(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Imagina que una transformación actúa sobre una figura en el espacio: puede estirarla en algunas direcciones, aplastarla en otras o incluso girarla por completo. Pero hay ciertos vectores privilegiados que, en lugar de cambiar de rumbo, permanecen en la misma línea; lo único que les ocurre es que su longitud se escala por un factor. Esos vectores son los vectores propios asociados a los valores propios.

Para identificarlos de manera sistemática, aparece el polinomio característico, una herramienta algebraica que condensa en una sola expresión el comportamiento de una matriz asociada a una transformación. Y lo más interesante es que, en el caso de las matrices simétricas, los valores y vectores propios se organizan con una claridad sorprendente: no solo existen siempre, sino que se distribuyen de manera ortogonal, como si la geometría y el álgebra se dieran la mano con total armonía.

Observación 1: Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ con $B$ una base ordenada de $V$ y $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$ tal que $A = [ T ]_{B}^{B}$. Entonces, $\lambda$ es un valor propio de $T$ si y solo si $det (A – \lambda I_n) = 0$.

Justificación: Por la última observación de la entrada 5.5, $\lambda$ es un valor propio de $T$ si y solo si $ A – \lambda I_n$ es no invertible, y por el teorema (5.4.1) $ A – \lambda I_n$ es no invertible si y solo si $det (A – \lambda I_n) = 0$.

Observación 2: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$, $B , \Gamma$ bases ordenadas de $V$ y $T \in \mathcal{L}(V,V)$. Entonces, $det \left( [ T ]_{B}^{B} – \lambda I_n \right)$ $=det \left( [ T ]_{\Gamma}^{\Gamma} – \lambda I_n \right)$.

Justificación: $det \left( [ T ]_{B}^{B} \,-\, \lambda I_n \right)$ $= det \left( [ id ]_{\Gamma}^{B} [ T ]_{\Gamma}^{\Gamma}[ id ]_{B}^{\Gamma} \,-\, \lambda [ id ]_{\Gamma}^{B} [ id ]_{B}^{\Gamma} \right)$ $= det \left( [ id ]_{\Gamma}^{B} \left( [ T ]_{\Gamma}^{\Gamma} \,-\, \lambda I_n \right) [ id ]_{B}^{\Gamma} \right)$ $= det \, [ id ]_{\Gamma}^{B} \, det \left( [ T ]_{\Gamma}^{\Gamma} \,-\, \lambda I_n \right) \, det \, [ id ]_{B}^{\Gamma} $ $= det \, [ id ]_{\Gamma}^{B} \, det \, [ id ]_{B}^{\Gamma} \, det \left( [ T ]_{\Gamma}^{\Gamma} \,-\, \lambda I_n \right) $ $= det \left( [ id ]_{\Gamma}^{B} [ id ]_{B}^{\Gamma} \right) \, det \left( [ T ]_{\Gamma}^{\Gamma} \,-\, \lambda I_n \right)$ $= det \, [id ]_{B}^{B} \, det \left( [T]_{\Gamma}^{\Gamma} \,-\, \lambda I_n \right) $ $= det \left( [ T ]_{\Gamma}^{\Gamma} \,-\,\lambda I_n \right)$.

POLINOMIO CARACTERÍSTICO

Definición: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$, $T \in \mathcal{L} (V,V)$ y $B = (v_1 , … , v_n)$ una base de $V$. Llamamos el polinomio característico de $T$ al polinomio $p_T (x) = det \left( [ T ]_{B}^{B} \,-\, x I_n \right).$

Notemos que, debido a la observación 3, el polinomio característico no depende de la base elegida, por lo que está bien definido.

Reescribiendo la observación 1 de acuerdo a la definición anterior:

Observación 3: Las raíces del polinomio característico de $T$ son los valores propios de $T$.

Teorema (5.6.1.): Sea $V$ un $\mathbb{C}$ – espacio vectorial de dimensión finita. Todo operador lineal en $V$ tiene al menos un valor propio.

Demostración: Sea $V$ un $\mathbb{C}$ – espacio vectorial de dimensión finita $n.$

Sean $T \in \mathcal{L} (V,V)$ y $B = (v_1, … , v_n)$ una base de $V.$

El polinomio característico de $T$ es $p_T (\lambda) = det \left( [ T ]_{B}^{B} \,-\, x I_n \right)$ que es un polinomio en $\mathbb{C} [x].$

Por el Teorema fundamental del álgebra, existe $\lambda \in \mathbb{C}$ una raíz de $p_T (x)$ que, de acuerdo a la observación 3, es un valor propio de $T.$

Ejemplo

• Sea $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$. Definamos $T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ como $T(x) = Ax$ para toda $x \in \mathbb{R}^2$
  Entonces, $p_T (x) = (x-4) (x-2).$

Justificación. Como $T(x) = Ax$, entonces $A= [ T ]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}$ con $\mathcal{C}$ la base canónica.

