}$ es una base de $V$.

Nota: En ocasiones la base ordenada $(v_1,v_2,…,v_n)$ se denota simplemente por $\{ v_1,v_2,…,v_n\}$, haciendo la convención de que los subíndices de dichos vectores indican el orden en que se van a considerar.

VECTOR DE COORDENADAS RESPECTO A UNA BASE

Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$. Sean $\beta =(v_1,v_2,…,v_n)$ una base ordenada de $V$ y $v\in V$. Si $v=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+…+\lambda_nv_n$ tenemos que el vector de coordenadas de $v$ respecto a $\beta$ es:

$[ v ]_{\beta} = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n\times 1} (K).$

o bien,

$[v]_\beta=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n)^t.$

Observación: Para cualesquiera $u\in V$ y $\lambda\in K$ tenemos que $[ u+\lambda v ]_{\beta} =[ u ]_{\beta} + \lambda [ v ]_{\beta}$.
Justificación. Como $v=\sum_{i=1}^{n}\mu_iv_i$ y para ciertos $\mu_1,\mu_2,…,\mu_n\in K$ y $u=\sum_{i=1}^{n}\gamma_iv_i$ para ciertos $\gamma_1,\gamma_2,…,\gamma_n\in K$, tenemos que $u+\lambda v=\sum_{i=1}^{n}(\gamma_i+\lambda\mu_i)v_i$.
Así, por la definicion de vector de coordenadas $[ u+\lambda v ]_\beta$ es

$[u+\lambda v]_\beta=(\gamma_1+\lambda\mu_1,\gamma_1,\cdots ,\gamma_n+\lambda\mu_n)^t=(\gamma_1,\cdots ,\gamma_n)^t+\lambda(\mu_1,\cdots ,\mu_n)^t=[u]_\beta+\lambda [v]_\beta.$

Ejemplos

• Sean $V=K^n$ con $K$ un campo.
  Sea $\mathcal{C}$ la base canónica.
  Dado $v = (x_1, x_2, …, x_n)\in K^n$.
  $[ v ]_\mathcal{C} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

Justificación. $v = (x_1,x_2,…,x_n) = x_1 e_1 + x_2 e_2 + … + x_n e_n$.

• Sean $V=\{ a+bx+cx^2|a,b,c\in K \}$.
  Sean $\mathcal{C}=(1,x,x^2)$, $\mathcal{\beta_1} = (x, x^2,1)$ y $\mathcal{\beta_2} = (1,1-x,1+x-x^2)$ bases ordenadas.
  Dado $p(x)=a+bx+cx^2\in V$.
  $[ p(x) ]_\mathcal{C} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$
  $[ p(x) ]_\mathcal{\beta_1} = \begin{pmatrix} b \\ c \\ a \end{pmatrix}$
  $[ p(x) ]_\mathcal{\beta_2} = \begin{pmatrix} a+b+2c \\ -b-c \\ -c \end{pmatrix}$

Justificación. Tenemos que $p(x)=a1+bx+cx^2$.
Luego $p(x)=bx+cx^2+a1$.
Y $p(x)=(a+b+2c)1+(-b-c)(1-x)-c(1+x-x^2)$.

• Sean $V=\{ a+bx+cx^2|a,b,c\in K \}$.
  Sea $\beta = (3,3+x,3+x^2)$.
  Sea $q(x)\in V$ tal que $[ q(x) ]_\beta = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$.
  Entonces $q(x)=63+3x+6x^2$.

Justificación. Tenemos que $q(x)=(12)3+3(3+x)+6(3+x^2)$ $=63+3x+6x^2$.

Tarea Moral

1. Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$ con una base ordenada $\beta$.
   a) Demuestra que la transformación lineal $\phi_{\beta} : V \longrightarrow K^n$ definida para todo $x \in V$ como $\phi_{\beta} (x) = [x]_{\beta}$ es un isomorfismo de $V$ con respecto a la base $\beta$. Reflexiona acerca de cómo este resultado ayuda a estudiar al espacio vectorial $V$ a partir del espacio de $n$-adas $K^n$.
2. Considera $K=\mathbb{R}$ y $V=\{ a+bx+cx^2|a,b,c\in K \}$ y $\beta$ la base ordenada $\beta=(x^2,-x^2+x,-x+1)$. Encuentra $[p(x)]_\beta$ para $p(x)=a+bx+cx^2\in V.$
3. Considera $K=\mathbb{R}$ y $V=\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ y $\beta$ la base ordenada $\gamma=(A,B,C,D)$ con $A=\begin{pmatrix}1&-2\\1&1\end{pmatrix}$,$B=\begin{pmatrix}0&2\\1&-3\end{pmatrix}$,$C=\begin{pmatrix}-3&6\\-2&1\end{pmatrix}$ y $D=\begin{pmatrix}1&-2\\1&5\end{pmatrix}$. Encuentra $[E]_\gamma$ para $E=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&1\end{pmatrix}$.

Más adelante…

Al introducir bases que requieren un orden y recordar que toda transformación lineal está definida por el efecto que tiene en una base de su dominio, podemos lograr nuestro objetivo: introducir matrices para representar nuestras transformaciones.

Las matrices pasan entonces de ser solo un ejemplo de espacio vectorial a ser la herramienta esencial para el manejo de las transformaciones lineales. De hecho, son la herramienta que permite usar transformaciones lineales en informática.

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