(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
INTRODUCCIÓN
En el siglo XVIII, Pierre-Simon Laplace desarrolló un método que aún hoy se enseña en los cursos de matemáticas: el desarrollo de determinantes por cofactores. Este avance no surgió de la nada, sino de propiedades básicas que se descubrieron antes: la simetría entre renglones y columnas, y la forma en que el determinante se comporta frente al producto de matrices.
Esta entrada nos llevará de la estructura a la técnica, siguiendo los mismos pasos que guiaron a los grandes matemáticos del pasado.
Observación: Dada $\sigma \in S_n$ se tiene que $sgn\,\sigma = sgn\,\sigma^{-1}.$
Justificación. Si $\sigma = \tau_1 \circ \dotsb \circ \tau_m$ con $\tau_1 , … , \tau_m \in S_n$ transposiciones, se tiene que $\sigma^{-1} = \tau_m \circ \dotsb \circ \tau_1$, así $sgn \,\sigma = (-1)^m = sgn \,\sigma^{-1}$.
Teorema (5.3.1.): Sea $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$. Tenemos que $det \, A = det \, A^t$.
En consecuencia, todas las propiedades del determinante que se cumplen para renglones, también se cumplen para columnas.
Demostración: Sea $A = (a_{ij})$ y $A^t = (b_{ij})$ (donde $b_{ij}=a_{ji}$ para todos $i,j$).
$det \, A^t = \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} sgn \,\sigma \, b_{1 \, \sigma (1)} \dotsb b_{n \, \sigma (n)}$ $= \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} sgn \,\sigma \, a_{\sigma (1) \, 1} \dotsb a_{\sigma (n) \, n} $ $= \displaystyle \sum_{\sigma^{-1} \in S_n} sgn \,\sigma^{-1} \, a_{\sigma (1) \,\sigma^{-1} (\sigma (1))} \dotsb a_{\sigma (n) \, \sigma^{-1} (\sigma (n))} $ $= \displaystyle \sum_{\sigma^{-1} \in S_n} sgn \,\sigma^{-1} \, a_{1 \,\sigma^{-1} (1)} \dotsb a_{n \, \sigma^{-1} (n)} $.
Ahora, reescribamos $\sigma^{-1}$ como $\gamma$ para simplificar notación y notar que $\displaystyle \sum_{\sigma^{-1} \in S_n} sgn \,\sigma^{-1} \, a_{1 \,\sigma^{-1} (1)} \dotsb a_{n \, \sigma^{-1} (n)} = \displaystyle \sum_{\gamma \in S_n} sgn \,\gamma \, a_{1 \,\gamma (1)} \dotsb a_{n \, \gamma^{-1} (n)} = det \, A.$
Por lo tanto, $det \, A^t = det \, A.$
Teorema (5.3.2.): Sean $A, B \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$.
Se cumple que $det \, AB = det \, A\, det \, B.$
Demostración: Sean $A, B \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$. Consideremos $C = AB$, entonces el renglón $i$ de $C$ es $C_i = a_{i1}B_1 + … + a_{in}B_n$ con $B_1 , … , B_n$ los renglones de $B.$
Entonces, $det \, C = det (a_{11}B_1 + … + a_{1n}B_n , … , a_{n1}B_1 + … + a_{nn}B_n)$.
Usando la linealidad en cada entrada, obtenemos muchos sumandos del tipo $a_{1 \, t_1} \dotsb a_{n \, t_n} \, det (B_{t_1} , … , B_{t_n})$, pero si $t_i = t_j$ para $i \not= j$, entonces $det (B_{t_1} , … , B_{t_n}) = 0$
Así, basta con considerar los sumandos donde $t_1 , … , t_n$ son los números $\{ 1 , … , n \}$ salvo por el orden.
Sea $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & … & n \\ t_1 & t_2 & … & t_n \end{pmatrix}.$
Entonces, usando el inciso c de la proposición (5.1.1.), $det \, C = \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} \, a_{1 \, \sigma (1)} \dotsb a_{n \, \sigma (n)} \, det (B_{\sigma (1)} , … , B_{\sigma (n)})$ $= \displaystyle \sum_{\sigma \in S_n} sgn (\sigma)\, a_{1 \, \sigma (1)} \dotsb a_{n \, \sigma (n)} \, det (B_1 , … , B_n)$ $= det \, A\, det \, B$.
EL MENOR $i , j$ DE $A$
Definición: Sean $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$ y $j , i \in \{ 1, … , n \}$. Denotemos por $A (i|j)$ a la matriz $(n-1) \times (n-1)$ que se obtiene de $A$ quitando el renglón $i$ y la columna $j$. Decimos que $det \, A (i|j)$ es el menor $i , j$ de $A.$
Ejemplo
- Sea $A = \left(\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \\ 5 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \end{array}\right).$
El menor $1,2$ de $A$ es $-5$ y el menor $2,3$ de $A$ es $8$.
Justificación. Veamos cómo son $A (1|2)$ y $A (2|3)$ y sus respectivos determinantes:
$A (1|2) = \left(\begin{array}{rr} 5 & 0 \\ 2 & -1 \end{array}\right)$ y su determinante es $-5$
$A(2|3) = \left(\begin{array}{rr}1 & -2 \\ 2 & 4 \end{array}\right)$ y su determinante es $8$.