Por lo tanto, $p _T (x) = det (A \,-\, x I_2)$ $= det \left(\begin{array}{cc} 3-x & 1 \\ 1 & 3 -x \end{array}\right) = (3-x)^2 \,-\, 1$ $= x^2- 6x +9 \,-\, 1$ $= x^2 \,-\, 6x + 8 = (x-4) (x-2).$

Teorema (5.6.2.): Sean $V$ un $\mathbb{C}$ – espacio vectorial de dimensión finita y $T \in \mathcal{L} (V,V)$. Existe $B$ una base ordenada de $V$ tal que $[ T ]_{\beta}^{\beta}$ es triangular superior.

Demostración: Sean $V$ un $\mathbb{C}$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$ y $T \in \mathcal{L} (V,V)$. Haremos la prueba por inducción sobre $n$:

Sea $n$ un natural.

Hipótesis de inducción: Supongamos que el resultado se cumple para todo $\mathbb{C}$ – espacio vectorial de dimensión menor que $n.$

Sea $V$ un $\mathbb{C}$ – espacio vectorial de dimensión $n$. Sabemos, por el teorema (5.6.1.) que existe $\lambda \in \mathbb{C}$ un valor propio de $T.$ Consideremos el operador $T \,-\, \lambda id_V$ y definamos $U = Im (T \,-\, \lambda id_V).$

Como $\lambda$ es un valor propio de $T$, por la última observación de la entrada 5.5, $ T – \lambda I_n$ es no invertible y en consecuencia, por el teorema (5.7.1.), $ T – \lambda I_n$ no es suprayectiva.

Así, $dim_{\mathbb{C}} \,U = dim_{\mathbb{C}} \,I_m (T – \lambda id_V)$ $< dim_{\mathbb{C}} \,V = n.$

Además, si $u \in U$: $T(u) = T(u) – \lambda u + \lambda u = (T – \lambda id_V) (u) + \lambda u$

Como $(T – \lambda id_V) (u) \in Im (T – \lambda id_V) = U$ y $\lambda u \in U$ tenemos que $T (u) \in U$, concluimos que $T(u) \in U.$ Por lo tanto, podemos considerar la restricción de $T$ a $U$, es decir, $T |_U : U \longrightarrow U.$

Por la hipótesis de inducción, sabemos que existe $B = (u_1 , … , u_m)$ una base de $U$ formada por vectores propios de $T |_U$ (y en consecuencia de $T$), digamos que $T(u_i)=\lambda_i u_i$ con $\lambda_1,\dots ,\lambda_m\in\mathbb{C}$.

Podemos completar $B$ a una base de $V$: $\Gamma = (u_1 , … , u_m , v_1 , … , v_r).$

Como $T (v_j) = T(v_j) – \lambda v_j + \lambda v_j = (T – \lambda id_V) (v_j) + \lambda v_j$ con $(T – \lambda id_V) (v_j) \in U$, entonces $T (v_j) \in \langle u_1 , … , u_m , v_j \rangle .$

Entonces, para toda $j \in \{ 1 , … , r \}$: $T (v_j) = \mu_{1j} u_1 + … + \mu_{mj} u_m + \lambda v_j$ para algunos $\mu_{1j}, … \mu_{mj} \in \mathbb{C}$, y así $[ T (v_j) ]_{\Gamma} = \begin{pmatrix} \mu_{1j} & \dotsb & \mu_{mj} & 0 & \dotsb & \lambda & \dotsb & 0 \end{pmatrix}^t$ donde $\lambda$ se encuentra en la $j$ – ésima posición.

Por otro lado, para toda $i \in \{ 1 , … , m \}$, $[ T (u_i) ]_{\Gamma} = \begin{pmatrix} 0 & \dotsb & 0 & \lambda_i & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}^t$ donde $\lambda_i$ se encuentra en la $i$ – ésima posición.

Así, $[ T]_{\Gamma}^{\Gamma} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dotsb & 0 & 0 & \mu_{1j} & \mu_{1j+1} & \dotsb & \mu_{1r-1} & \mu_{1r} \\ 0 & \lambda_2 & \dotsb & 0 & 0 & \mu_{2j} & \mu_{2j+1} & \dotsb & \mu_{2r-1} & \mu_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dotsb & \lambda_{m-1} & 0 & \mu_{m-1j} & \mu_{m-1j+1} & \dotsb & \mu_{m-1r-1} & \mu_{m-1r} \\ 0 & 0 & \dotsb & 0 & \lambda_m & \mu_{mj} & \mu_{mj+1} & \dotsb & \mu_{mr-1} & \mu_{mr} \\ 0 & 0 & \dotsb & 0 & 0 & \lambda & 0 & \dotsb & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dotsb & 0 & 0 & 0 & \lambda & \dotsb & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dotsb & 0 & 0 & 0 & 0 & \dotsb & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \dotsb & 0 & 0 & 0 & 0 & \dotsb & 0 & \lambda \end{pmatrix},$

que es triangular superior.

Nota: Consideremos ahora el $\mathbb{C}$ – espacio vectorial $\mathbb{C}^n$ (o $\mathcal{M}_{n \times 1} (\mathcal{C})$) con el producto punto usual, es decir, $\langle X , Y \rangle = X^t \overline{Y}$ para todas $X , Y \in \mathbb{C}^n.$

Diremos que $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (\mathbb{R})$ es simétrica si $A^t = A.$

Observación 4: Si $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (\mathbb{R})$ es simétrica, entonces para todas $X , Y \in \mathbb{C}^n$ se cumple que $\langle AX,Y \rangle = \langle X,AY \rangle$

Justificación. Si $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (\mathbb{R})$, entonces $A = \overline{A}$. Y si además $A = A^t$, entonces $\langle AX,Y \rangle = (AX)^t \overline{Y}$ $= X^t A^t \overline{Y} = X^t A \overline{Y}$ $ = X^t \overline{A} \overline{Y} = X^t \overline{AY}= \langle X,AY \rangle$.

Teorema (5.6.3.): Sea $T \in \mathcal{L} (\mathbb{C}^n , \mathbb{C}^n)$ dado por $T(X) = AX$ con $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (\mathbb{R})$ una matriz simétrica. Entonces todo valor propio de $T$ es real.

Demostración: Sea $T \in \mathcal{L} (\mathbb{C}^n , \mathbb{C}^n)$ dado por $T(X) = AX$ con $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (\mathbb{R})$ una matriz simétrica. Sabemos que los valores propios de $T$ son las raíces de $p_T (X) \in \mathbb{C} [X]$, que, como consecuencias del Teorema fundamental del álgebra, son números complejos.

Veamos que, de hecho, son números reales.

Sea $\lambda \in \mathbb{C}$ un valor propio de $T$.
Consideremos $X \in \mathbb{C}^n$ un vector propio no nulo de $T$ asociado a $\lambda$:

Por un lado, $\langle AX , X \rangle = \langle T(X) , X \rangle$ $= \langle \lambda X , X \rangle = \lambda \langle X , X \rangle .$

Por otro lado, por la observación 4, $\langle AX , X \rangle = \langle X , AX \rangle = \langle X , T(X) \rangle$ $= \langle X , \lambda X \rangle = \overline{\lambda} \langle X , X \rangle .$

Por lo tanto, $\lambda \langle X , X \rangle = \overline{\lambda} \langle X , X \rangle$ y como $X$ es no nulo, entonces $\langle X , X \rangle \not= 0$. Así que $\lambda = \overline{\lambda}$ y al ser $\lambda$ igual a su conjugado podemos concluir que es un número real.

Tarea Moral

1. Sea $T \in \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ definida por $T (x,y) = (4x + y , x+2y).$
   a) Encuentra $[ T ]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}$ con $\mathcal{C}$ la base canónica.
   b) Calcula el polinomio característico de $T$.
   c) Encuentra los valores propios de $T$ y un vector propio para cada uno.
   d) ¿Existe una base de $\mathbb{R}^2$ formada por vectores propios de $T$? Exhibe dos ejemplos en caso de que existan.
2. Sea $T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ con el producto interno usual en $\mathbb{R}^2$ definida por $T(X) = AX$ para toda $X \in \mathbb{R}^2$ donde $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$
   a) Encuentra los valores propios de $T$ y una base $B$ de $V$ formada por vectores propios de $T$.
   b) Encuentra la matriz diagonal $D =[ T ]_{B}^{B}$
   c) Sea $P=[id_{\mathbb{R}^2 }]_B^C$, con $C$ la base canónica de $\mathbb{R}^2 $. Calcula $P^{-1}AP$.
3. Sea $A = \left(\begin{array}{rr} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{array}\right).$
   a) ¿Es $A$ simétrica?
   b) Considerando $\langle X,Y \rangle = X^t Y$ y $T:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $ con $T(X)=AX$ para todo $X\in \mathbb{R}^2 $. Demuestra que para todos $X,Y\in \mathbb{R}^2 $ se tiene que $\langle T(X),Y \rangle =\langle X,T(Y) \rangle $.
   c) Comprueba que cualesquiera dos vectores propios correspondientes a distintos valores propios de $T$ son ortogonales.
4. Sean $T_1 , T_2 , T_3 , T_4 \in \mathcal{L} (\mathbb{R}^2 , \mathbb{R}^2)$
   tales que $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$:
   $T_1 (x,y) = (3x + 2y , 2x + 3y),$
   $T_2 (x,y) = (-y , x),$
   $T_3 (x,y) = (4x , y),$
   $T_4 (x,y) = (x+y , x-y).$
   Obteniendo únicamente su matriz asociada, ¿para cuáles operadores podemos asegurar que todo valor propio es real?

Más adelante…

Profundizaremos en las consecuencias geométricas de que una matriz simétrica tenga todos sus valores propios reales. Veremos cómo este hecho garantiza la existencia de vectores propios con componentes reales y cómo la simetría preserva relaciones de ortogonalidad entre ellos. Estos resultados nos conducirán al teorema espectral, una herramienta fundamental que revela que todo operador lineal simétrico puede representarse, en una base adecuada, mediante una matriz diagonal. Esta propiedad no solo simplifica enormemente los cálculos, sino que también ofrece una visión estructural poderosa sobre la acción de los operadores simétricos en espacios con producto interno.

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