Teorema (5.3.3.): Sean $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$ y $n \geq 2$. Se cumple que, para toda $i$ y para toda $j$ en $\{1,\dots , n\}$: $det \, A = (-1)^{i+1} \, a_{i1} \, det \, A (i|1) + … + (-1)^{i+n} \, a_{in} \, det \, A (i|n)$ $= (-1)^{1+j} \, a_{1j} \, det \, A (1|j) + … + (-1)^{n+j} \, a_{nj} \, det \, A (n|j)$
Demostración: Sean $A \in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$ y $n \geq 2$.
Sea $j \in \{1,\dots , n\}$. Veamos que $Det \, A = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \, a_{ij} \, det \, A (i|j)$ es una función determinante $n \times n$ en $K$. Al lograrlo, por el teorema (5.2.1.) tendremos que $Det \, A = det \, A.$
Sean $A_1 , … , A_n \in K^n$ los renglones de $A$ con $A_k = \lambda A^*_k + A^{**}_k$ para algunas $\lambda \in K$ y $A^*_k , A^{**}_k.$
Sean $A^*$ la matriz con renglones $A_1 , … , A^*_k , … , A_n$ y $A^{**}$ la matriz con renglones $A_1 , … , A^{**}_k , … , A_n.$
Tenemos que:
$\begin{align*}
a_{kj} \, det \, A (k|j) & = ( \lambda {a_{kj}}^* + a^{**}_{kj} ) \, det \, A (k|j) \tag{} \\
& = \lambda a^*_{kj} det \, A (k|j) + a^{**} _{kj}det \, A (k|j) \tag{} \\
& = \lambda a^*_{kj} det \, A^* (k|j) + a^{**} _{kj}det \, A^{**} (k|j). \tag{} \\
\end{align*}$
Ahora, si $i \not= k$:
$\begin{align*}
a_{ij} det \, A (i|j) & = a_{ij} ( \lambda det \, A^* (i|j) + det \, A^{**} (i|j) ) \tag{} \\
& = \lambda a_{ij} \, det \, A^* (i|j) + a_{ij} \, det \, A^{**} (i|j) \tag{} \\
& = \lambda a^*_{ij} \, det \, A^* (i|j) + a^{**}_{ij} \, det \, A^{**} (i|j). \tag{} \\
\end{align*}$
Así, para toda $i$ $a_{ij} det \, A (i|j) = \lambda a^*_{ij} \, det \, A^* (i|j) + a^{**}_{ij} \, det \, A^{**} (i|j)$, entonces:
$Det \, A$ $= \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} (-1)^{i+j} \left( \lambda a^*_{ij} \, det \, A^* (i|j) +a^{**}_{ij} \, det \, A^{**} (i|j) \right)$ $= \lambda \, Det \, A^* + Det \, A^{**}.$
$\therefore Det$ es una función $n$ – multilineal.
Ahora, para la matriz identidad, veamos por inducción sobre $n$ que $Det \, I_n =1$.
Para $n=2$, $Det \, I_2 =(-1)^{1+1} \, (I_2)_{11} \, det \, I_2 (1|1)+(-1)^{2+1} \, (I_2)_{21} \, det \, I_2 (2|1)=(+1)(1)(1)+(-1)(0)(0)=1+0=0,$
y $Det \, I_2 =(-1)^{1+2} \, (I_2)_{12} \, det \, I_2 (1|2)+(-1)^{2+2} \, (I_2)_{22} \, det \, I_2 (2|2)=(-1)(0)(0)+(+1)(1)(1)=0+1=1.$
Supongamos ahora que $Det \, I_{n-1}=1$.
Tenemos que
$Det \, I_n = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \, (I_n)_{ij} \, det \, I_n (i|j),$
pero si $i\neq j$ se tiene que $(I_n)_{ij}$, por lo que en la suma anterior basta considerar el sumando en el que $i=j$. Así,
$Det \, I_n = (-1)^{j+j} \, (I_n)_{jj} \, det \, I_n (j|j)=(+1) \, (1) \, det \, I_n (j|j).$
Notemos que, como $ I_n (j|j)=I_{n-1}$, por la hipótesis de inducción $det \, I_n (j|j)=1$. Por lo tanto, $Det \, I_n =1$.
Por lo tanto, $Det \, A = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \, a_{ij} \, det \, A (i|j)$ es la función determinante $n \times n$ en $K$. De manera análoga se tiene que $Det \, A = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \, a_{ij} \, det \, A (i|j)$ función determinante $n \times n$ en $K$.
Debido a que todas las propiedades del determinante que valen para columnas, también valen para renglones (teorema (5.3.1.)), se puede desarrollar el determinante análogamente para renglones.
Tarea Moral
- Si $det \left(\begin{array}{rrr} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)=\pi$, calcula el determinate de y $det \left(\begin{array}{rrr} b-3c & 7c & -a \\ e-3f & 7f & -d \\h-3i & 7i & -g \\ \end{array}\right)$.
- ¿Cuánto vale $det \left(\begin{array}{rrrrrr} 1 & 2 & 3 & 0 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & -1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & 2 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 1 & 0 & -2 \end{array}\right)$? ¿Qué propiedades puedes usar para evitar hacer el cálculo completo del determinante?
- Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$
Simplifica la matriz usando operaciones elementales por renglones (sin cambiar el determinante) hasta que el cálculo del determinante de la nueva matriz implique solamente los elementos de su diagonall.
Más adelante…
Utilizaremos las propiedades del determinante como una herramienta poderosa para estudiar cuándo una matriz tiene un inverso multiplicativo. Veremos cómo el determinante, el rango y las operaciones elementales se entrelazan para caracterizar este tipo de matrices, lo que nos abrirá la puerta a comprender mejor cómo se combinan y multiplican matrices en problemas más complejos.
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